《微积分》同步练习册.pdf

第五章 不定积分 凑微分法和分部积分法 （第节的容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）求下列不定积分：；资料 资料 求下列不定积分：；求下列不定积分：已知是 ；的一个原函数，求 已知 是的一个原函数，求 求下列有理函数的不定积分：；资料 求下列不定积分：；法）原式 法）原式 ；换元积分法 ；原式 原式 法）原式 资料 求不定积分 已知，求 试求不定积分 原式 资料 第六章 定积分 定积分的概念与性质 利用定积分的几何意义，计算下列定积分：）；）；）不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“”关系，并给出必要的理由）与 与 ）；）；）与；）与 利用定积分的性质，估计 的大小 考察在上的最大值和最小值。设 在区间 上连续，在 可导，且满足，试证：在 至少存在一点，使得 在上考察连续、可导，满足罗尔 定理的条件 从而有：（，）（，），使得 资料 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”，）并说明理由 ）；，其中 根据定积分的定义，试将极限 表达 为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：资料 求下列函数关于 ）；求下列极限：）微积分基本定理 的导数：；）；）；）求函数 的极值点 计算下列定积分：；）；）；资料 ），其中 ；），其中为常数 设在上连续，且满足 ，试求 试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限，其中 资料 定积分的换元积分法与分部积分法 试利用定积分的换元法计算下列积分：；）；）原式 ）利用函数的奇偶性计算下列定积分：；）奇函数 设是上 的 连 续 函 数，试 证：对 于 任 意 常 数，均有 资料 设 是 上的连续函数，并满足，试求 ，其中 试计算 利用定积分的分部积分法计算下列积分：）；）；已知 是上的连续函数，试证：）即证 资料 资料 定积分的应用 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：）；）假 设 曲 线 、轴和轴 所围 成 的 区域 被曲 线 分为面积相等的两部分，试确定常数 的值 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：）；绕轴，资料 （）：（）绕轴 （舍）（），极大点 最大值（）（）绕轴 已知某产品的固定成本为，边际成本和边际收益函数分别为 ，其中为产品的销售量（产 量），试求最大利润 已知某产品在定价 时的市场需求量 ，在任意价格 处的需 求价格弹性为 均为常数，为产品在价格处，其中 的市场需求量。试求该产品的市场需求函数 资料 资料 反常积分初步 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛 则求其值 （为常数）；（为常数）；发散 发散 发散 发散 （其中，均为常数）发散 求下列极限：；判定下列积分的敛散性；若收敛 则求其值 ，为常数；发散 发散 资料 ；发散 利用 函数和 函数的性质，以及 计算下列反常积分（提示：利用 函数的定义，以及 的结果）；的结果，分别计算，试求解：考察曲线，该曲线与轴和直线 所围成的平面图形的“面积”；上述图形绕周旋转一周所成旋转体的“体积”资料 资料 第七章 多元函数微积分学 预备知识 多元函数的概念 已知点，在轴上找出与点 相距 的点 求过点，的平面方程 分别写出下列区域的“型”与“型”表达形式：由、所围成的区域；型 型 由 、所围成的区域；型 型 由、所围成的区域 型 型 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（）；（）资料 设 ，求 试求下列二元函数的极限：（）；（）设 ，讨论在点处的 连续性 不存在，从而不连续。资料 偏导数与全微分 求下列函数在给定点处的偏导数：（），求；（），求 （），求 设 在处 ，分别讨论 是否连续、是否存在偏导数 求下列函数的指定偏导数：（），求；（），求；在连续 资料 求下列函数的全微分：（）；（）求函数 在点处的全微分 计算的近似值 已知一矩形的长为 米、宽为 米。当长增加 厘米，宽减少 厘米 时，求矩形对角线长度变化的近似值。资料 多元复合函数与隐函数微分法 求下列复合函数的偏导数或导数：（），求 ；（），求；设 ，求 设可导，证明：（），求；（），求 资料 求下列方程所确定隐函数的导数：（）；法）法）两边微分 法）两边对 求导 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数 微分：（）；（）的全 （）资料 （）法）微分 高阶偏导数 设 求 法）设 求 设可微 求 资料 代入即可。