随机数据建模经验模型分布检验与预测优秀PPT.ppt

一、经一、经 验验 模模 型型 在建立数学模型的过程中，常常须要建立变在建立数学模型的过程中，常常须要建立变量之间的关系，但往往由于对探讨对象的内部量之间的关系，但往往由于对探讨对象的内部机理不甚了解，不能通过合理的假设，或依据机理不甚了解，不能通过合理的假设，或依据物理定律、原理，经过机理分析法而得到。物理定律、原理，经过机理分析法而得到。可借助于由试验或测量得到的一批离散数据，可借助于由试验或测量得到的一批离散数据，通过对数据充分视察和分析，获得数据所含信通过对数据充分视察和分析，获得数据所含信息，揭示变量间的内在联系，并选择适当的数息，揭示变量间的内在联系，并选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合，建立阅历模型，学式对变量间的关系进行拟合，建立阅历模型，或者进行数据曲线拟合。或者进行数据曲线拟合。2023/4/311）绘制数据散布图（或连线图）；）绘制数据散布图（或连线图）；2）分析数据散布图（或连线图）分析数据散布图（或连线图）；3）选择函数关系形式。）选择函数关系形式。一一般般步步骤骤 通过分析数据散布图可以获得对变量间关系通过分析数据散布图可以获得对变量间关系的感性相识，形成初步的看法，以便于对问题的感性相识，形成初步的看法，以便于对问题做进一步的分析。做进一步的分析。2023/4/32分析数据散布图分析数据散布图分析数据散布图，可得出变量的关系是：分析数据散布图，可得出变量的关系是：线性的还是非线性的？线性的还是非线性的？有无周期？有无周期？呈现何种变更趋势？变更率如何呈现何种变更趋势？变更率如何例例1 1 建立一个简洁的函数关系式来描述某个地建立一个简洁的函数关系式来描述某个地区人的身高和体重的对应关系，数据见表区人的身高和体重的对应关系，数据见表7.47.4（p156p156）。）。曲线特征：体重曲线特征：体重W W 随身高随身高H H 的增长而的增长而单调增长，但可以视察到是非线性增长。单调增长，但可以视察到是非线性增长。2023/4/33身高身高体重体重0.750.7510100.850.8512120.950.9515151.081.0817171.121.1220201.161.1622221.351.3535351.511.5141411.551.5548481.61.650501.631.6351511.671.6754541.711.7159591.781.7866661.851.8575752023/4/34选择函数关系形式选择函数关系形式1.形式尽可能简洁，尽可能线性化；形式尽可能简洁，尽可能线性化；2.依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。原则原则续例续例1 1 选择幂函数选择幂函数 W=cHa,描述身高体重关描述身高体重关系，有何优点？系，有何优点？优点优点：此函数可以线性化。此函数可以线性化。2023/4/35两边取对数，有两边取对数，有令令 变换为线性函数变换为线性函数 y=ax+bW=cHa2023/4/36例例2 2 描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系 可选二次函数可选二次函数y=b0+b1 x+b2 x2注：注：其中其中 b0=y(0)=15.182023/4/37可选择可选择威布尔模型威布尔模型：也可以选择也可以选择S S函数函数：合理性如合理性如何？何？哪个模型哪个模型更好？更好？关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：2023/4/38合理性分析合理性分析优点分析：优点分析：S 模型所含参数更少，另外若令模型所含参数更少，另外若令可得线性模型可得线性模型威布尔模型威布尔模型S S函数函数思索：威布尔模型有无优点？思索：威布尔模型有无优点？2023/4/39二、模型的参数估计二、模型的参数估计数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学数学关系式关系式，但公式中几乎总是涉及一些，但公式中几乎总是涉及一些参数参数。求模型中参数的估计值有三种常用方法：求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法图解法、统计法、机理分析法 对阅历模型的精度要求不高，只需对参数做对阅历模型的精度要求不高，只需对参数做出粗略估计时可接受图解法。出粗略估计时可接受图解法。2023/4/310关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：威布尔模型威布尔模型:视察图发觉数据点都位于直线视察图发觉数据点都位于直线 y=43的下方，并的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，可以估计且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43。