鸡兔同笼问题(教师版).pdf

鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲）我国古代数学名着孙子算经中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有 35只,鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只？这就是着名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢？我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的 那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：解法1:鸡的只数=（每只兔脚数X 兔总数一实际脚数）-（每只兔子脚数一每只鸡的脚 数）兔的只数=总只数一鸡的只数 解法2:兔的只数=（总脚数一鸡的脚数 总、只数）十（兔的脚数一鸡的脚数）只数=总只数一兔的只数 例1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只？分析：假设46只都是兔，一共应有 4X 46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少 4-2=2（只）脚。那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56十2=28,只要用28只鸡去置换28 只兔就行了。所以，鸡的只数就是 28,兔的只数是46-28=18。例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X16=32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设 的情况多了 44-32=12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。因此只要算出 有几个2，就可以求出兔的只数。解：有兔（44-2X 16）-（4-2）=6（只），有鸡 16-6=10（只）。答：有 6 只兔，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有 4X16=64（只）脚，但实际上有 比假设的情况少了 64-44=20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。因此只要算出 个2,就可以求出鸡的只数。有鸡（4X 16-44）-（4-2）=10（只），有兔1610=6（只）。、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？鸡兔同笼，共有头100个，足316只，那么鸡有多少只？兔有多少只?鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼子中鸡、兔各有多少只?鸡的 12里面 10只鸡。44只脚，20里面有几 鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有 90只。问鸡、兔各多少只?、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有 40头，从笼子下数有130只脚，那 么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？、动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有 30只眼睛和44只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有 多少只？、现在有大小油桶 50个，每个大桶可装油 4千克，每个小桶可装油 2千克，大桶比小桶 共多装油 20千克，问大、小油桶各多少个?、大油瓶一瓶装 4 千克,小油瓶 2 瓶装 1 千克。现有 100 千克油装了共 60 个瓶子.问大、小油瓶各多少个?、面值为 5 角和 8 角的邮票共 30 张，总价值 18 元，那么面值为 5 角的邮票有多少张。探、30枚硬币，由2角和5角组成，共值9元9角,2角硬币有多少个？5角有多少个?、某人领得工资 240元,有 2元,5元,10元三种人民币共 50张,其中 2元和 5元的张数一 样多,那么 10元的有多少张？、买一些 4分与 8分的邮票共花 6元 8角,已知8分的邮票比 4分的多 40张,那么8分的 邮票有多少张？、小华买了 2 元和 5 元的纪念邮票一共 34 枚，用去 98 元钱。小华买了 2 元和 5 元的纪 念邮票各多少枚？、四（6）班42个同学向2008年北京奥运会捐款。其中12人每人捐2元，其余同学每 人捐 5 元或 10 元，一共捐了 229 元。求捐 5 元和 10 元的同学各有多少人？、小强爱好集邮,他用 1 元钱买了 4分和 8分的两种邮票,共20张.那么他买了 4分邮票多 少张？鸡兔同笼问题（假设法）（第二讲）例 3、100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人吃 3 个馍，小和尚 1 人吃 1 个馍。问：大、小和 尚 各有多少人？分析：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡 和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍 300个，比实际多 300-140=160（个）。现在以小 和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3-1=2（个），因为160-2=80,故 小和尚有 80人，大和尚有 100-80=20（人）。同样，也可以假设 100人都是小和尚。、100 个馒头 100个和尚吃,大和尚每人吃 3个,小和尚 3人吃一个,则大和尚有多少个？小 和尚有多少个？例 4、乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损 坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24 X 500=120（元）。实际上只得到 115.5元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失 0.241.26=1.5（元）。因此共打破花瓶 4.5宁1.5=3（只）。解：（0.24X 500-115.5）-（0.24+1.26）=3（只）。答：共打破 3 只花瓶。、有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只 2 角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元。结果得到运费 379.6 元,问这次搬运中 玻璃瓶破损了几只？、运输队为商店运送花瓶 500箱，每箱 6个花瓶，已知每 10个花瓶的运费 5.5 元，损坏 一个花瓶要赔偿成本 11.5 元（这个花瓶的运费当然也得不到了）。结果这个运输队共得到运费 1553.6 元。问共损坏了多少个花瓶？、工人运青瓷花瓶 250个,规定完整运一个到目的地给运费 20 元,损坏一个倒赔 100元，运完这批花瓶后，工人共得 4400 元,则损坏了多少只？、灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4分，每生产一 个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525分，问其中 有多少个灯泡不合格？、运输衬衫 400 箱，规定每箱运费 30 元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿 100 元。运后运费为 8880 元，损失了几箱？例题5、某学校举行数学竞赛，每做对一题得 9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，王 刚得了 84分。王刚做错了几题？思路导航：假设全做对，应得9 X 12=108分，现在少了 108-84=24分。而做错一题，不 但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了 12分，所以错了 24十12=2题。