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第五章 模型参考自适应限制系统 图图5.1 线性状态观测器线性状态观测器在观测器技术中建立了一个对象的模型，模型与对象由同一个输入量所激励。用真实对象的输出与观测模型的输出之差经过适当的增益修正之后，作为一个附加的修正输入加到观测模型中以确保：图5.2 含有参考模型的自适应限制系统在模型参考跟踪系统中，参考模型是限制系统的一部分。所要求的系统期望特性由参考模型状态的动态响应所确定，所定义的误差矢量在每一时刻干脆测量参考模型特性与被控对象实际特性之间的差，并对自适应机构的参数进行修正，产生一个协助的限制信号以保证可调系统达到参考模型规定的性能 比较图5.1和图5.2，可以看到线性模型跟踪限制系统与线性观测器之间存在着相像性，尽管它们目的不同，但它们结构却相像：在两种状况中，都含有两个子系统；一个真实的对象和一个人为构造的模型。两种状况都要求两个状态矢量具有相像的动态性能。为了达到这一目的，状态矢量或输出矢量之差被用来作为主要的信息来源一、模型参考自适应系统的结构类型1）并联模型参考自适应系统 2）串并联模型参考自适应系统3）串联模型参考自适应系统二、模型参考自适应系统的构成 1）参考模型2）可调系统3）自适应机构其中，可调系统包括被控对象，前置限制器和反馈限制器 依据参考模型、可调系统以及自适应机构的实现方式，模型参考自适应系统也可以分为连续型、离散型和混合型 从参考模型的种类上，可分为志向模型参考自适应限制和可调模型参考自适应限制 参考模型与可调系统两者性能之间的一样性，由自适应机构保证，性能一样性程度由状态广义误差或输出广义误差式中xm和ym分别为参考模型和可调系统的状态和输出，只要误差向量不为零，自适应机构就按削减偏差方向修正或更新限制器的参数，以使系统实际性能指标达到或接近希望的性能指标。具体实施时，可更新前置和反馈限制器的参数，也可干脆变更加到对象输入端的信号，前者称为参数自适应方案，后者称为信号综合自适应方案依据年头先后出现的次序，志向模型参考自适应系统的设计基本理论有以下三种：1、局部参数最优化理论2、李雅普诺夫函数3、超稳定性与正性概念为了削减设计和实现中的困难，做如下假设：1）参考模型是时不变系统 2）参考模型和可调模型是线性的，有时为了分析便利，还假设它们的阶次相同 3）广义误差可测 4）在自适应限制过程中，可调参数或协助信号仅依靠于自适应机构 假设4)意味着自适应速度应大于被控对象参数的变更速度，否则就不行能实现渐近自适应5.1 局部参数最优化的设计方法 局部参数最优化设计方法：通常称为MIT律，设计原理是构造一个由广义误差和可调参数组成的目标函数，并把它视为位于可调参数空间的一个超曲面，再利用参数最优化方法使这个目标函数渐渐削减，直到目标函数达到最小或位于最小值的某个邻域为止，从而满足可调系统与参考模型之间的一样性要求 在MIT律中，常用到误差的二次型目标函数，在单变量状况下，大多接受误差平方积分的目标函数，为使目标函数达到最小的参数最优化的常用方法有：最速下 降 法，牛 顿-拉 富 逊（Newton-Raphson）法，共轭梯度法和变尺度法等，其中最速下降法比较简洁在应用局部参数最优化设计方法时，除了前面的假设外，还要附加另外两条假设：5）可调系统参数已位于参考模型参数的某 个邻域内；6）可调参数的调整速度低，即自适应增益假设5)是MIT律自身实力限制的。假设6)是为了从广义误差测量中将参数调整作用与指令输入信号的作用分别出来所必需的设被控对象的传递函数为：其中,D(s)和N(s)为已知的常系数多项式，Kp为对象的增益当系统受到干扰时，被控系统的增益Kp可能发生变更,使动态特性发生偏离，Kp的变更是不行测量的。