磷肥磷肥施肥施肥量量土豆土豆产量产量033.462432.474936.067337.969841.0414740.0919641.2624542.1729440.3634242.732023/4/311例例3 3（见（见P158P158例例7.2.17.2.1）表中给出了表中给出了1212月月1 1日日（星期二）和（星期二）和1212月月2 2日（星期三）两天内的海日（星期三）两天内的海浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以米为单位）。米为单位）。我们能依据此表来预料我们能依据此表来预料1212月月5 5日（星期六）日（星期六）下午下午1 1：0000的海浪高度值吗？的海浪高度值吗？2023/4/312分析：分析：依据对数据散布图的分析，接受函数依据对数据散布图的分析，接受函数 x(t)=asinb(tt*)，其中其中x(t*)=0 （1）或接受函数或接受函数 x(t)=asin(bt)+ccos(bt)（2）需估计振幅需估计振幅 a 和和 频率频率b解决方法：干脆量出凹凸浪之间的高度差为解决方法：干脆量出凹凸浪之间的高度差为6.6米，米，（米）（米）2023/4/313量出海浪变更周期约为量出海浪变更周期约为12.3小时小时（每小时）（每小时）得阅历模型得阅历模型 x(t)=3.3sin0.511(tt*)t0。将频率的估计代入（将频率的估计代入（2）式，有）式，有x(t)=asin(0.511t)+ccos(0.511t)代入代入x(0)=c=2.4 及及 x(23)=3.6 得关于海浪潮随时间变更的另一阅历模型得关于海浪潮随时间变更的另一阅历模型x(t)=2.4cos(0.511t)2.7sin(0.511t)，t0。2023/4/314模型应用模型应用预料预料1212月月5 5日下午日下午1:001:00的海浪潮高度为的海浪潮高度为 x(109)=2.4cos(5.11109)2.7sin(5.11109)=2.4cos(55.7)2.7sin(55.7)=2.4cos(5.4302.7sin(55.7)3.6(米米)误差分析：这一时刻潮位的实际视察值为误差分析：这一时刻潮位的实际视察值为4.1米，相对误差大约是米，相对误差大约是12%,请考虑一下成因。请考虑一下成因。2023/4/315思索：细致分析图，可发觉图中思索：细致分析图，可发觉图中(1)x=0似乎不是海浪凹凸潮位的中值似乎不是海浪凹凸潮位的中值;(2)振幅随时间的持续似乎在稍微地增大。振幅随时间的持续似乎在稍微地增大。我们怎样考虑这些细微环节来修改模型，以获得我们怎样考虑这些细微环节来修改模型，以获得更精确的预报呢？更精确的预报呢？2023/4/316 参数估计的统计处理，往往运用最小二乘参数估计的统计处理，往往运用最小二乘法估计。法估计。原理在概率论与数理统计中已有具体原理在概率论与数理统计中已有具体介绍，这里略。介绍，这里略。特点：统计分析法应用于变量间存在相关关特点：统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形，并且须要较多数据为基础。系的情形，并且须要较多数据为基础。2023/4/317例例3 3 磷施肥量和土豆产量磷施肥量和土豆产量 的回来函数选为的回来函数选为令令对数据进行相应变换，可估计出对数据进行相应变换，可估计出 x0分析：分析：有有 ，与目测法的结论惊人一致。，与目测法的结论惊人一致。得到磷施肥量和得到磷施肥量和土豆产量的经验公式土豆产量的经验公式=0.0232，=0.0073，2023/4/318三、时间序列预料三、时间序列预料1、时间序列的成分时间序列的成分一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分种独立的成分趋势、循环、季节和不规则。趋势、循环、季节和不规则。时间序列的时间序列的四种独立成分四种独立成分趋势趋势(Trend)(Trend)循环循环(Cyclical)(Cyclical)季节季节 (Seasonal)(Seasonal)不规则不规则(Irregular)(Irregular)2023/4/3191.1 1.1 趋势成分趋势成分 在一段较长的时间内，时间序列往往呈现渐在一段较长的时间内，时间序列往往呈现渐渐增加或削减的总体趋势。时间序列渐渐转变渐增加或削减的总体趋势。时间序列渐渐转变的性态称为时间序列的趋势。的性态称为时间序列的趋势。趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变更、方法的变更等等量的变更、方法的变更等等趋势成分趋势成分时间序列的时间序列的长期动向长期动向长期长期影响因素影响因素2023/4/3201.2 1.2 循环成分循环成分 时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的循环成分。下波动，都可归结为时间序列的循环成分。趋势成分趋势成分围绕长期趋势线围绕长期趋势线的上下波动的上下波动例如经济危机例如经济危机2023/4/3211.3 1.3 季节成分季节成分 很多时间序列往往显示出在一年内有规则的很多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节成分。