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第五章第五章 参数估计参数估计 有时候人们可能对于总体的某个数量有时候人们可能对于总体的某个数量特征感爱好。比如：特征感爱好。比如：1.1.北方学院师生的月平均消费金额北方学院师生的月平均消费金额2.2.北方学院师生的月平均消费金额中各项北方学院师生的月平均消费金额中各项消费所占的比例消费所占的比例 上述数据是北方学院全体师生这个总上述数据是北方学院全体师生这个总体的在消费方面的数量特征，要知道这些体的在消费方面的数量特征，要知道这些特征，有哪些方法？特征，有哪些方法？方法一：对北方学院的全体师生做普查方法一：对北方学院的全体师生做普查描描述统计述统计方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，依据样本的数量特征推断总体的数量特征依据样本的数量特征推断总体的数量特征推断统计（参数估计推断统计（参数估计+假设检验）假设检验）参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。如：用样本均值如：用样本均值x x估计总体均值估计总体均值，用样本方差用样本方差s2s2估计总体方差估计总体方差22 用样本比率用样本比率p p估计总体比率估计总体比率本章要求驾驭学问点本章要求驾驭学问点l估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念l点估计与区间估计的区分点估计与区间估计的区分l评价估计量优良性的标准评价估计量优良性的标准l一个总体参数的区间估计方法一个总体参数的区间估计方法l两个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法l样本容量的确定方法样本容量的确定方法1.估计量：用于估计总体参数的随机变量估计量：用于估计总体参数的随机变量2.如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等3.例例如如:样样本本均均值值就就是是总总体体均均值值 的的一一个个估估计计量量4.参数用参数用 表示，估计量用表示，估计量用 表示表示5.估估计计值值：估估计计参参数数时时计计算算出出来来的的统统计计量量的的具具体值体值6.假假如如样样本本均均值值 x=80，则则80就就是是的的估估计计值值估计量与估计值估计量与估计值(estimator&estimated value)参数估计的方法参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计点估计点估计(point estimate)1.用样本的估计量干脆作为总体参数的估计值用样本的估计量干脆作为总体参数的估计值2.例如：用样本均值干脆作为总体均值的估计例如：用样本均值干脆作为总体均值的估计3.例例如如：用用两两个个样样本本均均值值之之差差干干脆脆作作为为总总体体均均值之差的估计值之差的估计4.没有给出估计值接近总体参数程度的信息没有给出估计值接近总体参数程度的信息5.点点估估计计的的方方法法有有矩矩估估计计法法、依依次次统统计计量量法法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等区间估计区间估计(interval estimate)1.在在点点估估计计的的基基础础上上，给给出出总总体体参参数数估估计计的的一一个个区区间间范范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.依依据据样样本本统统计计量量的的抽抽样样分分布布能能够够对对样样本本统统计计量量与与总总体体参数的接近程度给出一个概率度量参数的接近程度给出一个概率度量3.比比如如，某某班班级级平平均均分分数数在在7585之之间间，置置信信水水平平是是95%样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信区间置信区间置信下限置信下限置信下限置信下限置信上限置信上限置信上限置信上限区间估计的图示区间估计的图示 x95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58 x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平称为置信水平 2.表示为表示为(1-3.为是总体参数未在区间内的比率为是总体参数未在区间内的比率 4.常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%,95%,90%5.相应的相应的 为为0.01，0.05，0.106.相应的相应的Z/2为为2.58，1.96，1.65置信水平置信水平 1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值否包含总体参数的真值4.我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个不包含参数真值的区间中的一个置信区间置信区间(confidence interval)置信区间与置信水平置信区间与置信水平 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(1-(1-)%)%区间包含了区间包含了区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含的区间未包含的区间未包含 1 1 /2 2 /2 2影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度2.样本容量，样本容量，3.置信水平置信水平(1-)，影响，影响 z 的大小的大小评价估计量标准一评价估计量标准一无偏性无偏性 (unbiasedness)无无偏偏性性：估估计计量量抽抽样样分分布布的的数数学学期期望望等等于于被估计的总体参数被估计的总体参数。