量子力学试题(13页).doc

-第 1 页量子力学试题量子力学试题-第 2 页量子力学试题（一）及答案量子力学试题（一）及答案一一.（20 分）质量为分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中的粒子，在一维无限深势阱中中运动，若中运动，若0t时，粒子处于时，粒子处于状态上，其中，状态上，其中，xn为粒子能量的第为粒子能量的第n个本征态。个本征态。（1）求求0t时能量的可测值与相应的取值几率；时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求求0t时的波函数时的波函数tx,及能量的可测值与相应的取值几率及能量的可测值与相应的取值几率解：解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1）首先，将0,x归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0t时的波函数为（3）由于哈密顿量是守恒量，所以0t时的取值几率与0t时相同。二二.（20 分）质量为分）质量为m的粒子在一维势阱的粒子在一维势阱中运动中运动00V，若已知该粒子在此势阱中有一个能量，若已知该粒子在此势阱中有一个能量20VE的状态，试确定的状态，试确定此势阱的宽度此势阱的宽度a。解：解：对于020VE的情况，三个区域中的波函数分别为其中，在ax 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。当021VE时，由于故最后，得到势阱的宽度三三.（20 分）设厄米特算符分）设厄米特算符H的本征矢为的本征矢为n，n构成正交归一完备系，构成正交归一完备系，定义一个算符定义一个算符（1）计算对易子计算对易子nmUH,；（2）证明证明pmUqpUnmUnq,；（3）计算迹计算迹nmU,Tr；-第 3 页（4）若算符若算符A的矩阵元为的矩阵元为nmmnAA，证明，证明解：解：（1）对于任意一个态矢，有故（2）pmUqpUnmUnqqpnm,（3）算符的迹为（4）算符而四四.（20 分）自旋为分）自旋为21、固有磁矩为、固有磁矩为s（其中（其中为实常数）的粒子，处为实常数）的粒子，处于均匀外磁场于均匀外磁场k0BB 中，设中，设0t时，粒子处于时，粒子处于2xs的状态，的状态，（1）求出求出0t时的波函数；时的波函数；（2）求出求出0t时时xs 与与zs 的可测值及相应的取值几率。的可测值及相应的取值几率。解：解：体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为在0t时，粒子处于2zs的状态，即而x满足的本征方程为解之得由于，哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为（2）因为0,zsH，所以zs是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0t时zs的取值几率就知道了0t时zs的取值几率。由于故有而xs的取值几率为五五.（20 分）分）类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 rZerV2（Ze为核电荷）为核电荷）当核电荷变为当核电荷变为eZ1时时，相互作用能增加相互作用能增加reW2，试用微扰论计算它对能量试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。的一级修正，并与严格解比较。解：解：已知类氢离子的能量本征解为-第 4 页式中，220ea为玻尔半径。能量的一级修正为由维里定理知总能量所以，得到微扰论近似到一级的能量为而严格解为量子力学试题（二）及答案量子力学试题（二）及答案一一、（20 分）分）在0t时刻，氢原子处于状态式中，)(rn为氢原子的第n个能量本征态。计算0t时能量的取值几率与平均值，写出0t时的波函数。解：解：氢原子的本征解为其中，量子数的取值范围是由波函数归一化条件可知归一化常数为不为零的能量取值几率为能量平均值为当0t时，波函数为二、二、（20 分）设粒子处于一维势阱之中分）设粒子处于一维势阱之中式中式中，00V。导出能量本征值满足的超越方程导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在进而求出使得体系至少存在一个束缚态的一个束缚态的0V值。值。解：解：对于0E的情况，三个区域中的波函数分别为其中，利用波函数再0 x处的连接条件知，在ax 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第 2、4 象限。超越方程也可以改写成式中，因为，1sinka，所以，若要上式有解，必须要求-第 5 页当2ka时，1sinka，于是，有整理之，得到三三、（20 分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解：解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为在动量表象中，该哈密顿算符为由于动量的本征函数为pp，故哈密顿算符的矩阵元为四四、（20 分）设两个自旋为分）设两个自旋为21非全同粒子构成的体系，哈密顿量非全同粒子构成的体系，哈密顿量21ssCH，其中，其中，C为常数，为常数，1s与与2s分别是粒子分别是粒子 1 和粒子和粒子 2 的自的自旋算符。已知旋算符。已知0t时，粒子时，粒子 1 的自旋沿的自旋沿z轴的负方向，粒子轴的负方向，粒子 2 的自的自旋沿旋沿z轴的正方向轴的正方向，求求0t时测量粒子时测量粒子 1 的自旋处于的自旋处于z轴负方向的几率轴负方向的几率和粒子和粒子 2 的自旋处于的自旋处于z轴负方向的几率。轴负方向的几率。解：解：体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于1,0s，故四个基底为在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即可以直接写出它的解为已知0t时，体系处于因为哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为粒子 1 处于z轴负方向的几率为而粒子 2 处于z轴负方向的几率为五、五、（20 分）作 一 维 运 动 的 粒 子，当 哈 密 顿 算 符 为分）作 一 维 运 动 的 粒 子，当 哈 密 顿 算 符 为 xVpH220时时，能量本征值与本征矢分别为能量本征值与本征矢分别为0nE与与n，如果哈密顿如果哈密顿算符变成算符变成pHH0（为实参数）时，为实参数）时，（1）利用费曼海尔曼定理求出严格的能量本征值。）利用费曼海尔曼定理求出严格的能量本征值。（2）若）若1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼赫尔曼定理求出严格的能量本征值。解：首先，利用费因曼赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视为参变量，则有-第 6 页利用费因曼-赫尔曼定理可知又知在任何束缚态n下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用0时，0HH，定出积分常数最后，得到H的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。