设 可微 ，求 代入即可。设 ，求 令 则 资料 多元函数的极值 求曲线 上到平面距离最短的点 求 的极值 求 在区域 上的最大值与最 小值 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品，商品在两个市场 上的需求量与定价分别满足 ，其中分别 是该产品在两个市场上的价格 单位：万元吨，分别是该产品在两 个市场上的需求量 单位：吨，且该企业生产这种产品的总成本函数为 。如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上 该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。求 在条件，下的最值 资料 资料 资料 二重积分 将二重积分 按两种次序化为累次积分，其中积分区域 分别给定如下：（）（）由曲线 与直线所围成；（）由直线，所围成 计算二重积分：（）；交换积分次序：（）；（）；（）；资料 画出区域，并把 化为极坐标系下的二次积分：（），其中由 所围成 （）；（）计算累次积分：（）（）；利用极坐标变换计算：（），；资料 （）计算二重积分 用二重积分计算曲线，围成的平面图形的面积 试证明下列命题：用二重积分计算由坐标面与平面 所围立体的体积（）若连续于，则 ；资料 （）若在上均连续、单增，则 资料 第八章 无穷级数 常数项级数的概念和性质 ；利用下列级数 的部分和求 和以及和值 ；已知级数 收敛，且和值为，证明：级数 收敛，且和值为；判断下列级数是否收敛；若收敛，求其和值 ；级数 收敛 资料 和 利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的 敛散性：；给定级数，有，试证级数 收敛，其 资料 正项级数 利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：；利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性：；资料 收敛，则 证明：若正项级数 与 均收敛 假设正项级数 发散，试证：收敛）级数 发散；）级数 资料 任意项级数 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？；判别下列交错级数的敛散性：；资料 如果级数 绝对收敛，试证：级数 绝对收敛；级数 收敛 资料 幂级数 求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：；求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域上的和函数：；资料 求幂级数 收敛域及和函数，并求 的和 将下列函数展开成 的幂级数，并写明后者的收敛域 ；已知级数 在 时收敛 试讨论 在以下 各点处的敛散性：；求下列函数在指定点的幂级数展开式，并求收敛域 ；资料 验证函数 ，的解：是否为初值问题 第九章 微分方程初步 微分方程的基本概念 验证函数 是否分别为：）微分方程 的解；）初 值问题，的解：验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：，；，；一阶微分方程 求下列方程的通解或在给定条件下的特解：；，资料 ，；设函数 设函数 ；满足方程 ，试求 ，试求 满足方程 ，证明：和函数满足微分方程 设 资料 方程 ，并求 资料 第十章 差分方程 差分方程的基本概念 ，计算下列差分：，求；，求 简单的一阶常系数差分方程的解法 求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：按教材定义 ；改写下列差分方程，并指出方程的阶数：；验证以下是否为数列所给方程的解（其中，为任意常数）：，；，资料 资料 【补充材料】第五章 不定积分（学年第一学期容缩编）原函数与不定积分的概念 基本积分公式 已知一曲线经过点，且在其上任一点 处的切线斜率等于 ，求曲线的方程 求下列不定积分：已知 求不定积分 ；已知 求不定积分 ；已知 求不定积分 求下列不定积分：；资料 第五章 自测题 一、选择题 设 ，则 的结果是 设 ，则 若，则下列等式中一定成立的是 下列等式中不成立的是 设 ，且，则 在，均可导，且 ，则 （常数）与之间的关系不确定 二、填空题 若，则 资料 设 ，则 已知的一个原函数为，则 设，则 不定积分 设 ，则 三、解答题 计算下列不定积分：；资料 已知 ，求不定积分 已知 ，求 第六章 自测题 一、选择题 设是上的连续函数，则下列论断不正确是 是的一个原函数 是的一个原函数 是的一个原函数 在上可积 设 是连续函数，是 的原函数，则 当 是奇函数时，必为偶函数 资料 当是偶函数时，必为奇函数 当是周期函数时，必为周期函数 当 