成分。季节成分季节成分季节因素引起的一季节因素引起的一年内有规则的运动年内有规则的运动例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。防寒衣物的制造商的销售却正好相反。防寒衣物的制造商的销售却正好相反。2023/4/322u 季节成分也可用来描述任何持续时间小于季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的、有规则的、重复的运动。一年的、有规则的、重复的运动。u 例如，每天的交通流量资料显示在一天内例如，每天的交通流量资料显示在一天内的的“季节季节”状况，在上、下班拥挤时刻出现高状况，在上、下班拥挤时刻出现高峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量，峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量，在午夜到早晨出现小流量。在午夜到早晨出现小流量。2023/4/3231.4 1.4 不规则成分不规则成分 时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在分别了趋势、循环和季节成分后，时来说明在分别了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。间序列值的偏差。不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不行预期的和不重复出现的因素引起的。它是不行预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预料的。随机的、无法预料的。不规则成分不规则成分短期的，不行预期短期的，不行预期和不重复出现的因素和不重复出现的因素引起的随机变动引起的随机变动2023/4/324时时间间序序列列不不规规则则成成分分分别出趋势成分分别出趋势成分分别出循环成分分别出循环成分分别出季节成分分别出季节成分2023/4/325 商业和经济中的很多情形是一期与一期的比较。例如，我们想探讨和了解失业人数是否比上个月上升1%，钢产量是否比上个月上升5%等问题。在运用这些资料时，必需特别当心。因为每当描述季节影响时，这样的比较会使人产生误会。例如，9月份电能消费量比8月份下降3%，可能仅仅是由于空调运用削减这一季节影响引起的，而不是因为长期用电量的削减。事实上，在调整季节影响后，我们甚至可能发觉用电量是增加的。2023/4/326时间序列一般有两种的模型：乘法模型时间序列一般有两种的模型：乘法模型和加法模型。和加法模型。乘法模型：乘法模型：加法模型：加法模型：上式中：上式中：Y Y 时间序列的数值时间序列的数值 T T 趋势成分趋势成分 S S 季节成分季节成分 I I 不规则成分不规则成分 2023/4/3272、时间序列的预料时间序列的预料2.1 移动平均法移动平均法 移动平均法是用一组最近的实际数据值来预移动平均法是用一组最近的实际数据值来预料时间序列将来值的一种常用方法。它是接受料时间序列将来值的一种常用方法。它是接受逐项递移的方法分别计算一系列移动的序时平逐项递移的方法分别计算一系列移动的序时平均数形成一个新的派生序时平均数时间数列。均数形成一个新的派生序时平均数时间数列。在这个派生的时间数列中，短期的偶然因素引在这个派生的时间数列中，短期的偶然因素引起的变动被减弱，从而呈现出现象在较长时间起的变动被减弱，从而呈现出现象在较长时间的基本发展趋势。的基本发展趋势。依据预料时运用的各元素的权重不同，可以依据预料时运用的各元素的权重不同，可以分为简洁移动平均和加权移动平均。分为简洁移动平均和加权移动平均。2023/4/328简洁移动平均法简洁移动平均法 将最近的将最近的N N期数据加以平均，作为下一期的预料值。期数据加以平均，作为下一期的预料值。当时间序列的变动趋势为线性时，可以用简洁移动当时间序列的变动趋势为线性时，可以用简洁移动平均法进行分析。简洁移动平均法对各元素给的权平均法进行分析。简洁移动平均法对各元素给的权重都相等。计算公式如下重都相等。计算公式如下式中，式中，N 为期数；为期数；At-j+1 为为t-j+1期的实际值；期的实际值；Mt+1为为t+1期的预料值。期的预料值。2023/4/329图图 某公司销售量移动平均趋势值和移动平均趋势图某公司销售量移动平均趋势值和移动平均趋势图分分析析：图图形形 和和 表表格格有有何何特特点点？2023/4/330分析结论如下：分析结论如下：从图中视察到，从图中视察到，3年移动平均趋势值放在其次年移动平均趋势值放在其次项对应的位置上，项对应的位置上，7年移动平均趋势值放在第年移动平均趋势值放在第4项对应的位置上。项对应的位置上。同时，看到同时，看到7年移动平均序列比年移动平均序列比3年移动平均序年移动平均序列表现的趋势更明显，这是因为它的移动间隔列表现的趋势更明显，这是因为它的移动间隔更长。更长。