为了克服由Kp的漂移所造成的影响，在限制系统中设置了一个可调增益Kc，来补偿由Kp的变更所造成的影响 具有可调增益的MIT方案 系统限制结构图设志向模型的传递函数为：其中，增益Km是依据期望的动态响应来确定的定义广义输出误差e为：其中，ym为志向模型的输出，y为被控系统的输出，e表示输入信号为r(t)时，志向系统的响应与实际系统响应之间的偏离设计目标：确定可调增益Kc(t)的自适应调整律，使得下列性能指标J达到最小：(5.1)首先求出J对的偏导数：下面接受梯度法来寻求Kc(t)的最优调整律依据梯度法，值应沿梯度下降的方向移动，在确定的步距下，的变更量将取如下的数值：其中k为正常数则调整后的Kc为式中，为调整前的初值。将上式两边分别对时间求导数后，得到的变更率与广义误差e的关系为：(5.2)为了计算，先求由参数输入R(s)到输出偏差E(s)传递函数：将上述拉普格斯变换式转化为微分方程的时域算子形式，令：则e满足下列微分方程：其中，p为微分运算子上式两端对Kc求导数，得：(5.3)另一方面，考虑到参考模型的输出与输入之间满足下列关系：(5.4)令(5.3)式与(5.4)式相除，整理后得：将此式代入(5.2)式，得：令则有：(5.5)(5.5)式就是所要求的可调增益Kc的调整律，即系统的自适应规律，有时被称为MIT规则。从(5.5)式中可看出，这种自适应机构是由一个乘法器和一个积分器组成，具体实现的结构图如下图所示MIT限制方案的实现图 可以综合出闭环自适应限制系统的数学模型为：【例【例5.1】考虑一个一阶系统，其传递函数特性为：依据MIT规则设计的闭环的自适应限制系统应为：下面我们通过解方程的解，看一下系统的稳定性假定在时，y和均为零，且当输入一个幅度为R的阶跃信号时，考虑后，参考模型的出为：所以自适应调整律为：对闭环系统的微分方程求导数使得误差的动态方程为：或可见，当时，上式右端第三项e中的系数趋近于，即有：此系统方程是渐近稳定的，即时，有：e=0，即从以上分析可以看出：对于一阶系统，依据MIT规则设计的闭环自适应系统是稳定的跟踪速度或自适应速度是按指数规律进行的，从理论上说，只有当所以，自适应速度的是比较相当慢的 时，误差才趋于零，MIT方案的主要优点：它设计出的自适应律所须要的信号都简洁获得，利用的输出偏差e和期望输出均可干脆获得MIT方案的缺点：不能保证设计的自适应限制系统总是稳定的对于一个志向的自适应限制系统，在任何参考输入的状况下，总是希望当时，有但这种系统可能是不稳定的。下面举例说明。【例【例5.2】考虑被控对象为：志向系统模型为：依据前面推导出的结果，闭环自适应限制系统由以下微分方程组所确定：假定在的阶跃信号，即r(t)=A，来探讨偏差e的稳定性。时，由参考输入加上一个幅值为A对上式偏差微分方程的两端求导，并整理得：假设ym(t)的动态响应比e(t)自适应调整过程快得多。即在探讨e(t)的调整过程时，认为ym(t)已达到了它的稳定值KmA，那么e(t)的微分方程就可简化为下式：利用劳斯（Routh）稳定性推断，很简洁得到以下不等式，即当(5.8)时，系统不稳定，即当满足条件式(5.8)时，输出偏差e（yp状况也相同）将出现不稳定，这是不容许的。因此在应用参数最优化方法进行设计时，最终必需对整个系统的稳定性进行分析和检验，而这一步工作往往是很麻烦的5.2 李雅普诺夫稳定性理论设计法李雅普诺夫稳定性理论设计法一、引言一、引言 李雅普诺夫稳定性理论：探讨线性或非线性、李雅普诺夫稳定性理论：探讨线性或非线性、定常或时定常或时变系统的重要基础，也是自适应限制系统设计变系统的重要基础，也是自适应限制系统设计的重要理的重要理论基础论基础李雅普诺夫稳定性分析方法：分为第一方法和李雅普诺夫稳定性分析方法：分为第一方法和其次方其次方法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统微分法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统微分方程来分方程来分析系统的稳定性；李雅普诺夫其次方法则不须析系统的稳定性；李雅普诺夫其次方法则不须要求解系要求解系统微分方程，而是通过分析虚构的李雅普诺夫统微分方程，而是通过分析虚构的李雅普诺夫函数来判函数来判定或设计系统的稳定性。