认识三角形知识点.pdf

v1.0 可编辑可修改-1-1-认识三角形 1三角形有关的概念(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）(2)三角形的表示 三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形，记作“ABC”，读作“三角形 ABC”。如图 7-4 一 l，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：AB、BC、AC;有三个角：A、B、C ABC 的三边用cba,表示时，A所对的边 BC 用a表示B所对的边 AC 用b表示C所对的边 AB 用 c表示 2三角形的分类 是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三 注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角，则三角形是锐角三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形 3三角形中边的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边；（2）三角形的任意两边之差小于第三边 如图 7-4-1 中，cbabacabcbcaacbcba,;,。注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。例如：有三条线段的长分别为 3、4、6 因为 3+4 6，所以这三条线段能组成三角形 又如：有三条线段的长分别为 3、4、8 要为 3+4 8，所以这三条线段不能组成三角形 v1.0 可编辑可修改-2-2-4三角形的三种主要线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。如图 7-4-2，AD 是ABC 的高，可表示为 AD BC 或ADC=90或 ADB=90。(2)中线：在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。如图 7-4-3，AE 是ABC 的中线，表示为 BE=EC 或 BE=21BC 或 BC=2EC.(3)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 如图 7-4-4，AF 是ABC的角平分线，可表示为CAFBAF或BACBAF21或CAFBAC2.一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。5三角形的高、角平分线、中线的画法(1)三角形高的画法，如图 7-4-5 v1.0 可编辑可修改-3-3-注意：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点如图 7-4-5 甲，钝角三角形的三条高交于三角形外部一点如图 7-4-5 乙，直角三角形的三条高交于直角顶点如图 7-4-5 丙 (2)三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线(3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段 6面积法解题 例如：如图 7-4-6，在ABC 中，AB=AC，AC 边上的高 BD=10，求 AB 边上的高 CE 的长 解析：由三角形面积公式有：ACBDABCESABC2121 因为 AB=AC，BD=10，所以 CE=BD=10.名题诠释【例题 1】如图 7-4-7，点 D 是ABC 的边 BC 上的一点，点 E 在 AD 上 (1)图中共有_个三角形；-4-4-(2)以.AC 为边的三角形是_；(3)以BDE 为内角的三角形是_.【解析】(1)AD的左右两侧各有 3 个三角形，分别是ABE、ABD、EBD、ACE、.ACD、ECD，左右两侧组合又形成 2 个以 BC 为边的三角 形，它们是ABC、EBC.故共有 8 个三角形(2)以 AC 为边的三角形有 3 个，它们是.ACE、ACD、ACB.(3)以BDE 为内角的三角形有 2 个，它们是EBD、ABD【答案】(1)8 (2)ACE、ACD、ACB(3)EBD、ABD【点评】数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形 【例题 2】下列三角形分别是什么三角形 （1）已知一个三角形的两个内角分别是 50和 60；(2)已知一个三角形的两个内角分别是 35和 55；(3)已知一个三角形的两个内角分别是 30和 45；(4)已知一个三角形的周长为 16cm，有两边的长分别是 6cm 和 4cm.【解析】确定三角形的形状，应紧扣定义【答案】(1)锐角三角形，因为三角形内角和为 180，而两个内角分别是 50和 60，所以第三个内角是 70，即这个三角形是锐角三角形 (2)直角三角形，同理 (3)钝角三角形，同理 (4)等腰三角形因为第三条边的长为 16-6-4=6(cm)【点评】应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别 【例题 3】下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.lcm、2cm、5cm、9cm C.5cm、8cm、15cm 、8cm、9cm【解析】因为 1+2，所以 lcm、2cm、的三条线段不能构成三角形 因为 4+5=9，所以 4cm、5cm、9cm 的三条线段不能构成三角形；因为 5+89，所以 8cm、8cm、9cm 的三条线段能构成三角形 【答案】D 【点评】三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边之和大于第三边简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边 【例题 4】甲地离学校 4km，乙地离学校 lkm记甲、乙两地之间的距离 为 dkm，则 d 的取值为()或 5 D3d5 【解析】本题应分两种情况讨论：(1)甲、乙两地与学校在一条直线上；(2)甲、乙两地与学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题 【答案】D 【例题 5】如图 7-4-8，在ABC 中，1=2，G 为 AD 的中点，延长 BG 交 AC 于 E F为 AB 上一点，CFAD 于 H，下面判断正确的有()AD 是ABE 的角平分线；BE 是ABD 