移动间隔越长，可以得到的移动平均值越少，移动间隔越长，可以得到的移动平均值越少，因此，长于因此，长于7年的移动间隔通常是不行取的，年的移动间隔通常是不行取的，因为在序列的前几项和后几项将失去太多的移因为在序列的前几项和后几项将失去太多的移动平均值，这可能导致脱离现象发展的真实趋动平均值，这可能导致脱离现象发展的真实趋势。势。2023/4/331加权移动平均法加权移动平均法 加权移动平均的原理是，时间序列过去各期的加权移动平均的原理是，时间序列过去各期的数据信息对预料将来趋势值的作用是不一样的。除数据信息对预料将来趋势值的作用是不一样的。除了以了以N N为周期的周期性变更外，远离预料期的观测值为周期的周期性变更外，远离预料期的观测值的影响力相对较低，故应赐予较低的权重。计算公的影响力相对较低，故应赐予较低的权重。计算公式如下式如下式中，式中，N 为期数；为期数；At-j+1 为为t-j+1期的实际值；期的实际值；Mt+1为为t+1期的预料值期的预料值;j为第为第t-j+1期实际值的权重，且期实际值的权重，且 j=1。2023/4/332权重的选择权重的选择一般而言，最近期的数据最能预示将来的状况，因一般而言，最近期的数据最能预示将来的状况，因而权重应大些；而权重应大些；但是，假如数据是季节性的，则权重也应是季节性但是，假如数据是季节性的，则权重也应是季节性的。的。存在的一些问题存在的一些问题 加大移动平均法的期数（即加大加大移动平均法的期数（即加大N值）会使平滑波值）会使平滑波动效果更好，但会使预料值对时间序列数据的实际动效果更好，但会使预料值对时间序列数据的实际变动更不敏感变动更不敏感；移动平均值并不总是很好地反映出趋势，由于是平移动平均值并不总是很好地反映出趋势，由于是平均值，预料值总是停留在过去的水平上，从而不能均值，预料值总是停留在过去的水平上，从而不能预料将来的波动性；预料将来的波动性；移动平均法还须要有大量过去数据的记录，假如缺移动平均法还须要有大量过去数据的记录，假如缺少历史数据，移动平均法就无法运用。少历史数据，移动平均法就无法运用。2023/4/333指数平滑法指数平滑法指数平滑法通过对历史时间数列进行逐层平滑指数平滑法通过对历史时间数列进行逐层平滑计算，从而消退随机因素的影响，识别经济现象基计算，从而消退随机因素的影响，识别经济现象基本变更趋势，并以此预料将来。本变更趋势，并以此预料将来。简洁移动平均法是对时间序列过去的近期数据简洁移动平均法是对时间序列过去的近期数据加以同等利用，但不考虑较远期的数据；加权移动加以同等利用，但不考虑较远期的数据；加权移动平均法赐予近期观测值更大的权重；平均法赐予近期观测值更大的权重；而指数平而指数平滑法则不舍弃过去的观测值，但是仅赐予渐渐减弱滑法则不舍弃过去的观测值，但是仅赐予渐渐减弱的影响程度，即随着观测期的远离，赐予渐渐收敛的影响程度，即随着观测期的远离，赐予渐渐收敛为零的权数。为零的权数。2023/4/334式中，式中，St为时间为时间t的平滑值；的平滑值；Yt-1为时间为时间t-1的实际值；的实际值；St-1为时间为时间t-1的预料值；的预料值；a为平滑常数，取值范围为为平滑常数，取值范围为0,1；指数平滑法指数平滑法 的基本公式是：的基本公式是：2023/4/335常数常数a取值至关重要取值至关重要平滑常数确定了平滑水平以及对预料值与实际结果平滑常数确定了平滑水平以及对预料值与实际结果之间差异的响应速度。平滑常数越接近于之间差异的响应速度。平滑常数越接近于1，远期，远期实际值对本期平滑值的下降越快速；平滑常数越接实际值对本期平滑值的下降越快速；平滑常数越接近于近于0，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越缓慢。越缓慢。当时间序列相对平稳时，可取较大的；当时间序列当时间序列相对平稳时，可取较大的；当时间序列波动较大时，应取较小的，以不忽视远期实际值的波动较大时，应取较小的，以不忽视远期实际值的影响。影响。2023/4/336图 汽车租赁需求量预料值 2023/4/337时间序列一般有两种的模型：乘法模型时间序列一般有两种的模型：乘法模型和加法模型。和加法模型。乘法模型：乘法模型：加法模型：加法模型：上式中：上式中：Y Y 时间序列的数值时间序列的数值 T T 趋势成分趋势成分 S S 季节成分季节成分 I I 不规则成分不规则成分 2023/4/338例例 下述资料是某公司在过去下述资料是某公司在过去4年中台式电脑的销年中台式电脑的销售量（单位：千台）数据。售量（单位：千台）数据。年年季度季度销售量销售量(千台千台)1 11 14.84.82 24.14.13 36 64 46.56.52 21 15.85.82 25.25.23 36.86.84 47.47.43 31 16 62 25.65.63 37.57.54 47.87.84 41 16.36.32 25.95.93 38 84 48.48.42023/4/3391.