因此，李雅普诺夫其定或设计系统的稳定性。因此，李雅普诺夫其次方法被次方法被广泛应用于自适应限制系统设计中广泛应用于自适应限制系统设计中二、二、稳定性的一般概念及定义稳定性的一般概念及定义 一个动态系统的状态方程为 其中，若f与t无关，则上式描述的系统称为自治的或时不变的；反之，被称为非自治的或时变的。方程解在状态空间的轨迹称为轨线若状态空间中存在某一状态Xe，满足方程则Xe就是系统的一个平衡点。假如没有外力作用于系统，则系统保持平衡。假如系统受到外来作用，则必需考虑系统能否保持这个平衡状态。于是提出了系统平衡状态的稳定性问题三、李雅普诺夫函数与其次方法三、李雅普诺夫函数与其次方法 李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数 ：李雅普诺夫引出了一个虚：李雅普诺夫引出了一个虚构的能量函数构的能量函数 ，利用李雅普诺夫函数的性质，利用李雅普诺夫函数的性质，可分析得到系统的稳定性可分析得到系统的稳定性 ，这种分析方法叫，这种分析方法叫做李雅普诺夫其次方法做李雅普诺夫其次方法定义一个对时间连续可微的状态定义一个对时间连续可微的状态x x的标量函数的标量函数V(x,t)V(x,t)，称为李雅普诺夫函数。对于一般的限，称为李雅普诺夫函数。对于一般的限制系统，制系统，V(x,t)V(x,t)是状态变量的函数，也是一个是状态变量的函数，也是一个广义的广义的“能量函数能量函数”，它具有以下性质：，它具有以下性质：1）V(0,t)=0，且具有连续偏导数；2）V(x,t)是正定的，而且是x的单调非降函数，即V(x,t)0，当，其中S是状态空间中包含原点在内的某个域这样定义的李雅普诺夫函数V(x,t)可以作为状态x距离空间原点（平面点）远近距离的一种量度，也可以代表状态为x时系统的总能量。对于线性系统，寻求李雅普诺夫函数比较简洁，通常选为系统状态变量X的二次型函数，即为了使正定，P应是正定矩阵对于困难系统，寻求较为困难，须要相当阅历四、李雅普诺夫稳定定理设系统方程为即原点为系统的平衡点，对此有如下三个重要定理。定理定理5.1：李雅普诺夫基本定理。对于上式所描述的系统，假如在包含原点0在内的某个域D内，存在李雅普诺夫函数0且，则系统在原点0是稳定的。定理定理5.2：李雅普诺夫渐近稳定性定理。对于上式所描述的系统，假如在包含原点0在内的某个域D内，存在李雅普诺夫函数0且则系统在原点0是渐近的定理定理5.3：李雅普诺夫全局渐近稳定性定理。假如：李雅普诺夫全局渐近稳定性定理。假如在包含原点0在内的某个域D内，存在李雅普诺夫函数正定，且有上界和负定，又当有，则系统在原点的稳定是全局渐近稳定五、线性时不变系统稳定定理五、线性时不变系统稳定定理设线性时不变系统的自由运动方程为：其中，A为n维状态转移矩阵。令以下二次型函数：作为选定的李雅普诺夫函数，其中P为实对称矩阵。对V(x)求时间导数得：其中，恒等式(5.9)被称为李雅普诺夫方程 利用这个方程可以确定平衡点x=0处的稳定性一般有两种具体方法：一种是先给定一个正定对称阵P，由于矩阵A是已知的，可以从方程(5.9)中解出Q，然后检验Q的正定性。另一种方法是先设定正定对称阵Q，例如可以设Q为单位阵，代入方程(5.9)中求出矩阵P，然后再推断P的正定性。假如P 0，则系统是渐近稳定的现将上述结果总结如下：线性时不变系统在平衡点x=0是渐近稳定的，当且仅当对随意给定的对称矩阵Q，都存在一个正定对称阵P，并满足：标量函数就是该系统的李雅普诺夫函数【例5.3】推断线性定常系统在坐标原点的稳定性，系统状态方程为 解：利用来推断系统的稳定性。设正定对称阵记则李雅普诺夫矩阵方程为据此可得到三个方程：解此联立方程可得故矩阵P有下列子行列式：所以有 P0故该系统是渐近稳定的。