随机变量RandomVariables优秀PPT.ppt

其次章其次章随随机机变变量量RandomVariables 为了探讨随机现象的统计规律性，在第为了探讨随机现象的统计规律性，在第一章中我们学习了如下基本概念一章中我们学习了如下基本概念E:随机试验随机试验S:样本空间样本空间我们常常关切样本空间我们常常关切样本空间 S S 的某些子集，如从某型电的某些子集，如从某型电子元件中任取一件子元件中任取一件,观测其寿命观测其寿命(E)(E)，S=t:t S=t:t 0,0,我们关切诸如我们关切诸如t:1500 t:1500 t t 2000,t 1000 2000,t 1000等子等子集集:我们把这些子集和我们把这些子集和S的一些其他子集作为元素，的一些其他子集作为元素，组成一个大的集合，称其为事务域，将事务域中每组成一个大的集合，称其为事务域，将事务域中每一个元素称为一个元素称为E的随机事务的随机事务P:R1A P(A)满足三条公理满足三条公理问题问题 第一章探讨的是对试验第一章探讨的是对试验E E求求P(A)P(A)，只是孤立的，只是孤立的探讨一个个事务，对探讨一个个事务，对E E的全貌不了解。同时，的全貌不了解。同时，A A是集是集合，合，P(A)P(A)是数，无法用图形和其他数学工具，对其是数，无法用图形和其他数学工具，对其探讨受到限制。因此为了深化地探讨随机现象，相探讨受到限制。因此为了深化地探讨随机现象，相识随机现象的整体性质，须要全面地探讨随机试验识随机现象的整体性质，须要全面地探讨随机试验 E E 中事务的概率中事务的概率首先，如何能够系统而全面地描述首先，如何能够系统而全面地描述 E E 的随机事务呢？的随机事务呢？我们能否引入一个变量（即数），当它取不我们能否引入一个变量（即数），当它取不同的值时，或许可以表达不同的随机事务？同的值时，或许可以表达不同的随机事务？S的某些样本点组成的集合的某些样本点组成的集合即引入样本空间到实数域上的一个映射即引入样本空间到实数域上的一个映射.X()R因此，我们须要依据问题的性质，通过引入因此，我们须要依据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。一个变量，来描述随机试验的样本点。例例1.掷一枚硬币，视察其面朝上的状况掷一枚硬币，视察其面朝上的状况(E)样本空间样本空间:S=正面，反面正面，反面 X(正面）正面）=1，X（反面）（反面）=0定义映射定义映射X:SR1其中其中,满足满足:X()=1=出现正面出现正面，：X()=0=出现反面出现反面X 的取值是随机的，但是我们知道它全部的取值是随机的，但是我们知道它全部的可能的取值为的可能的取值为0，1X 为掷一枚为掷一枚硬币，出现硬币，出现正面的次数正面的次数例例2.对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命(E)样本空间，样本空间，S=t:t 0定义映射定义映射X:SR ttX在某一范围内的取值可以表达在某一范围内的取值可以表达E中的事务，中的事务，如如:X()a,b=t:t a,b其可能取值的其可能取值的范围为范围为0，+）X为任抽为任抽一电子元一电子元件的寿命。件的寿命。2-1随机变量随机变量 定义：定义：设设(S，P)是一概率空间，若是一概率空间，若X为样本空间为样本空间S 到实数域到实数域R1上的映射：上的映射：满满 足足：x R1,有有:X()x则称则称X()为为(S,P)上的一个上的一个随机变量随机变量。常常将常常将：X()x简记为（简记为（X x）。）。X：SR1 X()随机变量常用大写字母随机变量常用大写字母X,Y,Z表示，表示，小写字母小写字母x,y,z表示实数表示实数引入随机变量引入随机变量X以后，就可以用以后，就可以用X来描述事来描述事务。一般地，设务。一般地，设L是实数域上一集合，将是实数域上一集合，将X在在L上的取值写成上的取值写成X L,它表示事务它表示事务X L=:X()L:X()L即即随机变量与一般实函数的差别：随机变量与一般实函数的差别：1.X随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先确定它之前只知道它可能取值的范围，而不能预先确定它将取哪个值。将取哪个值。2.定义域不同定义域不同其定义域为样本空间其定义域为样本空间S S，是一个集合，自变量是样，是一个集合，自变量是样样本点，与数学上的定义方式有所区分样本点，与数学上的定义方式有所区分随机变量的引入，使我们能用随机变量来描随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，并且有可能利用数学分析述各种随机现象，并且有可能利用数学分析的方法来对随机试验的结果进行深化广泛的的方法来对随机试验的结果进行深化广泛的探讨和探讨。探讨和探讨。引入随机变量后，对随机现象统计规律引入随机变量后，对随机现象统计规律的探讨，就由对事务及事务概率的探讨的探讨，就由对事务及事务概率的探讨扩大为对随机变量及其取值规律的探讨扩大为对随机变量及其取值规律的探讨.