P P()B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏评价估计量标准二评价估计量标准二有效性有效性(efficiency)有效性有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效量，有更小标准差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布P P()评价估计量标准三评价估计量标准三一样性一样性(consistency)一一样样性性：随随着着样样本本容容量量的的增增大大，估估计计量量的的值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P P()其次节其次节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计l 总体均值的区间估计总体均值的区间估计l 总体比率的区间估计总体比率的区间估计l 总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件总体听从正态分布总体听从正态分布,且方差且方差()未知未知假如不是正态分布，可由正态分布来近似假如不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.运用正态分布统计量运用正态分布统计量 z3.总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例 】一一一一家家家家食食食食品品品品生生生生产产产产企企企企业业业业以以以以生生生生产产产产袋袋袋袋装装装装食食食食品品品品为为为为主主主主，为为为为对对对对产产产产量量量量质质质质量量量量进进进进行行行行监监监监测测测测，企企企企业业业业质质质质检检检检部部部部门门门门常常常常常常常常要要要要进进进进行行行行抽抽抽抽检检检检，以以以以分分分分析析析析每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量是是是是否否否否符符符符合合合合要要要要求求求求。现现现现从从从从某某某某天天天天生生生生产产产产的的的的一一一一批批批批食食食食品品品品中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取了了了了2525袋袋袋袋，测测测测得得得得每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量如如如如下下下下表表表表所所所所示示示示。已已已已知知知知产产产产品品品品重重重重量量量量的的的的分分分分布布布布听听听听从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，且且且且总总总总体体体体标标标标准准准准差差差差为为为为10g10g。试试试试估估估估计计计计该该该该批批批批产产产产品品品品平平平平均均均均重重重重量量量量的的的的置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为95%95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解解解解：已已已已知知知知N(N(，102)102)，n=25,n=25,1-1-=95%95%，z z/2=1.96/2=1.96。依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：总体均值总体均值总体均值总体均值在在在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g101.44g109.28g总体均值的区间估计总体均值的区间估计(小样本小样本)1.假定条件假定条件总体听从正态分布总体听从正态分布,且方差且方差()未知未知小样本小样本(n 30)2.运用运用 t 分布统计量分布统计量3.总体均值总体均值 在在1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为t 分布分布 t t 分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，它它通通常常要要比比正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。一一个个特特定定的的分分布布依依靠靠于于称称之之为为自自由由度度的的参参数数。随随着着自自由由度度的的增增大大，分分布布也也渐渐渐渐趋于正态分布趋于正态分布 x x xt t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布分布分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的不同自由度的不同自由度的t t分布分布分布分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)淡黄色淡黄色淡黄色淡黄色z z总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】已已已已知知知知某某某某种种种种灯灯灯灯泡泡泡泡的的的的寿寿寿寿命命命命听听听听从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，现现现现从从从从一一一一批批批批灯灯灯灯泡泡泡泡中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取1616只只只只，测测测测得得得得其其其其运运运运用用用用寿寿寿寿命命命命(小小小小时时时时)如如如如下。建立该批灯泡平均运用寿命下。建立该批灯泡平均运用寿命下。建立该批灯泡平均运用寿命下。建立该批灯泡平均运用寿命95%95%的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解解解解：已已已已 知知知知 N(N(，2)2)，n=16,n=16,1-1-=95%95%，t t/2=2.131/2=2.131 依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：依据样本数据计算得：，总体均值总体均值总体均值总体均值在在在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该该该该种种种种灯灯灯灯泡泡泡泡平平平平均均均均运运运运用用用用寿寿寿寿命命命命的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间为为为为1476.81476.8小小小小时时时时1503.21503.2小时小时小时小时总体比率的区间估计总体比率的区间估计1.