探、某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得 5分，每做错或不做一题扣1 分。小华参加了这次竞赛，得了 64分。问：小华做对几道题？探、某次数学测验共20题，做对一题得5分,做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了 76 分，问他做对几题？探、希望月报编辑部组织了一次“迎奥运，爱我中华”知识抢答竞赛，比赛规定：每位 参赛选手起点都为100分，之后每答对一题加10分，每答错一题倒扣8分。小音抢答了 12道 题，最后得分148分，请问小音答对了多少题？、一次数学竞赛共20道题，每答对一道题得6分，每答错一道题倒扣4分。小明答完了 全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题？、振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都 要扣3分。小建得了 60分，那么他做对了几道题？探、小毛参加数学竞赛,共做20道题，得64分，已知做对一道得5分,不做得0分，错一题扣2 分,又知道他做错的题和没做的一样多。问小毛做对几道题?、开心辞典智力竞赛中，开心队抢答了 10道题，如果以100分开始算分，答对一题加10 分，答错一题减10分，最后开心队得了 140分，开心队答错了几题？、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分。如不做，不得 分也不扣分。若某同学得了 78分，那么，他做对了多少题？做错多少题？不做多少题？探、某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对 4道的人数 有多少人？探、有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但 第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？（第三讲）10条船，每条大船坐6人，每条小 实际人数多了 60（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18-2=9（条）小船当成大船。探、三年级老师和同学223人去春游，共乘8辆车，其中每辆大巴坐35人，中巴坐16人。问大巴、中巴各多少辆？、全班46人去划船，共乘12条船。其中大船每船坐5人，小船每船坐3人。问大、小 船各有几条？、某校现有12间宿舍，住着80个学生（正好住满）。宿舍的大小有三种：大号房间住 8 个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生。其中中号房间的宿舍最多，问中号房间 的宿舍有几间？、小蕾花40元钱买了 14张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3元5角，明信片每张2元5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张？探、红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了 16支，花了 2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？、学校有象棋、跳棋共26畐2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生 进行鸡兔同笼问题（假设法）例&刘老师带了 41名同学去北海公园划船，共租了 船坐4人，问大船、小船各租几条？分析：假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐 6X 10=60（人）。假设后的总人数比 例7、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？分析：假设买了 16套彩色文化用品，则共需 24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，普通文化用品24-8=3（套），买彩色文化用品 这两种文化用品共买了 16套,19X 16=304 每换一套少用 16 3=13（元），比实际多 304 280=1911=8（元），所以买 活动。问：象棋与跳棋各有多少副？、某玩具店新购进飞机和汽车模型 30个，其中飞机模型每个有 3 个轮子，汽车模型每个 有 4 个轮子，这些玩具模型车共有 110 个轮子，那么新购进的飞机模型有多少辆？、在一个停车场上，停放的车辆（汽车和三轮摩托车）总数恰好是 24。其中每辆汽车有 4 个轮子，每辆摩托车有 3 个轮子。这些车共有 86 个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？探、100名学生参加社会实践，高年级学生 2人一组，低年级学生3人一组，共有41组。高、低年级学生各有多少人？、老师和学生一共 44人参加义务植树活动。老师每人植 5棵，学生每人植 2棵，正好一 共植了 100棵。参加植树的老师和学生各有多少人？、滨湖小学的教师和学生共 100 人去植树。教师每人栽 3 棵树，学生平均每 3个人栽 棵树，一共栽 100 棵，问教师和学生各有多少人？、有钢笔和铅笔共 铅笔有多少盒？27盒,共计 300 支。钢笔每盒 10 支,铅笔每盒 12 支,则钢笔有多少盒,、松鼠妈妈采松球，个松球，平均每天 14 个。晴天每天可以采 20个，雨天每天只能采 12 个，它一连几天才了 112 问这些天当中有几天是雨天？、松鼠妈妈采松子，天，也有雨天，其中雨天比晴天多 3天，但采的个数却比晴天采的个数少 27个，问一共采了多 少天？晴天每天可采 16 个，雨天每天可采 11 个，一连采了若干天，有晴、学校购买每支价格为 4 角和 8 角两种铅笔。共花了 68 元。已知 8 角一支的铅笔比 4 角一支的铅笔多 40 支，那么，两种铅笔各买了多少支？、学生买回 4 个篮球 5个排球一共用 185元,一个篮球比一个排球贵 8 元,篮球的单价是多 少元？、班主任张老师带五年级（2）班 50名同学栽树,张老师一人栽 5棵,男生一人栽 3棵,女生一 人栽 2 棵,总共栽树 120棵,问几名男生，几名女生？鸡兔同笼问题（假设法）（第四讲）例 8、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿；蜻 蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？分析：这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有 蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿 数为6X 18=108（条）,所差118108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）-（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18 5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1X13=13（对），比实际数少20-13=7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求 7-（2-1）=7（只）.、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 36只，有 236条腿和 40对翅膀。问：每种小虫各有几只？、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着 3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅 不戴铃铛。小明数了数，一共 9 个脑袋、28条腿、11 个铃铛，三种动物各有多少只？王老师用了 117元买了 18本书，其中科技书和故事书共 17 本，字典一本（一本字典 已知科技书每本 8 元，故事书每本 4 元。问科技书、故事书各买了多少本？某工厂共有 27位师傅带 40 名徒弟。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍，请问带两 名徒弟的师傅有多少人？