高中数学复习学(教)案(第19讲)数列的综合应用.pdf

题目 第三章数列数列的综合应用 高考要求 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题 知识点归纳 1 通项与前 n 项和的关系：)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn 2 迭加累加法：1(),(2)nnaaf nn若，)2(12faa则，)3(23faa，)(1nfaann 1(2)(3)()naafff n 3 迭乘累乘法：)(1ngaann若，)2(12gaa则，)3(23gaa，)(1ngaann 1(2)()nagg na 4 裂项相消法：)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan 5 错位相减法：nnncba,nb是公差 d 0 等差数列，nc是公比 q 1 等比数列 nnnnncbcbcbcbS112211 1121nnnnncbcbcbqS则 所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq 6 通项分解法：nnncba 7 等差与等比的互变关系：nanab成 等 差 数 列(b0,b1)成 等 比 数 列 nnacad成等差数列(c 0)成等差数列 0lognanbnaa成等比数列成等差数列 knnaa成 等 比 数 列成 等 比 数 列 8等比、等差数列和的形式：BnAnSBAnaannn2成等差数列 (1)(0)nnnaSA qA(q1)成等比数列 9 无穷递缩等比数列的所有项和：1lim1nnnaaSSq(|q|0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(mk),问n为何值时，Sn最大？解：根据 BnAnSBAnaannn2成等差数列，首项 a10,若 m+k 为偶数,则当 n=(m+k)/2 时，Sn最大；若 m+k 为奇数，当 n=(m+k1)/2 或 n=(m+k+1)/2 时，Sn最大 例 2 已知关于 n 的不等式 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)32)1(log121aa对于一切大于 1 的自然数 n 都成立，求 a 的取值范围 解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)看成一个函数 f(n),将问题转化为函数 f(n)的最小值大于右式 f(n)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)f(n+1)f(n)1/(n+2)+1/(n+3)+1/(2n+2)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)1/(2n+2)+1/(2n+1)1/(n+1)1/(2n+1)1/(2n+2)0 f(n+1)f(n)函数 f(n)是增函数，故其最小值为 f(2)=7/12,7/1232)1(log121aa,解得：1aq 且 q1,p1,设 Cn=an+bn,Sn为数列Cn的前 n 项和，求1limnnnSS 解：)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111nnnnnnqpbpqaqpbpqaSS,以下分两种情况讨论：(1)当 p1 时,pq0,0q/p1nnpq)(lim=0,nnp)1(lim=0,两边同除以 pn,得：1limnnnSS=p;(2)当 pqo,0qp0),求使得点 P1,P2,P3都落在圆外的 r 的取值范围 证明：根据)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn得 an=a+(n1)2b,an是等差数列，首项为 a,公比为 2b 由 x=an=a+(n1)2b,y=Sn/n1=a+(n1)b 两式中消去 n,得：x2y+a2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r1)2+r2r2;(r2)2+(r1/2)2r2;(r3)2+(r1)2r2 r 的取值范围是(1,5/22)(0,1)(4+6,+)例 7 已知数列an满足条件 a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为 q(q0)的等比数列，设 bn=a2n1+a2n(n=1,2,3,)求出使不等式 anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN)成立的 q 的取值范围；求 bn和nnS1lim,其中 Sn为数列 bn的前 n 项的和；设 r=219 21,q=05,求数列nnbb212loglog的最大项和最小项的值 解：rqn1+rqnrqn+1,q0 0q(1+5)/2;qaaaaaannnnnn2121nnnnnnnnnnaaqaqaaaaabb21221221222121=q0 bn是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列，从而 bn=(1+r)qn1,当 q=1 时，Sn=n(1+r),nnS1lim=0;当 0q1 时，nnS1lim=0;nnbb212loglog=f(n)=nn2.202.19=1+1/(n202),当 