2012年高考浙江文科数学试题（含解析）.docx

2012年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（2012浙江）设全集U=1，2，3，4，5，6，设集合P=1，2，3，4，Q=3，4，5，则P（CUQ）=（）A1，2，3，4，6B1，2，3，4，5C1，2，5D1，22（2012浙江）已知i是虚数单位，则=（）A12iB2iC2+iD1+2i3（2012浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A1cm3B2cm3C3cm3D6cm34（2012浙江）设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2012浙江）设l是直线，是两个不同的平面（）A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l6（2012浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（）ABC D 7（2012浙江）设，是两个非零向量（）A若|+|=|，则B若，则|+|=|C若|+|=|，则存在实数，使得=D若存在实数，使得=，则|+|=|8（2012浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A3B2CD9（2012浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D610（2012浙江）设a0，b0，e是自然对数的底数（）A若ea+2a=eb+3b，则abB若ea+2a=eb+3b，则abC若ea2a=eb3b，则abD若ea2a=eb3b，则ab二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（2012浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为_12（2012浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是_13（2012浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_14（2012浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是_15（2012浙江）在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_16（2012浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x+1，则=_17（2012浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=_三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（2012浙江）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值19（2012浙江）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN*，数列bn满足an=4log2bn+3，nN*（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn20（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值21（2012浙江）已知aR，函数f（x）=4x32ax+a（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）+|2a|022（2012浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P0）的准线的距离为点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分（1）求p，t的值（2）求ABP面积的最大值2012年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（2012浙江）设全集U=1，2，3，4，5，6，设集合P=1，2，3，4，Q=3，4，5，则P（CUQ）=（）A1，2，3，4，6B1，2，3，4，5C1，2，5D1，2考点：交、并、补集的混合运算。专题：计算题。分析：由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P（CUQ）即可得到正确选项解答：解：U=1，2，3，4，5，6，Q=3，4，5，CUQ=1，2，6，又P=1，2，3，4，P（CUQ）=1，2故选D点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算2（2012浙江）已知i是虚数单位，则=（）A12iB2iC2+iD1+2i考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故选D点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握3（2012浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A1cm3B2cm3C3cm3D6cm3考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，三棱锥的体积是cm3，故选A点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题4（2012浙江）设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1A2C1可得答案解答：解：（1）充分性：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；（2）必要性：当直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：a2=21，即：a=1“a=1”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件故选C点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握5（2012浙江）设l是直线，是两个不同的平面（）A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l考点：平面与平面之间的位置关系。专题：证明题。分析：利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题解答：解：A，若l，l，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l，l，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故B正确；C，若，l，则l可能在平面内，排除C；D，若，l，则l可能与平行，相交，排除D故选 B点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题6（2012浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换。专题：证明题；综合题。分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（x+）的图象变换公式等知识点，属于基础题7（2012浙江）设，是两个非零向量（）A若|+|=|，则B若，则|+|=|C若|+|=|，则存在实数，使得=D若存在实数，使得=，则|+|=|考点：平面向量的综合题。专题：计算题。分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可解答：解：对于A，显然|+|=|，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若，则|+|=|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=|不正确；对于C，若|+|=|，则存在实数，使得=，例如，显然=，所以正确对于D，若存在实数，使得=，则|+|=|，例如，显然=，但是|+|=|，不正确故选C点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力8（2012浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A3B2CD考点：圆锥曲线的共同特征。专题：计算题。分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值解答：解：M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍9（2012浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6考点：基本不等式在最值问题中的应用。专题：计算题。分析：将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值解答：解：正数x，y满足x+3y=5xy，=13x+4y=（）（3x+4y）=+2=5当且仅当=时取等号3x+4y5即3x+4y的最小值是5故选C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题10（2012浙江）设a0，b0，e是自然对数的底数（）A若ea+2a=eb+3b，则abB若ea+2a=eb+3b，则abC若ea2a=eb3b，则abD若ea2a=eb3b，则ab考点：指数函数综合题。专题：计算题。分析：对于ea+2a=eb+3b，若ab成立，经分析可排除B；对于ea2a=eb3b，若ab成立，经分析可排除C，D，从而可得答案解答：解：对于ea+2a=eb+3b，若ab成立，则必有eaeb，故必有2a3b，即有ab这与ab矛盾，故ab成立不可能成立，故B不对；对于ea2a=eb3b，若ab成立，则必有eaeb，故必有2a3b，即有ab，故排除C，D故选A点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea2a=eb3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（2012浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160考点：分层抽样方法。专题：计算题。分析：先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果解答：解：有男生560人，女生420人，年级共有560+420=980用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，每个个体被抽到的概率是=，要从男生中抽取560×=160，故答案为：160点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题12（2012浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率。