、甲乙两人射击,若命中,甲得 4分,乙得 5分;若不中,甲失 2分,乙失 3分,每人各射 10发,共命中 14 发,结算分数时,甲比乙多 10 分,问甲、乙各中几发?、17、例 9、一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比 每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 X 36=144（吨）。根据条件，要装完这 144吨钢材还需要45-36=9（辆）卡车能装144-9=16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：4 X 36-（45-36）X 45=720（吨）。答：这批钢材有 720 吨。探、有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。小筐多装运 20千克，那么这批水果有多少千克？、某校有 100 名学生参加数学竞赛,平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分，女生平均 分是 70 分,男同学比女同学多多少人?、自行车越野赛全程 220 千米，全程被分为 20 个路段，其中一部分路段长 14 千米，其余的长 9 千米问：长 9 千米的路段有多少个？例 10、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少 了 12X（2+3）=60（下）。可求出小乐每分钟跳（780-60）-（2+3+3）=90（下），小 乐一共跳了 90X 3=270（下），因此小喜比小乐共多跳 780270X 2=240（下）。、甲乙两个工程队共同修筑一段长 4200 米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修 100 米。现由甲工程队先修 3 天，余下的路段由甲、乙两队合修，正好花 6 天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七 个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多 13首，总字数却反而少了 20个字.问两种 诗各多少首？利用假设法，4 吨，所以要剩下 4 小卡车。这样每辆小 已知每只大筐比每只 、小宇去游山，他从东坡上山，每小时行 2千米，到山顶上玩1个小时，又从西坡下山,每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时，求上山、下山的路各几千米？鸡兔同笼问题（假设法）（第五讲）例11、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比 兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中 就会减少4+2=6（只），而180-6=30，因此有兔子30只，鸡100 30=70（只）。解：有兔（2 X 100 20）-（2+4）=30（只），有鸡 100 30=70（只）。探、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？、龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只?、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?例12、鸡兔共200只，鸡的脚比兔的脚少56只，则鸡有几只，兔有几只？分析：如果200只都是兔，兔脚：200X 4=800只，鸡脚：0只，鸡脚比兔脚少：800只，把 1只兔换成鸡，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，鸡脚与兔脚的差，减少：4+2=6只，一共需要减 少：800-56=744只，鸡：744-6=124只，兔：200-124=76只。、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28。问鸡与兔各几只？、在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共15只，松鼠比百灵鸟少24条腿，百灵鸟和松鼠各有 多少只？例13、鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？思路：因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。每一对鸡和兔共4+2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。兔的只数：（168-2 X30）-（4+2）=18 只；鸡的只数：18+30=48只。、鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只。鸡、兔各几只？、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只?、鸡兔同笼,共有足 248 只,兔比鸡少 52只,那么兔有多少只,鸡有多少只？例14、水果糖的块数是巧克力糖的 3倍，如果小红每天吃 2块水果糖，1块巧克力糖，若 干天后，水果糖还剩下 7 块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？思路：水果糖的块数是巧克力糖的 3倍，如果小红每天吃 1 块巧克力糖，3块水果糖，几 天后，两种糖同时吃完。现在小红每天吃 2 块水果糖，少吃 32=1 块，若干天后水果糖还剩下 7块。所以共吃了 7-(3-2)=7天，水果糖有2X 7+7=21块。、某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的 4倍。每天卖出 2只红气球和 1 只黄气球，若干天后，红气球剩下 12只，黄气球刚好卖完。红气球原来有多少只？例 15、鸡、兔共有脚 100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各 几只？思路：一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚，中间有抵消,最后少了 100-92=8只脚，证明兔子比鸡多8宁2=4只，去掉这4只兔子，也就是92-4 X 2=8只脚.剩 下的兔子和鸡一样多，有84只脚，所以鸡有84十(4+2)=1姒，兔子有14+4=18只。或：鸡兔一共有：(100+92)-(4+2)=32只，如果这32只都是兔,有脚：32X4=128只，多了：128-100=28只，每只鸡比兔的脚少 42=2只,鸡有：28-2=14R，兔有：32-14=18只。、鸡兔共有 110 只脚，若鸡数和兔数互换，则有脚 100只，鸡和兔各有多少只？、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 86只.问：鸡、兔各有几 只？、鸡和兔共有脚 190只，若将鸡的数量和兔的数量互换，则共有脚 140只。问：原来鸡 和兔各有多少只？、鸡兔共有脚 92只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 100 只，则鸡、兔各有多少只？例 1 6、学校买来 8 张办公桌和 6 把椅子，共花去 1650 元。每张办公桌的价钱是每把椅子 的 2 倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？思路：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的 2倍”，则买 6把椅 子的价钱只能买6十2=3张办公桌，那么1650元就相当于8+3=11张办公桌的价钱。所以，每 张办公桌：1650-11=150元，每把椅子：、一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙 接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16天。甲先做了多少天？150-2=75 元。探、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干 小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7小时。甲打字用了多少小时？