n21 时，f(n)递减，f(n)f(21)1f(n)4;当 n=21 时，nnbb212loglog有最大值 225;当 n=20 时，nnbb212loglog有最小值4 例 8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么 24 分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的 5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为 x1,x2,xn,由已知 x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1,xn为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是 1/(24n),1)(24121nxxxnx1+x2+xn=24n;即 n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48,又 xn=5x1,xn=40即最后一个水龙头放水时间是 40 分钟 例 9 某林场原有森林木材量为 a，木材以每年 25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为 r,为使经过 20 年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量 x（取 lg2=03)解：用归纳法求解，第一年存量：125ax;第二年存量：125(125ax)x=a1252x(1+125);第三年存量：125a1252x(1+125)x=a1253x(1+125+1252);第 20 年末存量：a12520 x(1+125+1252+12519)=a125204x(112520)依题意：a125204x(112520)=4a,又设 y=12520lgy=20lg1 25=20(13lg2)=2 y=100,即 12520=100 x=8a/33 答：每年的最大砍伐量为 8a/33 例 10 某地区现有耕地面积 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到 1 公顷)解法一：以粮食单产比现在提高 22%为目标建立数学模型，设现有的人口为 A 人，人均粮食占有量为 b 吨，平均每年减少耕地 x 公顷，由题意可知：xbA1010)1.01()01.01(410)22.01(104Ab 解得：22.110)1.01()01.01(10)22.01(101044x,再用二项式定理进行计算可得：x4 解法二：以 10 年后人均粮食占有量比现在提高 10%为目标建立数学模型，粮食单产为 a 吨/公顷，可得：104)01.01()1010)(22.01(Axa%)101(104Aax4(公顷)例 10 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设 2001年末的汽车保有量为1a，以后每年末的汽车保有量依次为.,32aa，每年新增汽车x万辆 由题意得)06.0(94.006.094.011xaxaxaannnn即 万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,06.0)94.013030(,6006.094.0)06.030(11xannnxaxxannnnn 学生练习 1在 等 差 数 列 an 中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15=答案：130 2数列an中，a15=10,a45=90,若an为等差数列，则 a60=;若an为等比数列，则 a60=;答案：130，270（两种解法）3a1,a2,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为 60，下标为偶数的项的和为 45，则该数列的项数是 答案：7（直接列方程）4an是等比数列，且 an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5为 ；答案：5 5设等差数列an的前 n 项之和为 30，前 2n 项之和为 100，则它的前 3n 项之和为 答案：210 6an是等差数列，且 a1a4a8a12+a15=2,求 a3+a1 3的值；答案：4 7一个等差数列共 n 项，其和为 200，其中前 10 项之和为 25，后 10 项之和为 75，则 n=答案：40 8等比数列an中，已知 a1a2a3=1,a4a5a6=2,则 a7a8a9a10a11a12=答案：32;9等比数列an中，Sn=2n1,则 a12+a22+an2等于 答案：(4n1)/3 10数列an和bn均为等差数列，它们的前 n 项之和分别为 Sn,nS,若 Sn/nS=(7n+2)/(n+4),则 a5/b5=答案：5;11等差数列an的公差为 1/2,且前 100 项之和为 S100=145,求 a1+a3+a5+a99的值 答案：S100=a1+a3+a5+a99+a2+a4+a6+a100=2(a1+a3+a5+a99)+50d=145 a1+a3+a5+a99=60 12项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求该数列的中间项 