专题：计算题。分析：先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可解答：解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能故该两点间的距离为的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题13（2012浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是考点：循环结构。专题：计算题。分析：通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可解答：解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，满足判断框的条件，退出循环，输出结果故答案为：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力14（2012浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是0，考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围解答：解：约束条件 对应的平面区域如图示：由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0在B处取最大值，由可得B（），此时z=故Z=x+2y的取值范围为：0，故答案为：0，点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键15（2012浙江）在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=16考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：设AMB=，则AMC=，再由 =（ ）（ ）以及两个向量的数量积的定义求出结果解答：解：设AMB=，则AMC=又=，=，=（ ）（ ）=+，=255×3cos3×5cos（）+9=16，故答案为16点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题16（2012浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x+1，则=考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。专题：计算题。分析：利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可解答：解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，=f（+2）=f（），又函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（）=f（），又当x0，1时，f（x）=x+1，有：f（）=+1=，则=故答案为点评：本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握17（2012浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。专题：计算题。分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，4），半径为圆心到直线y=x的距离为=2曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2=则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于令y=2x=1解得x=，故切点为（，+a）切线方程为y（+a）=x即xy+a=0由题意可知xy+a=0与直线y=x的距离为即解得a=或当a=时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（2012浙江）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值考点：解三角形。专题：计算题。分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作，联立即可求出a与c的值解答：解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，A为三角形的内角，sinA0，sinB=cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，B=；（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a，b=3，cosB=，由余弦定理b2=a2+c22accosB得：9=a2+c2ac，联立解得：a=，c=2点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键19（2012浙江）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN*，数列bn满足an=4log2bn+3，nN*（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。专题：计算题。分析：（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=，当n2时，由an=snsn1可求通项，进而可求bn（II）由（I）知，利用错位相减可求数列的和解答：解（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n2时，an=snsn1=2n2+n2（n1）2（n1）=4n1而n=1，a1=41=3适合上式，故an=4n1，又足an=4log2bn+3=4n1（II）由（I）知，2Tn=3×2+7×22+（4n5）2n1+（4n1）2n=（4n1）2n=（4n1）2n3+4（2n2）=（4n5）2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用20（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。专题：综合题。分析：（1）（i）先由C1B1A1D1证明C1B1平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1EF，证出EFA1D1（ii）易通过证明B1C1平面ABB1A1得出B1C1BA1，再由tanA1B1F=tanAA1B=，即A1B1F=AA1B，得出BA1B1F所以BA1平面B1C1EF；（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角在RTBHC1中求解即可解答：（1）证明（i）C1B1A1D1，C1B1平面ADD1A1，C1B1平面ADD1A1，又C1B1平面B1C1EF，平面B1C1EF平面平面ADD1A1=EF，C1B1EF，EFA1D1；（ii）BB1平面A1B1C1D1，BB1B1C1，又B1C1B1A1，B1C1平面ABB1A1，B1C1BA1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1F=tanAA1B=，即A1B1F=AA1B，故BA1B1F所以BA1平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RTBHC1中，BC1=2，sinBC1H=，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力21（2012浙江）已知aR，函数f（x）=4x32ax+a（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）+|2a|0考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。专题：综合题。分析：（1）求导函数，再分类讨论：a0时，f（x）0恒成立；a0时，f（x）=12x22a=12（x）（x+），由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间；（2）由于0x1，故当a2时，f（x）+|2a|=4x32ax+24x34x+2；当a2时，f（x）+|2a|=4x3+2a（1x）24x3+4（1x）2=4x34x+2，构造函数g（x）=2x32x+1，0x1，确定g（x）min=g（）=10，即可证得结论解答：（1）解：求导函数可得f（x）=12x22aa0时，f（x）0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（，+）a0时，f（x）=12x22a=12（x）（x+）f（x）的单调递增区间为（，），（，+）；单调递增区间为（，）；（2）证明：由于0x1，故当a2时，f（x）+|2a|=4x32ax+24x34x+2当a2时，f（x）+|2a|=4x3+2a（1x）24x3+4（1x）2=4x34x+2设g（x）=2x32x+1，0x1，g（x）=6（x）（x+）x0（0，）g（x）+g（x）极小值g（x）min=g（）=10当0x1时，2x32x+10当0x1时，f（x）+|2a|0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题22（2012浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P0）的准线的距离为点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分（1）求p，t的值（2）求ABP面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。专题：计算题；综合题；转化思想。分析：（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P0）的准线的距离为列出方程，求出p，t的值即可（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k0），利用推出AB的方程ym=利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设ABP的面积为S，求出S=|12（mm2）|利用函数的导数求出ABP面积的最大值解答：解：（1）由题意可知得，（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k0），由得，（y1y2）（y1+y2）=x1x2，故k2m=1，所以直线AB方程为ym=即=4m4m20，y1+y2=2m，y1y2=2m2m从而|AB|=，设点P到直线AB的距离为d，则d=，设ABP的面积为S，则S=|12（mm2）|由=0，得0m1，令u=，则S=u（12u2），则S（u）=16u2，S（u）=0，得u=，所以S最大值=S（）=故ABP面积的最大值为点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力