是单调递增函数时，必为单调递增函数 设在区间上，则下列不等式成立 的是 设在 为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 设 在 连续，且在 时可导，且 ，则 下列正确的是 不存在 存在且不存在 存在且 存在且 设函数有连续的导数，且当 时，与为同阶无穷小，则 ，则为 已知 正常数 负常数 零 非常数 已知 ，则为 正常数 负常数 零 非常数 二、填空题 设具 有 一 阶 连 续 导 数，且，则 资料 ，已知，则 设连 续，且 设 ，那么 设连续函数满足 ，则 三、解答题 求下列定积分：；求下列反常积分：；设 ，求 资料 求由曲线 及直线 围成图形分别绕 轴和轴 求由抛物线 与它在点 旋转形成的体积 及点处的两 条切线所围成图形的面积 资料 设某产品的边际成本 万元台，其中表示产量，固定成 本为万元，边际收益 万元台，试求：）总成本函数和总收益函数；）获得最大利润时的产量；）达到上述最 大利润后，又多生产了 台，此时总利润的近似变化值 资料 资料 第七章 自测题 一、选择题 极限 存在的充分条件是 点沿无穷条路径趋于点时，的极限均存在且 相等 存在 点沿过的任意直线趋于 时，的极限均 存在且相等 在处连续 若），则 二元函数 在点的偏导数存在是其在该点可微的 充分条件必要条件充要条件非充要条件 设函数 定义于有界闭区域，那么正确的是 若可微、存在唯一驻点，且为极值点，则 必为最值点 若可微，且存在最值点，则必为驻点 若连续，且存在唯一的极值点，则必为最值点 若连续于，则在必存在最值 设在的某邻域具有连续的偏导数，且 若是可微函数 在约束条件 之下的极值点，则下 列命题正确的是 恒有 二、填空题 设 ，则 资料 设，则 设在坐标系下，则 在极坐标系下，无穷限积分 三、解答题 设 ，讨论在 点的连续性、偏导数以及 的偏导函数在在点 的连续性 求下列函数的全微分：，求；，求；已知有连续的偏导数，求 设 在连续偏导数，为正整数，证明 满足 的充要条件是对任意 有 资料 设，求 的极值 求 设具有二阶连续偏导数，求 设 求 在上的最 值 设由方程 所确定，求 资料 求周长为定值 的三角形面积的最大值 计算二重积分：（）（）提示：，其中为三角形的各边长 某厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别是 和单位：吨（）（）时，总 收 益 函 数 为 ，总成本函数为 单位：万元。此外，生产甲种产品每吨还需支付排污 万元。在限制排污费用支出 费 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 总额为万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大 最大总 利润是多少 资料 若及连续于，且，与均单 增，则 用二重积分计算圆锥体 被平面 所截部分的体积 证明：若为上的正的连续函数，则 ；资料 第八章 自测题 一、选择题 正项级数 收敛的充分必要条件是 数列单调有界 部分和数列有上界 下列结论中正确的是 若级数 都发散，则级数 发散；若级数 收敛，则级数 与 都收敛；若级数 与 都收敛，则级数 收敛；若级数 收敛 发散 则 的敛散性不确定 已知，则级数 收敛且其和为 收敛且其和为 收敛且其和为 发散 下列级数中发散的是 设 ，则下列级数中收敛的是 命题“若 发散，则 发散”成立的条件是 若幂级数 在 收敛则该级数在 处 条件收敛 绝对收敛 发散 敛散性不能确定 若 ，则幂级数 的收敛半径 资料 二、填空题 若级数 收敛于，则级数 收敛于 已知级数 ，则级数 若级数 收敛，则的取值为 级数 的敛散性是 ，级数 的敛散性是 幂级数 绝对收敛的条件是 ，条件收敛的条 件是 发散的条件是 设幂级数 在 条件收敛，则该幂级数的收敛半径条件 是 三、解答题 判别下列级数的敛散性：；证明：若级数 收敛，则级数 绝对收敛 资料 设 ，求 求下列级数的收敛域：；求 幂 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数，并 求 常 数 项 级 数 的和 将下列函数展开成幂级数，并求其收敛域：；资料 设函数满足方程 ，求的幂级数展开式及 其收敛域 资料 审计学院 学年第二学期微积分二试卷 一、填空题（共 个空，每空分 满分分）。设需求函数为，供给函数为，则消费者 剩余为 。为 。二、单项选择题（共 题，每题 分 满分分）下列反常积分收敛的是（）设函数 在点 处取得极大值，则函数 在点 处与函数 在点处（）。设，则，交换积分次序 设，则 函数 展开成的幂级数为 后者的收敛域为 。方程 满足初始条件 。