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2.4 2.4 极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则一、一、性质性质性质性质1(唯一性唯一性)若极限若极限lim f(x)存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。注注 此定理对数列也成立。此定理对数列也成立。性质性质2(2(局部有界性局部有界性)注注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范的变化范围确定。围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。具体函数确定。3/23/20230性质性质3(局部保号性局部保号性)性质性质4注注性质性质53/23/20231二、二、四则运算法则四则运算法则 根据极限的定义根据极限的定义,只能验证某个常数只能验证某个常数 A是否为某个函数是否为某个函数(x)的的极限极限,而不能求出函数而不能求出函数(x)的极限的极限.为了解决极限的计为了解决极限的计算问题算问题,下面介绍极限的运算法则下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。已知结果来求函数极限。定理定理3/23/20232推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2推论推论3 3推论推论4 4推论推论5 53/23/20233注注应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；零、偶次根号下非负等；定理和推论中定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。都是与自变量无关的常量。如如(3)(3)参加求极限的函数应为有限个参加求极限的函数应为有限个。3/23/20234况)时可直接代入。例例 利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。1、代入法代入法答案答案注意注意 代入时把所有代入时把所有x都换成都换成x0，不能只代入一部分。不能只代入一部分。3/23/20235例例1 1解解3/23/20236例例2 2解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得3/23/202372、消零法、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。再消去公因式，直至可直接代入。例例计算过程计算过程3/23/20238例例3 3解解3/23/2023103、消最大公因子法、消最大公因子法练习练习答案答案 0同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、分母分母除以最高次数的项除以最高次数的项。例例计算过程计算过程 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及以及(次数相等时次数相等时)最高次项的系数有关。最高次项的系数有关。3/23/202311例例5 5解解例例4 4解解3/23/202313例例6 6解解先变形再求极限先变形再求极限.3/23/202314备忘备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例例计算过程计算过程注注3/23/2023154、有理化法、有理化法 若分子或分母有根号若分子或分母有根号(特别是有根号相减特别是有根号相减)时，可将之时，可将之有理化。有理化。例例计算过程计算过程练习练习答案答案当当x-时结果为时结果为-(a+b)，故，故x时极限不存在时极限不存在3/23/202317例例7 7解解3/23/2023195、通分法、通分法例例答案答案练习练习答案答案 -13/23/2023206、变量代换法、变量代换法例例方便时可考虑变量代换以简化计算方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之注意变化趋势也随之改变改变)。练习练习答案答案 不存在。不存在。计算过程计算过程提提 示示取取t满足满足xt=1，则则x0-时时t-；x0+时时t+。3/23/2023217、其他其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。例例答案答案 1练习练习答案答案 13/23/202323计计算算极极限限思考题思考题3/23/202324