该系统的李雅普诺夫函数为【例5.4】试分析下列系统的稳定性解：由解得系统平衡点为构造李雅普诺夫函数对时间t求导数得明显，系统全局渐近稳定。六、基于状态空间方程的设计六、基于状态空间方程的设计 设被控对象是单输入/单输出的线性系统，对象的结构已知，但参数未知，其状态方程和观测方程为：(5.10)其中，是未知参数矩阵；是未知参数向量；是未知参数向量；u(t)是对象的输入限制作用标量；是对象的输出标量；是对象的n维状态向量给定参考模型，其输入为系统的参考输入r(t)；其输出为限制系统期望的输出响应ym(t)。参考模型的状态方程和观测方程分别为：(5.11)其中，和为给定的常数矩阵或向量，其阶数分别与Ap，Bp和Cp相同。Am为稳定矩阵；xm(t)为参考模型的状态向量自适应限制系统结构图 为了使对象输出yp(t)能够与模型的输出ym(t)相一样，必需设置参数可调的限制器。限制器与对象一起组成参数可调系统，如上图所示，其中，G为可调前馈增益矩阵作为前置限制器；F为可调反馈增益矩阵作为反馈限制器。依据系统结构图可以写出以下关系式：(5.12)将(5.12)式代入(5.10)式可得下列可调系统的方程为：定义广义误差方程为：(5.13)设计任务是：利用李雅普诺夫稳定性理论寻求可调参数G和F的自适应律，以达到状态收敛性：(5.14a)和（或）参数收敛性：(5.14b)即：使可调系统对参考输入r(t)的动态响应与参考模型完全一样若令：(5.15)其中，和分别表示模型参数与系统参数的状态偏差和参数偏差，并且它们应当满足以下微分方程：(5.16)现在的限制任务等价于设计一个F(e,t)和G(e,t)的自适应调整律，使得微分方程(5.15)和(5.16)渐近稳定，即当时，e(t)，和都趋于零构造下列二次函数作为李雅普诺夫函数：式中此处称为矩阵A的迹，它等于矩阵A的特征多项式中项系数的(-1)倍。比如：矩阵A的特征多项式为：则有称为矩阵A的迹满足下列安排律和交换律的性质：【例【例5.5】对于求 解：由 变换为的多项式为：所以在二次型的李雅普诺夫函数V中选用矩阵迹的运算主要关切的是其符号，而不是数值的大小求V对时间的导数：由性质：以及表示的项为标量，所以有：将(5.16)式代入的表达式中有：由于上式中以及项均为标量，所以有：又因为有：将这些关系式代入的表达式中得：(5.17)式(5.17)右边第一项是负的。为了保证负定，可令(5.17)式右边的后两项分别为零，由此可得：由此可得自适应限制律为：(5.18)自适应限制律(5.18)可以保证闭环系统的全局渐近稳定性，满足状态收敛性和参数收敛性【例【例5.6】用李雅普诺夫稳定理论重新设计例5.1 解：由输入/输出方程：得：得：取可得系统状态方程为：令：则有：构造李雅普诺夫函数为：其中，K1 0，则有为了保证，令上式右边后两项之和为零可得：将此式与前面的关系式合并得下列自适应限制律：式中：系统结构图此时系统的稳定性已有保证，不必对其稳定性进行分析。另外，与MIT设计方法相比较，其区分仅表现在结构上，若将MIT设计的方案中加在乘法器输入端的信号ym改为期望输入信号r，便可实现用李雅普诺夫稳定性理论设计的自适应限制律【例【例5.7】为了进行比较，用李雅普诺夫稳定性理论重新设计例5.2 解：首先求出被控系统及参考模型的状态方程由：得：同理可得参考模型的微分方程为：令得可调系统的状态方程为：其中同理可得参考模型的状态方程为：令：则偏差系统的状态方程为：为了得到比例积分型限制律，选择李雅普诺夫函其中数为：求V对时间的导数，整理后得：选择自适应律为：同时取：于是有：所以，当时，自适应限制结构图如下图所示，其中，的自适应调整律为：或写成：自适应限制系统结构图 即：由上式可以看出，自适应律具有比例-积分的形式，比MIT方案增加了比例项，所以自适应速率提高了，自适应调整的整个过程的品质也获得了改善。针对输入/输出传递函数，取广义输出误差后，若选择李雅普诺夫函数为：于是有：由，解出代入得：上式中右边第一项为负，为了使为负定，使后两项之和为零，得：由得：