，的 特 解 都取得极大值 恰有一个取得极大值 至多有一个取得极大值 都不能取得极大值 设函数在点 处的两个偏导数都存在，则（）在点处连续 在点处可微 和 都存在 存在 下列级数中，收敛的是（）若幂级数 在 处收敛，则该级数在处（）资料 绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定 三、计算题（共 题，第小题分，其余小题每题分，满分分）设 ，是可微函数，求。设 其中 由方程 所确定，求：（）；（）。计算，其中是由 和 所围成的区域。四、（分）设有幂级数，求：（）该级数在其收敛域 的和函数；（）求常数项级数 的和。五、证明题（共 题，每题分，满分分）设是以（）为周期的连续函数，证明：对任何常数，有 。设数列有界，证明级数 收敛。六、应用题（共 题，满分 分）（分）设平面图形由 ，所围成。试求：（）此平面图形的面积；（）此平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积。（分）某厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别是 和（单 位：吨），总收益函数为 ，成本 函数为 （单位：万元）。此外，生产甲种产品每吨还 需支付排污费 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 万元。在限制 排污费用支出总额为万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润是多少？资料 审计学院 学年第二学期微积分二试卷 一、填空题（共 个空，每空 分 满分分）收敛，则参数满足的条件为 。若 设 ，则，。交换积分次序 。的部分和 设级数 ，则 ，该级数的和 为 。函数 展开成的幂级数为 ，后者的收敛域为 。某商品的需求量 对价格 的弹性为 ，已知当价格 时，需 求 量，则 需 求 量对 价 格的 函 数 关 系 为。二、单项选择题（共 题，每题分 满分分）设 在点处连续，则下列说法中正确的是（）在 处一定连续 在 与 在 处仅有一个连续 与 分别在 与处连续 在 与 在 处都不一定连续 已知反常积分 收敛于（），则（）下列级数中绝对收敛的是（）设 ，则函数 在点处可微的充 分条件是（）在点 处连续 资料 在点处存在偏导数 若 ，则积分区域 为（）由轴，轴及 所围成的区域 由，及，所围成的区域 由 所围成的区域 ，由 ，所围成的区域 三、计算题（共 题，每小题 分，满分 分）设 ，求。在点 设 由方程 所确定，求偏导函数 处的值。求，其中 是由，和 所围成的区域。四、（分）设有幂级数 ，求：（）该级数的收敛域；（）在其收敛域的和函数；（）求数项级数 的和。五、证明题（分）设 ，证明函数 在 区间有唯一零点。六、（分）二元函数 ，问：在点是否连续，说明理由；在点关于的 一阶偏导数是否存在，说明理由。七、应用题（共题，满分分）（分）设平面图形由 ，所围成，试求：（）此平面图形的面积；（）此平面图形绕 轴旋转而成的旋转体体积。（分）设生产某种产品的数量与所用两种原料，的数量，间有 资料 关系式，欲用元购料，已知，原料的单价分别 为元和元，问购进两种原料各多少，可使生产的产品数量最多？审计学院 学年第二学期微积分二试卷 一、填空题（共 个空，每空分 满分 分）设 ，则 由方程 确定的曲线 在 处的法线方程为 将展开成 的幂级数为 交换积分次序：，则 微分方程 的通解为 二、单项选择题（共 题，每题分 满分分）下列级数中绝对收敛的是（）若 ，则积分区域 可以是（）由轴，轴及 围成的区域 由 及 围成的区域 由 围成的区域 由 围成的区域 下列广义积分收敛的是（）下列二元函数在 处不可微的是（）资料 （）三、计算题（共 题，每题 分，满分 分），求 求 所围成图形的面积，并求此图形绕 轴旋转生成的 旋转体体积 求 ，是由 围成的图形 由 确定，求 级数 的收敛域 计算定积分 已知 ，求 ，在 连续，并且 ，求 四、（满分 分）求二元函数 的极值，其中，分）设函数 五、（满分 ，问：（）在是否连续？（）在是否存在偏导数？六、证明题（满分分）方程 确定的，有 连续的偏导数，试证：七、综合题（分）求级数 的和函数 八应用题（分）某厂家生产的一种产品分别在两个市场销售，销售量 分别为和，边际收益分别为 ，总成本函数为，问厂家如何确定两个市场的销售 量，能使其获得的总利润最大？最大利润是多少？此时两市场的销售价格是多少？资料 学年第二学期微积分二试卷参考答案 一、填空题 ，二、单项选择题 三、（）（）四、和函数 ，；五、证明题 略 六、应用题 （）（）当 时，得最大总利润 （万元）学年第二学期微积分二试卷参考答案 一、填空题 ，二、单项选择题 三、四、（）收敛域 （），（）五、证明题 略 六、（）不连续 （）七、应用题（）（）资料 六、证明题 略 当原料，的数量分别为时，产品数量最多。七、综合题 和函数 ，学年第二学期微积分二试卷参考答案 最大利润为 ，售价。八应用题 一、填空题 ，二、单项选择题 三、，四、极大值 ，极小值 五、（）在 连续（）资料