事务及事务及事务概率事务概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律2-2离散型随机变量离散型随机变量1 定定义义若随机变量若随机变量X全部可能的取值为有限个或可全部可能的取值为有限个或可列个，则称列个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。散型随机变量。2.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布定义：若随机变量定义：若随机变量X全部可能的取值为全部可能的取值为x1，x2，xn，且，且X取这些值的概率为取这些值的概率为P(X=xi)=pi,i=1,2,.（2.1）则称（则称（2.1）式为离散型随机变量）式为离散型随机变量X的分布律。的分布律。DiscreteRandomVariables(2.1)式也可以用表格的形式表示如下式也可以用表格的形式表示如下:上上述述表表格格称称为为离离散散型型随随机机变变量量 X 的的分分布布列列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式分布列也可以表示成下列矩阵的形式Xx1x2xiPp1p2pi性质性质(1)pi 0,i=1，2，.(2)例例3.3.一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，须须要要通通过过四四个个均均设设有有信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯以以概概率率p p允允许许通通过过，设设各各信信号号灯灯的的工工作作是是相相互互独独立立的的。以以X X表表示示该该汽汽车车首首次次停停下下时，它已通过的路口的个数，求时，它已通过的路口的个数，求X X的分布律的分布律.解：解：X X全部可能的取值为：全部可能的取值为：0 0，1 1，2 2，3 3，4 4X=0表示经过的路口为表示经过的路口为0，即第一个信号灯就不，即第一个信号灯就不允许通过，其概率为允许通过，其概率为1-p即：即：P(X=0)=1-pX=1表示通过的路口为表示通过的路口为1个，即第一个信号灯允个，即第一个信号灯允许通过，其次个不允许通过，且信号定独立工许通过，其次个不允许通过，且信号定独立工作，故其概率为作，故其概率为p(1-p)即：即：P(X=0)=p(1-p)同样的方法可求同样的方法可求故故X的分布律为的分布律为例例4 4设随机变量设随机变量X全部可能取的值为全部可能取的值为1,2,.,n，且已知，且已知P(X=k)与与k成正比，求成正比，求X的分布的分布;解解：由题意知：由题意知：P(X=k)=b.k，现在要求，现在要求b由离散性随机变量的性质知：由离散性随机变量的性质知：b+2b+3b+nb=1解得：解得：故故X的分布律为的分布律为例例5设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为X-123P1/41/21/4求求 P(X 1/2),P(3/2X 5/2),P(2 X 3)解：解：P(X 1/2)=P(X=-1)=1/4P(3/2X 5/2)=P(X=2)=1/2P(2 X 3)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/4=3/4一般地，一般地，设设L 是实数域上一集合，则有是实数域上一集合，则有3几种常见的离散型随机变量几种常见的离散型随机变量(1)单点分布单点分布例例6若若随随机机变变量量X只只取取一一个个常常数数值值C，即即P(X=C)=1，则称，则称X听从单点分布。听从单点分布。例例7若随机变量若随机变量X 只取两个值只取两个值0或或1，其分布为，其分布为X01Pqp(2)0-1分布分布0p1,q=1-p，或记为，或记为P(X=k)=pkq1-k,k=0,1则则称称X听听从从参参数数为为p的的两两点点分分布布或或参参数数为为p的的0-1分分布。布。设设在在一一次次伯伯努努利利试试验验中中有有两两个个可可能能的的结结果果，A与与SA，且且有有P(A)=p。则则在在n重重伯伯努努利利试试验验中中事事务务A发生的次数发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为是一个离散型随机变量，其分布为(3)二项分布二项分布0,1,2,n,称称X听从参数为听从参数为n，p的二项分布，记为的二项分布，记为k=例例8已已知知某某批批产产品品的的一一级级品品率率为为0.2，现现从从中中有有放放回回地地抽抽取取20只只，问问20只只元元件件中中恰恰有有k(k=0，1,2,20)只一级品的概率是多少？只一级品的概率是多少？解：解：易知这是易知这是n=20n=20的的2020重贝努利试验，且事务重贝努利试验，且事务A A为为任取一件元件为一级品，任取一件元件为一级品，P(A)=0.2P(A)=0.2设设20只元件中一级品的个数用只元件中一级品的个数用X表示，则易知表示，则易知故故(c)b(6，0.3)的的线线条条图图当当k 取什么值时，取什么值时，P(X=k)达到最大？