答案：S奇+S偶=Sn;S奇S偶=a中；Sn=na中 a中=11 13等差数列an中，前 m 项之和(m 为奇数)为 77，其中偶数项之和为 33，a1am=18,求此数列的通项公式 答案：,44)(411maam（奇数项之和）3 3)(4112maam，两 式 相 除 得 到：(m+1)/(m1)=4/3 m=7，再 联 立 方 程 组 解 得：a1=20,am=2d=3an=3n+23 14 在等差数列an中，如果 Sm/Sn=m2/n2(m,n 为已知数),求 am/an的值 答案：(2m1)/(2n1)15 等差数列an中，公差 d0,其中nkkkaaa,21构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+k3+kn 答案：由题意知 a52=a1a17,列方程得到 a1=2d,公比 q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,nka=a1 3n1,(1)；又nka=a1+（kn1）d=121akn (2);由(1)及(2)得 kn=23n11,k1+k2+kn=2(1+3+32+3n1)n=3nn1 16在 1/n 和 n+1 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数成等比数列，求插入的n 个数之积 答案：2)1(nnn 17 等差数列an中，a3=12,S130,(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出S1,S2,S12中哪一个最大？并说明理由 答案：(1)由 S12=12a1+1211d/20,S13=13a1+1312d/20,3+d0 24/7d0,S13=13a70,a70,a70,故当 n6 时，Sn递增，n6 时，Sn递减，S6最大 18(1)数列an是首项为 1000，公比为 1/10 的等比数列，数列bn满足bk=)lglg(lg121kaaak(kN),求数列bn的前多少项的和最大？(2)数列an中，S7=S12,则数列的前 项之和最大 答案：（1）bk=3(k1)/2,bk为等差数列；bn0,bn+10,6n7所以第 6 项和第 7 项最大；（2）8 或 9数形结合 19 已知 nN,函数 y=(x2x+n)/(x2+1)的最小值与最大值的和为 an,又b1+2b2+nbn=(n+10)9100)109(1n 求 an和 bn的表达式；令 Cn=anbn,试问数列Cn有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由 答案：先用判别式法求出 an=n+1,又 b1+2b2+nbn=(n+10)9100)109(1n (1)b1+2b2+(n1)bn1=(n+9)9100)109(2n (2)相减得：bn=1)109(91n,从而 Cn=1)109(91nn,考虑数列的单调性，由 CnCn1,CnCn+1 8n9 故最大项为 C8=C9=7)109(18已知递增的等比数列an的前三项之积为 512，且这三项分别减去 1，3，9 后又成等差数列，求证：11111321naaaa 答案：a2=8,设公比为 q,则(8/q1)+(8q9)=2(83)q=2 或 q=1/2(舍去)Sn=14323212232221321nnnanaaa,用错位相减法得 Sn=11221nnn1 19已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,bn=1/Sn,且 a3b3=1/2,S3+S5=21 求数列bn的通项公式;求证：b1+b2+bn2 答案：bn=)1(2nn;bn=2(111nn)裂项相消，结果为 22/(n+1)2 20已知函数 f(x)=(x1)2,数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为q 的等比数列(qR,q1),若 a1=f(d1),a3=f(d+1),b1=f(q1),b3=f(q+1)求数列an,bn的通项公式；设数列cn对任意自然数 n 均有1332211nnnabcbcbcbc成立，求c1+c3+c5+c2n1的值 试比较(3bn1)/(3bn+1)与 an+1/an+2的大小，并证明你的结论 答案：an=2(n1);bn=3n1;cn/bn=an+1an=2cn=2bn=23n1 c1+c3+c5+c2n1=(9n1)/4;(3bn1)/(3bn+1)=(3n1)/(3n+1),an+1/an+2=n/(n+1)猜想 nN 时，有(3n1)/(3n+1)n/(n+1),用数学归纳法证明（略）21一计算机装置有一个数据入口 A 和一个运算结果的出口 B，将自然数列n中的各数依次输入 A 口，从 B口得到输出的数列an,结果表明：从 A 口输入 n=1 时，从 B口得到 a1=1/3;当 n2 时，从 A 口输入 n，从 B口得到的结果 an是将前一个结果 an1先乘以自然数列n中的第 n1 个奇数，再除以自然数列n中的第 n+1 个奇数,试问：(1)从 A 口输入 2 和 3 时，从 B口分别得到什么数？(2)从 A 口输入 2000 时，从 B口得到什么数？答案：(1)a1=311,a2=531,a3=751;(2)猜想 am=)12)(12(1mm,用数学归纳法证明（略），a2000=1/15999999 课前后备注