假定条件假定条件总体听从二项分布总体听从二项分布可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似2.运用正态分布统计量运用正态分布统计量 z3.3.3.总体比率总体比率总体比率总体比率总体比率总体比率 在在在在在在1-1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为总体比率的区间估计总体比率的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】某某某某城城城城市市市市想想想想要要要要估估估估计计计计下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工中中中中女女女女性性性性所所所所占占占占的的的的比比比比率率率率，随随随随机机机机地地地地抽抽抽抽取取取取了了了了100100名名名名下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工，其其其其中中中中6565人人人人为为为为女女女女性性性性职职职职工工工工。试试试试以以以以95%95%的的的的置置置置信信信信水水水水平平平平估估估估计计计计该该该该城城城城市市市市下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工中中中中女女女女性性性性比比比比率率率率的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间解解解解：已已已已知知知知 n n=100=100，p p65%65%,1 1-=95%95%，z z /2/2=1.96=1.96该该该该城城城城市市市市下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工中中中中女女女女性性性性比比比比率率率率的的的的置置置置信信信信区间为区间为区间为区间为55.65%74.35%55.65%74.35%一个总体参数区间估计在一个总体参数区间估计在SPSS中的实现：中的实现：分析分析 探究探究统计量统计量描述性描述性均值的区间估计，输入置信度。均值的区间估计，输入置信度。比率估计数据用虚变量表示。比率估计数据用虚变量表示。总体方差的区间估计总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2.假设总体听从正态分布假设总体听从正态分布3.总体方差的点估计量为总体方差的点估计量为s2,且且4.总体方差在总体方差在1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计总体方差的区间估计(图示图示)1-1-1-1-总体方差总体方差总体方差总体方差总体方差总体方差1-1-1-1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间自由度为自由度为自由度为自由度为n n-1-1的的的的 分布分布分布分布总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】一一一一家家家家食食食食品品品品生生生生产产产产企企企企业业业业以以以以生生生生产产产产袋袋袋袋装装装装食食食食品品品品为为为为主主主主，现现现现从从从从某某某某天天天天生生生生产产产产的的的的一一一一批批批批食食食食品品品品中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取了了了了2525袋袋袋袋，测测测测得得得得每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量如如如如下下下下表表表表所所所所示示示示。已已已已知知知知产产产产品品品品重重重重量量量量的的的的分分分分布布布布听听听听从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布。以以以以95%95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题分析例题分析)解解解解:已知已知已知已知n n2525，1-1-95%,95%,依据样本数据计算得依据样本数据计算得依据样本数据计算得依据样本数据计算得 s2=93.21 s2=93.21 2 2置信度为置信度为置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为间为间为间为7.54g13.43g7.54g13.43g第三节第三节 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计l 两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计l 两个总体比率之差的区间估计两个总体比率之差的区间估计l 两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均均值值之差之差比率之差比率之差方差比方差比两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件两两个个总总体体都都听听从从正正态态分分布布，1、2已已知知若若不不是是正正态态分分布布,可可以以用用正正态态分分布布来来近近似似(n1 30和和n2 30)两个样本是独立的随机样本两个样本是独立的随机样本运用正态分布统计量运用正态分布统计量 z两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(大样本大样本)1.1，2已已知知时时，两两个个总总体体均均值值之之差差 1-2在在1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为2.1 1、2 2未知时，未知时，未知时，未知时，两个总体均值之差两个总体均值之差两个总体均值之差两个总体均值之差 1 1-2 2在在在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)【例例】某某地地区区教教化化委委员员会会想想估估计计两两所所中中学学的的学学生生高高考考时时的的英英语语平平均均分分数数之之差差，为为此此在在两两所所中中学学独独立立抽抽取取两两个个随随机机样样本本，有有关关数数据据如如右右表表。