达到最大？设设X 服从参数为服从参数为n，p的二项分布的二项分布k=0,1,2,n,当当(n+1)p=整数时整数时，在在k=(n+1)p 与与(n+1)p 1处的概率取得最大值处的概率取得最大值 当当(n+1)p 整数时，在整数时，在k=(n+1)p 处的概率取得最大值处的概率取得最大值 对固定的对固定的 n、p,P(X=k)的取值的取值 呈不对称分布；呈不对称分布；固定固定 p,随着随着 n的增大，其取值的增大，其取值 的分布趋于对称的分布趋于对称(4)几何分布几何分布 例例9一一射射手手每每次次打打靶靶射射击击一一发发子子弹弹，打打中中的的概概率率为为p(0p 0，则则称称 X 听听从从参数为参数为的泊松分布的泊松分布,记为记为X ()。在确定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；电话总机接到的电话次数；应用场合一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数市级医院急诊病人数；等等假假设设电电话话交交换换台台每每小小时时接接到到的的呼呼叫叫次次数数X听听从从参参数数=3的泊松分布，求的泊松分布，求(1)每小时恰有每小时恰有4次呼叫的概率次呼叫的概率(2)一小时内呼叫不超过一小时内呼叫不超过5次的概率次的概率例例12解：由泊松分布的定义知：解：由泊松分布的定义知：4二二项项分分布布与与超超几几何何分分布布的的关关系系，二二项项分分布布与与泊松分布的关系泊松分布的关系定理定理1设设0p T)=?,测量误差测量误差X，关心，关心 而而 为了为了表示的方便，我们引入了随机变量的分布函表示的方便，我们引入了随机变量的分布函数的概念，是描述随机变量分布的又一方法数的概念，是描述随机变量分布的又一方法2-3随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.概念概念则称则称F(x)为为X 的分布函数。的分布函数。定义定义2.1设设X是一随机变量，对随意的实数是一随机变量，对随意的实数x，令，令2.离散型随机变量离散型随机变量X 的分布函数的分布函数若若X 的分布律为的分布律为i=1,2,.,则则X的分布函数为的分布函数为 B R1,P(X B)离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数是单调增加的，右连的分布函数是单调增加的，右连续的，具有跳动型间断点续的，具有跳动型间断点xi:i=1,2,的阶梯函的阶梯函数，在间断点处的跳动度为数，在间断点处的跳动度为当当1 x 2时，时，F(x)=P(X x)=P(X=0)+P(X=1)=1/3+1/6=1/2当当x 2时，时，F(x)=P(X x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例例5，求，求F(x).解解:当当x 0 时，时，F(x)=P(X x)=0当当0 x 1时，时，F(x)=P(X x)=P(X=0)=1/3故故留意右连续留意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.3.随机变量分布函数随机变量分布函数F(x)的性质的性质(1)单调单调性：若性：若x1x2,则则F(x1)F(x2)特殊地特殊地P(ax b)=F(b)-F(a)(2)非负性，规一性：对随意的实数非负性，规一性：对随意的实数x，均有，均有0 F(x)1，且，且(3)右连续性右连续性:对随意的实数对随意的实数x0,有有F(x)在在 x 轴上到处右连续。轴上到处右连续。(4)P(X=x0)=F(x0)F(x0 0)若若F(x)在在X=x0处连续，则处连续，则P(X=x0)=0例例6 6 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为试求：（试求：（1 1）常数）常数 A 与与 B（2）P(1X 1)解：（解：（1 1）解得解得（2）对于离散型随机变量，假如知道了它的对于离散型随机变量，假如知道了它的概率函数概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律.在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说这一讲，我们介绍了离散型随机变量及这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布其概率分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.下一讲，我们将向大家介绍另一种类下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量型的随机变量-连续型随机变量连续型随机变量.作业作业2 2，4 4，6 6，8 8，1010，1212，1515