边 AD 上的 中线；CH 为ACD 边 AD 上的高；AH 是ACF 的角平 分线和高线 个 B2 个 个 D4 个【解析】由1=2知 AD 平分BAE但 AD 不是ABE 内的线段，故错，AD 应是ABC 的角平分线；同理，BE经过ABD 的边 AD 的中点 G，但 BE 不是ABD 中的线段，故不正确，正确的说法应是 BG 是ABD 边 AD 上的中线；由于 CHAD 于 H，故 CH 是ACD 边 AD 上的高，故正确；AH 平分FAC 并且在ACF 内，故 AH 是ACF 的角平分线，同理 AH 也是ACF 的高，故正确【答案】B【点评】三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延伸 【例题 6】在ABC 中，AB=AC，AC 边上的中线 BD 把三角形的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，求三角形各边的长，【解析】中线 BD 把三角形的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，要分类讨论：(1)当腰长小于底边时，AB+AD=12，如图 7-4-9；(2)当腰长大于底边时，AB+AD=15，如图 7-4-9 v1.0 可编辑可修改-6-6-【答案】设 AB=x，则有：AD=DC=x21 (1)若 AB+AD=12，即x+x21=12，x=8 AB=AC=8,DC=4，故 BC=15-4=11.此时 AB+AC BC，所以三角形三边长分别为 8cm，8cm，llcm.(2)若 AB+.4D=15，即x+x21=15，x=10 即 AB=AC=10，DC=5，故 BC=12-5=7显然，此时三角形存在，所以三角形三边长分别为 l0cm，l0cm，7cm 综上所述，此三角形的三边长分别为 8cm，8cmllcm 或 l0cm，l0cm，7cm 【例题 7】如图 7-4-10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角ABC 的高 BE，其中画法错误的是_ 【解析】甲图错在把三自形的高线与 AC 边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的 BE 与 AC 不垂直；丙图错在没有过点 B 画 AC 的垂线，故不是高；丁图错在没有向点 B 的对边画垂线【答案】甲、乙、丙、丁 【例题 8】如图 74-11，在ABC 中，AB=AC，AC 边上高 BD=10，P 为边 BC 上任意一点，PMAB，PNAC，垂足v1.0 可编辑可修改-7-7-分别为 M,N求 PM+PN 的值【解析】连接 AP 后，PM、PN 就转化为APB 和APC 的高，从而由面积法可求得 PM+PN 的值【答案】连接 AP，由图 7-4-11 可知：ABCACPABPSSS，即BDACPNACPMAB212121 因为 AB=AC，BD=10，所以 PM+PN=BD=10.速效基础演练 1 如图 7-4-12，图中三角形的个数共有()A 1 个 B2 个 个 D4 个 2 三角形两边的长分别为 lcm 和 4cru，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是_，这个三角形是_三角形 3 如图 7-4-13(1)ADBC，垂足为 D，则 AD 是_的高，_=_=90；(2)若 AE 平分BAC，交 BC 于 E 点，AE 叫_的角平分线，BAE=_=21_;(3)若 AF=FC，则ABC 的中线是_;(4)若 BC=GH=HF则 AG 是_的中线，AH 是_的中线。v1.0 可编辑可修改-8-8-4 如图7-4-14，在ABC中，C=90，D、E为AC上的两点，且AE=DE，CBD=EBC21，则下列说法中不正确的是()ABC 是ABE 的高 BBE 是ABD 的中线 CBD 足EBC 的角平分线 DDBCEBDABE 5 如图 7-4-15，哪一个图表示 AD 为ABC 的高()6 如果三角形的两边分别为 3 和 5，那么这个三角形的周长可能是()A15 B16 C8 D7 7 下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.lcm，2cm，3cm B.2cm，3cm，6cm C.4cm，6cm，8cm D.5cm，6cm，12cm 8 如图 7-4-16，为估计池塘岸边 A、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测 得 OA=15 米，OB=10 米，A、B 间的距离不可能是()v1.0 可编辑可修改-9-9-A5 米 B10 米 C15 米 D20 米 9 如图 7-4-17，在ABC 中，(1)画出C的平分线 CD；(2)画出 AC 边上的中线 BM；(3)画出ABM 的边 BM 上的高 AH.10 如图 7-4-18ABC 是周长为 18cm 的等边三角 形，D 是 BC 上一点，ABD 的周长比ADC 的周长多 2cm，求 BD、DC 的长。11 等腰三角形的周长为 30，一腰上的中线把其周长分成差为 3 的两部分，试求腰长 12 已知如图 7-4-19，在ABC 中，BE 平分ABC，交 AC 于点 E，DEBC，EFAB，分别交 AB、BC 于点 D、F，则 BE 是DEF的平分线吗请说明理由 13 在ABC 中，C=90，BC=6，AC=8，AB=10，求边 AB 上的高 知能提升突破 v1.0 可编辑可修改-10-10-1 如图 7-4-20，在ABC 中，已知点 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 上的中点，且ABCS=42cm，求阴影部分的面积阴S。2 如图 7-4-21，在ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 边上的高，P 为 BC 延长线上的一 点，ABPM，ACPN，垂足分别为 M、N试问 PM、PN 与 BD 之间有何关系 3 某木材市场上木棒规格和价格如下表：规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 价格（元/根）10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为 3m 和 5m 的木棒，还需要到 某木材市场上购买一根问：(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择(2)选择哪一种规格的木棒最省钱