湖南省长沙市长郡中学2023年届高三上学期第五次调研考试数学(文科)试题（22页）.doc

湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第五次调研考试数学(文科)试题(解析版)（22页） 20232023 学年高三第五次调研考试 文科数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知实数 a 满意，且，则 A. 2 iB. -2 iC. 2- iD. -2- i 【答案】 C 【解析】 【分析】 先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到. 【详解】由于，故. 又，应选 C. 【点睛】此题考察复数相等的条件及复数概念，属于根底题. 2.设集合 ， ，则 A. （ 0， 1） B. 0 ， 1） C. （ 0， 1 D. 0 ， 1 【答案】 A 【解析】 【分析】 算出两个集合后可求它们的交集. 【详解】 ， ，故 ，应选 A. 【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如 表示函数的定 义域，而 表示函数的值域， 表示函数的图像 . 3.“函数 在区间 上单调递增”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 1 考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系. 【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增， 取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增” 是“”的必要不充分条件. 【点睛】充分性与必要性的推断，可以依据命题的真假来推断，若“若则 ”是真命题，“若则 ”是假命 题，则是 的充分不必要条件；若“若则 ”是真命题，“若则 ”是真命题，则是 的充分必要条件；若 “若则 ”是假命题， “若则 ”是真命题， 则 是 的必要不充分条件；若“若则 ”是假命题， “若则 ” 是假命题，则是 的既不充分也不必要条件. 4.已知函数的图象过定点P，且角 的终边过点P，始边与 x 轴的正半轴重合， 则 的值为 A.B.C.D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 先求出的坐标，再求出，最终利用倍角公式求出后可得. 【详解】由于的图像过定点，所以，故， ，应选 C. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、构造的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而构造上差异 的处理则是已知公式的逆用等，最终角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 5.数列满意点在直线上，则前5 项和为 A.B.C.D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 依据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，依据公式可求. 【详解】由于在直线上，所以，故， 2 所以当时，有即， 又，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， ，选 A. 【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间 的相互转化 . 6.设点为坐标原点，点E（ 1，k），点 P（ x，y）满意，若目标函数的最大值为 10则实数k A. 2B. 5C.D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值争论动直线 的位置可得实数的值 . 【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如下图： 其中，. 当时，动直线过时有 有最大值，且最大值为，故. 当时，动直线过或时 有最大值，过前者，则最大值为，不合题意；若为后者，舍去 . 3 综上，选 C. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二 元函数的几何意义，比方表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的 连线的斜率 7.我国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下其次十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物 不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二， 除以五余三，除以七余二，求这个整数这类问题可以用计算机解决记 N r （ MOD ），即正整数 N 除以正 m 整数 m的余数为 r ，例如 10 2（ MOD 4）执行如下图的程序框图，则输出的 i 等于 A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】 C 【解析】 【分析】 流程图的作用是求最小的正整数，满意除以的余数分别为 【详解】流程图是求最小的正整数，满意除以的余数分别为除以余数为的正整数依次为 ，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第 8 个整数，故的输出值为， C 【点睛】此题考察流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于根底题 8.已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的选项是 A.是真命题B.是真命题 4 C.是假命题D.是假命题 【答案】 B 【解析】 【分析】 先推断命题都是真命题，故可得正确选项 【详解】对于，的定义域为， ， 进一步化简得到， 故为奇函数，故为真命题 对于，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如下图， ， ，由于 ， 故 ，即 故 为真命题， 综上， 为真命题，选 B 【点睛】复合命题 的真假推断为“一真必真，全假才假”， 的真假推断为“全真才真，一假必假”， 的真假推断是“真假相反” 9. 已知抛物线 上一点 M（ 4， y0 ）（ y0 0）到焦点 F 的距离为 5，直线 l 过点 N（-1 ， 0）， 且 l ，则直线 l 与抛物线 C 的交点个数为 OM A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1个或 2 个 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用焦半径公式计算出后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线的方程，联立直线的方程和抛物线 5 方程利用判别式可得它们交点的个数 【详解】，所以， 又，故，直线 由可得，解得， 故直线 与抛物线只有一个交点选B 【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点 到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来争论. 10.