计算中心化移动平均数计算中心化移动平均数年年季度季度销售量销售量(千台千台)4 4个季度的个季度的移动平均移动平均中心化中心化的的移动平移动平均均1 11 14.84.82 24.14.15.355.353 36 65.65.65.4755.4754 46.56.55.8755.8755.73755.73752 21 15.85.86.0756.0755.9755.9752 25.25.26.36.36.18756.18753 36.86.86.356.356.3256.3254 47.47.46.456.456.46.43 31 16 66.6256.6256.53756.53752 25.65.66.7256.7256.6756.6753 37.57.56.86.86.76256.76254 47.87.86.8756.8756.83756.83754 41 16.36.37 76.93756.93752 25.95.97.157.157.0757.0753 38 84 48.48.42023/4/3402.计算季节不规则值计算季节不规则值年年季度季度销售量销售量(千台千台)4 4个季度的个季度的移动平均移动平均中心化中心化的的移动平移动平均均季节季节不规则值不规则值1 11 14.84.82 24.14.15.355.353 36 65.65.65.4755.4751.095891.095894 46.56.55.8755.8755.73755.73751.1328981.1328982 21 15.85.86.0756.0755.9755.9750.9707110.9707112 25.25.26.36.36.18756.18750.8404040.8404043 36.86.86.356.356.3256.3251.0750991.0750994 47.47.46.456.456.46.41.156251.156253 31 16 66.6256.6256.53756.53750.9177820.9177822 25.65.66.7256.7256.6756.6750.8389510.8389513 37.57.56.86.86.76256.76251.1090571.1090574 47.87.86.8756.8756.83756.83751.1407681.1407684 41 16.36.37 76.93756.93750.9081080.9081082 25.95.97.157.157.0757.0750.8339220.8339223 38 84 48.48.42023/4/3413.计算季节指数计算季节指数季度季度1 1年年2 2年年3 3年年4 4年年季节指数季节指数1 10.9707112970.9707112970.9177820.9177820.9081080.9081080.93220.93222 20.840404040.840404040.8389510.8389510.8339220.8339220.8377590.8377593 31.095890411.095890411.0750988141.0750988141.1090571.1090571.0933491.0933494 41.13289761.13289761.156251.156251.1407681.1407681.1433051.1433052023/4/3424.消退时间序列的季节影响消退时间序列的季节影响年季度销售量(千台)季节指数消除季节影响后的销售量114.80.93225.14910724.10.8377594.894008361.0933495.48772746.51.1433055.685271215.80.93226.22183825.20.8377596.20703436.81.0933496.21942447.41.1433056.4724633160.93226.43638425.60.8377596.68449837.51.0933496.85965947.81.1433056.822326416.30.93226.75820325.90.8377597.042596381.0933497.31696948.41.1433057.347122023/4/3434.进行趋势预料进行趋势预料T Tt t=b b0 0+b b1 1t t式中式中 T Tt ttt期台式电脑销售量的趋势值；期台式电脑销售量的趋势值；b b0 0趋势线的截距；趋势线的截距；b b1 1趋势线的斜率；趋势线的斜率；2023/4/344利用消退季节影响的时间序列确定趋势利用消退季节影响的时间序列确定趋势计算计算b b0 0和和b b1 1的公式如下的公式如下 2023/4/345计算结果：计算结果：2023/4/346T Tt t=5.101+0.148t=5.101+0.148t 因此，时间序列的线性趋势成分的表达式为：因此，时间序列的线性趋势成分的表达式为：由趋势方程可分别产生第由趋势方程可分别产生第1717、1818、1919和和2020季度的季度的台式电脑销售量预料值为台式电脑销售量预料值为76177617，77657765，79137913和和80168016台。台。2023/4/347季节调整季节调整表表11-7 11-7 台式电脑销售量时间数列的季度预料值台式电脑销售量时间数列的季度预料值 2023/4/3482023/4/349