其次，用微扰论计算能量的近似解。已知0H满足的本征方程为由可知第k个能级的一级修正为能量的二级修正为为了求出上式右端的求和项，在0H表象下计算可以证明，对于任意实束缚态波函数k，有于是，得到得到近似到二级的解为量子力学试题（三）及答案量子力学试题（三）及答案一一、（20 分）已知氢原子在分）已知氢原子在0t时处于状态时处于状态其中，其中，)(xn为该氢原子的第为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率分量的取值概率与平均值，写出与平均值，写出0t时的波函数。时的波函数。解解已知氢原子的本征值为42212neEn，,3,2,1n（1）将0t时的波函数写成矩阵形式 2311233(,0)23xxxx（2）利用归一化条件-第 7 页 232*2311221212233d3332312479999xxcxxxxxcc（3）于是，归一化后的波函数为 232311121297733(,0)72437xxxxxxx（4）能量的可能取值为123,E E E，相应的取值几率为123412,0;,0;,0777W EW EW E（5）能量平均值为 123442241207774111211612717479504EEEEee （6）自旋z分量的可能取值为,22，相应的取值几率为1234,0;,0277727zzW sW s（7）自旋z分量的平均值为 340727214zs （8）0t时的波函数 2233111i2iexpexp77(,)4iexp7xE txE tx txE t（9）二二.（20 分）分）质量为质量为m的粒子在如下一维势阱中运动的粒子在如下一维势阱中运动00V若已知该粒子在此势阱中有一个能量若已知该粒子在此势阱中有一个能量20VE的状态，试确定此势阱的宽度的状态，试确定此势阱的宽度a。解解对于00EV的情况，三个区域中的波函数分别为-第 8 页 xBxkxAxxexpsin0321（1）其中，EmVEmk2 ;)(20（2）利用波函数再0 x处的连接条件知，n，,2,1,0n。在ax 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 aaaa3232（3）得到aBnkaAkaBnkaAexpcosexpsin（4）于是有kkatan（5）此即能量满足的超越方程。当012EV 时，由于1tan000mVmVamV（6）故40 namV,3,2,1n（7）最后得到势阱的宽度0 41mVna（8）三三、（20 分）分）证明如下关系式证明如下关系式（1）任意角动量算符）任意角动量算符j满足满足ijjj。证明证明对x分量有同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。-第 9 页投影算符投影算符npnn是一个厄米算符是一个厄米算符，其中其中，n是任意正交归一的完备本是任意正交归一的完备本征函数系。征函数系。证明证明在任意的两个状态与之下，投影算符np的矩阵元为而投影算符np的共軛算符np的矩阵元为显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符np是厄米算符。利用利用 *kkkxxxx证明证明xmkxmnknkxpxp，其中其中，kx为为任意正交归一完备本征函数系。任意正交归一完备本征函数系。证明证明四四、（20 分分）在在2L与与zL表象中表象中，在轨道角动量量子数在轨道角动量量子数1l 的子空间中的子空间中，分分别计算算符别计算算符xL、yL与与zL的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解解在2L与zL表象下，当轨道角动量量子数1l 时，1,0,1m，显然，算符xL、yL与zL皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故zL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100000001zL（1）相应的本征解为1011;0000;100;01zzzLLL （2）对于算符xL、yL而言，需要用到升降算符，即-第 10 页1212ixyLLLLLL（3）而11,1L lml lm ml m（4）当1,1,0,1lm时，显然，算符xL、yL的对角元皆为零，并且，1,11,11,11,101,11,11,11,10 xyxyLLLL（5）只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即1,11,01,01,11,01,11,11,02i1,01,11,11,02i1,11,01,01,12xxxxyyyyLLLLLLLL（6）于是得到算符xL、yL的矩阵形式如下0100i0101;i0i220100i0 xyLL（7）yL满足的本征方程为321321 0i0i0i0i02cccccc（8）相应的久期方程为02i02i2i02i（9）将其化为023（10）得到三个本征值分别为-第 11 页321 ;0 ;（11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 i2i21 ;10121 ;i2i21321（12）xL满足的本征方程为112233010101 2010cccccc（13）相应的久期方程为0202202（14）将其化为023（15）得到三个本征值分别为321 ;0 ;（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为1231111112;0;2222111（17）五五、（20 分分）由由两个质量皆为两个质量皆为、角频率皆为角频率皆为的线谐振子构成的体系的线谐振子构成的体系，加上微扰项加上微扰项21 xxW（21,xx分别为两个线谐振子的坐标分别为两个线谐振子的坐标）后后，用微扰论用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为式中，式中，。解解体系的哈密顿算符为WHH0（1）-第 12 页其中212221222210 2121xxWxxppH（2）已知0H的解为 2121021,1xxxxnEnnnn（3）其中nfnnn,3,2,1,2,1,0,21（4）将前三个能量与波函数具体写出来00001020111011212110202212102220122231112;2,3,ExxExxxxExxxxxx（5）对于基态而言，021nnn，10f，体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmnnx（6）可知 010000020nfnnnnEEWWE（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302WW（8）于是得到基态能量的二级修正为 32242020020841EEE（9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为-第 13 页 0123332312312222113121211EWWWWEWWWWEW（10）其中112233122113312332202WWWWWWWWW（11）将上式代入（10）式得到 12212212220200222EEE（12）整理之，12E满足 23112240EE（13）于是得到第二激发态能量的一级修正为 21231222121 ;0 ;EEE（14）