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，假如存在实数 x0，使得对任意的实数x，都有成立，当取最小值时 A.在上是增函数B.在上是增函数 C.在上是减函数D.在上是减函数 【答案】 B 【解析】 【分析】 依据函数的零点和对称轴得到 的值，再依据 恒成立可以得到 的表达式，求出 的最小 值后再求函数的单调区间可得正确的选项. 【详解】由于 为函数的零点，故 . 由于 是图像的对称轴，故 ，故 ，. 因 ，故 或者 ，所以 或者 ， . 因 恒成立，故 ， 若 ，故 ，所以 ，故 ； 若 ，则 ，所以 ，故 ； 所以 ，令 ， ， 故 ，所以 在 上为增函数， 应选 B. 【点睛】一般地，我们讨论的图像和性质时，通常用复合函数的方法来争论，比方求函数的 6 单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围 即可，比方求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心. 11.已知 P 是边长为3 的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值 A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 设的外接圆的圆心为，则，故，计算的最大值 可求的最大值 . 【 详 解 】 设的 外 接 圆 的 圆 心 为， 则 圆 的 半 径 为， 故 . ，故，当共线同向时取最大值.选 D. 【点睛】向量数量积或模长的计算中，留意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角 形中，假如为三角形的重心，则. 12.对于任意的，关于 x 的方程在上有三个根，则实数a 的取值范围是 A.B.C.D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 原方程可以化成，取，利用导数讨论两个函数的单调性、 极值和最值可得实数的取值范围 . 【详解】原方程可以化成，取，. ， 当时，故在上为减函数； 当时，故在上为增函数； 当时，故在上为增函数； 7 ， ，故，在上为增函数 . 由于关于的方程在有三个不同的实数根，故 ，故，解答，应选 A. 【点睛】简单方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟识函数对应的方程，再把方程解的特 征转化为函数应当具有的特征，最终利用导数讨论函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围， 二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分） 13.已知三棱锥A BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB，BC 3， AC 2，若三棱锥A BCD 体积的最大值为，则此球的外表积为_ 【答案】 16 【解析】 【分析】 为直角三角形，设球的半径为，体积最大时，到的距离为，利用体积的最大值计 算出后可得球的外表积 【详解】为直角三角形，设球的半径为，球心为，的中点为， 则平面，因平面，故 三棱锥的最大体积为， 解得，故球的外表积为，填 【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置在可解的三角形中 14.设是函数的一个极值点，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用可得的值，从而得打的值 【详解】由于为的极值点，故即， 8 所以，故，填 【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描 述则是：“在 的四周的任意 ，有 （ ） ”另外假如 在 四周可导且 的左右两侧导 数的符号发生变化，则 必为函数的极值点且 15.已知双曲线 1、 F2， P为双曲线 C上一点，以 F1F2 为直径的 的左、右焦点分别是 F 圆与双曲线的渐近线交于点Q， P、 Q均位于第一象限，且P 为 QF2 的中点，则双曲线C的离心率为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率 【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为，右焦点， 则，故 又，故，所以，代入双曲线方程有，从而填 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值 范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组 16.已知直线与曲线至少有一个公共点，则的取值范围 _ 【答案】 【解析】 【分析】 直线 过定点，曲线如下图， 计算出动直线与曲线在其次象限内的圆弧相切以及动直线与第 一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得的取值范围 【详解】直线过定点，曲线如下图： 9 其中，各圆弧所在圆的半径为，设过的动直线为 即， 考虑动直线与其次象限的曲线相切时有 ，解得或（舎） 过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作的平行线， 与曲线在第一象限内的交点为，则，故直线 分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切， 故当动直线与曲线至少有一个公共点时， 若斜率存在（），则即，也就是； 若斜率不存在，则 综上，故填 【点睛】动直线中含有两个参数，由于两个参数是齐次的，故而可推断动直线过定点曲线的方程具有这样 的特点：若 在曲线上，则 也在曲线上，故曲线关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称，故而可精确刻画曲线的外形 三、解答题（共70 分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项数列满意 （）求数列的通项公式； （）令，记数列的前 n 项和为 Tn，求证： 【答案】（）通项公式为；（）详见解析 【解析】 10 【分析】 （ 1）用数学归纳法可求的通项 （ 2）由（ 1）可得，利用根本不等式可以证明，从而可证 【详解】（ 1），从而猜想：，下面用数学归纳法证明： 当时，有； 设当时，有，则当时， 有，所以当时，有； 由数学归纳法可知， （ 2）， 由根本不等式有 ， 所以， 所以， 故 【点睛】求数列的通项的根本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如 用累加法，用累乘法也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）数列不等式的证明， 可先求和再对和进展估量， 假如不能求和， 则需要对通项进展放缩， 使得得到的新数列的前 和易求且易估量 18. 如图，在多面体 ABCPE中，平面 PAC平面 ABC，AC BC， PE BC， 2PE BC，M是线段 AE的中点， N是线 段 PA 上一点，且满意 （0 1） AN AP （）若 ，求证： MN PC； （）是否存在，使得三棱锥M ACN与三棱锥 B ACP的体积比为1： 12？