建建立立两两所所中中学学高高考考英英语语平平均均分分数数之之差差95%的的置置信区间信区间 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)解解解解:两个总体均值之差在两个总体均值之差在两个总体均值之差在两个总体均值之差在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.035.03分分分分10.9710.97分分分分两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本:1 1=)1.假定条件假定条件两个总体都听从正态分布两个总体都听从正态分布两个总体方差未知但相等：两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)2.总体方差的合并估计量总体方差的合并估计量3.3.估计估计估计估计量量量量 x x1 1 1 1-x x2 2 2 2的抽样标准差的抽样标准差的抽样标准差的抽样标准差两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本:1 1=)1.两个样本均值之差的标准化两个样本均值之差的标准化2.两个总体均值之差两个总体均值之差 1-2在在1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)【例例例例】为为为为估估估估计计计计两两两两种种种种方方方方法法法法组组组组装装装装产产产产品品品品所所所所需需需需时时时时间间间间的的的的差差差差异异异异，分分分分别别别别对对对对两两两两种种种种不不不不同同同同的的的的组组组组装装装装方方方方法法法法各各各各随随随随机机机机支支支支配配配配1212名名名名工工工工人人人人，每每每每个个个个工工工工人人人人组组组组装装装装一一一一件件件件产产产产品品品品所所所所需需需需的的的的时时时时间间间间（分分分分钟钟钟钟）下下下下如如如如表表表表。假假假假定定定定两两两两种种种种方方方方法法法法组组组组装装装装产产产产品品品品的的的的时时时时间间间间听听听听从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，且且且且方方方方差差差差相相相相等等等等。试试试试以以以以95%95%的的的的置置置置信信信信水水水水平平平平建建建建立立立立两两两两种种种种方方方方法法法法组组组组装装装装产产产产品品品品所所所所需需需需平平平平均均均均时间差值的置信区间时间差值的置信区间时间差值的置信区间时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)解解解解:依据样本数据计算得依据样本数据计算得依据样本数据计算得依据样本数据计算得 合并估计量为：合并估计量为：合并估计量为：合并估计量为：两两两两种种种种方方方方法法法法组组组组装装装装产产产产品品品品所所所所需需需需平平平平均均均均时时时时间间间间之之之之差差差差的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间为为为为0.140.14分钟分钟分钟分钟7.267.26分钟分钟分钟分钟估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 1.估计总体均值时样本容量估计总体均值时样本容量n为为2.样本容量样本容量n与总体方差与总体方差 2、允许误差、允许误差E、牢靠性系数、牢靠性系数Z或或t之间的关系为之间的关系为3.与总体方差成正比与总体方差成正比4.与允许误差成反比与允许误差成反比5.与牢靠性系数成正比与牢靠性系数成正比其中：其中：估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定(例题分析例题分析)【例例】拥拥有有工工商商管管理理学学士士学学位位的的高高校校毕毕业业生生年年薪薪的的标标准准差差大大约约为为2000元元，假假定定想想要要估估计计年年薪薪95%的的置置信信区区间间，希希望望允允许许误误差差为为400元元，应应抽取多大的样本容量？抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)解解解解:已知已知已知已知 =2000=2000，E E=400,=400,1-1-=95%=95%，z z /2/2=1.96=1.96 应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为即应抽取即应抽取即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本人作为样本人作为样本 估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定 1.依据比率区间估计公式可得样本容量依据比率区间估计公式可得样本容量n为为2.E的取值一般小于的取值一般小于0.13.未知时，可取最大值未知时，可取最大值0.5其中：其中：其中：其中：其中：其中：估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定(例题分析例题分析)【例例例例】依依依依据据据据以以以以往往往往的的的的生生生生产产产产统统统统计计计计，某某某某种种种种产产产产品品品品的的的的合合合合格格格格率率率率约约约约为为为为90%90%，现现现现要要要要求求求求 允允允允 许许许许 误误误误 差差差差 为为为为5%5%，在在在在 求求求求 95%95%的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间时时时时，应应应应抽抽抽抽取取取取多多多多少少少少个个个个产产产产品作为样本？品作为样本？品作为样本？品作为样本？解解解解:已已已已 知知知知 =90%=90%，=0.05=0.05，z z /2/2=1.96=1.96，E E=5%=5%应抽取的样本容量应抽取的样本容量应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为为为 应抽取应抽取应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本个产品作为样本个产品作为样本