若存在，求出的值；若不 存在，请说明理由 11 【答案】（）详见解析； （）存在，； 【解析】 【分析】 （ 1）利用平面平面得到平面，从而得到，依据为中位线得到，故 （ 2）到平面的距离与到平面的距离之比为，因此到平面的距离与到平面的距离之 比为，只需要就有，此时，故可得的值 【详解】（ 1）由于平面平面，平面平面，平面，故平 面 因平面中，故 在中，由可以得到，而，所以，故 （ 2）当时，有 由于，所以 设到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，由为中点可得，又 由可得， 故，所以 12 【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而 线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中留意三种垂直关系的转化. 不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面 面积之比和高之比，留意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比. 19.长沙某公司对其主推产品在过去5 个月的月广告投入xi （百万元）和相应的销售额yi （百万元）进展了统 计，其中 i 1，2， 3， 4，5，对所得数据进展整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下： ， ，其中， i 1， 2， 3，4， 5 （）依据散点图推断，与哪一个相宜作为月销售额关于月广告投入xi 的回归方程类 型？（给出推断即可，不必说明理由） （）依据（）的推断结果及题中所给数据，建立y 关于 x 的回归方程，并据此估量月广告投入220 万元时的月销售额 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估量分别为： ， 【答案】（）更相宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程； （）月广告投入万元时的月销售额为万元 13 【解析】 【分析】 （ 1）依据散点图选择作为回归方程 （ 2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估量月销售额 【详解】（ 1）依据散点图选择作为回归方程 （ 2）令，则， ， 故回归方程为， 当月广告投入为万元时，月销售额为（万元） 答：选择作为回归方程，当月广告投入为万元时，月销售额约（万元） 【点睛】回归分析中，回归方程类型确实定是关键，应依据散点图的特征选择适宜的拟合函数（要熟识常见函数的图像） 20.已知点 F（ 2， 0），动点 P 满意：点P 到直线 x 1 的距离比其到点F 的距离小1 （）求点P 的轨迹 C的方程； （）过 F 作直线 l 垂直于 x 轴与曲线 C交于 A、B 两点， Q是曲线 C上异于 A、 B 的一点，设曲线 C在 点 A、B、Q处的切线分别为 l 、l 、l ，切线 l 、l 2 交于点 R，切线 l 、l 3 交于点 S，切线 l 、l 3 交于点 T，若 1 2 3 1 1 2 RST的面积为 6，求 Q点的横坐标 【答案】（）直线的一般方程为，轨迹 C的方程为；（）点的横坐标为 【解析】 【分析】 （ 1）利用抛物线的定义求出的方程 （ 2）求出两点的坐标后求出曲线在三点处的切线方程，求出交点的坐标后可计算面积， 从而得到的坐标 【详解】（ 1）点到 的距离与点到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线，从而 （ 2）令，则， 当时，有，故抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为 14 同理处切线方程为故 若，则，舎； 若，可设在第一象限，则抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为 由得， 同理，所以， ，解得或（舎） 【点睛】（ 1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满意一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程 . （ 2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率. 21.已知函数，其中 a R （）争论函数的单调性； （）当时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的 切线斜率为k，证明： 【答案】（ ）当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数（） 详见解析 【解析】 【分析】 （ 1）分和两种状况分别争论导数的符号可得函数的单调区间 （ 2）原不等式等价于，不妨设，则不等式又可以转化为即， 15 利用导数可证该不等式 【详解】（ 1 ） 当 时， ，故 的增区间为 当 时， 若 ，则 ，故 在 为增函数； 若 ，则 ，故 在 为减函数； 综上，当 时， 的增区间为 ； 当 时， 在 为增函数，在 为减函数 （ 2）当 时， ， 原不等式等价于 ， 不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为： ，因此原不等式等价于，下证该不等式成立 令，则， 故在为增函数，所以即成立， 综上，原不等式成立 【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之， 若在区间上可导且为单调增（减）函数，则多元不等式的恒成立问题，可考虑对原 有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明 22.在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为（ t 是参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 16 （）写出直线l 的一般方程、曲线C的参数方程； （）过曲线C上任意一点A 作与直线 l 的夹角为 45°的直线，设该直线与直线l 交于点 B，求的 最值 【答案】（）直线 的一般方程、曲线 C的参数方程（ 是参数）；（） 的最大值为6，最小值为2 【解析】 【分析】 （ 1）消去参数后可得直线的一般方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数 方程 （ 2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线 的距离的最大值和最小值， 所求的的最大值与最小值时前者的的倍 【详解】（ 1）直线 的一般方程为 ，故， 从而，圆的标准方程为， 其参数方程为（ 为参数） （ 2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距 离为，因直线 的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为 【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造当动点 在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题 17