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-因式分解知识点归纳-第 11 页因式分解 知识点回顾1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：（2）运用公式法： 平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：6、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：7、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（=8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：9、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算：am·an=am+n(m，n都是正整数).(am)n=amn(m，n都是正整数).例题1.若，则a= ；若，则n= 例题2.若，求的值。例题3.计算练习1.若，则= . 2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。2.积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题1. 计算：3.乘法公式平方差公式：完全平方和公式：完全平方差公式：例题1. 利用平方差公式计算：2009×200720082例题2.利用平方差公式计算：3.（a2b3cd）（a2b3cd）考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bx B. x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 C. x2-1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若可以因式分解为，则k的值为_3、已知a为正整数，试判断是奇数还是偶数？4、已知关于x的二次三项式有一个因式，且m+n=17，试求m，n的值考点二 提取公因式法提取公因式法：公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母 3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题 1、将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）A、ab B、 C、 D、2、已知可因式分解为，其中a，b，c均为整数，则a+b+c等于（ ）A、-12 B、-32 C、38 D、723、分解因式（1） （2）（3） （4） 4、先分解因式，在计算求值（1） 其中x=1.5（2） 其中a=185、已知多项式有一个因式为，另一个因式为，求a+b的值6、若，用因式分解法求的值7、已知a，b，c满足，求的值。（a，b，c都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、 B、 C、 D、2、分解下列因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 3、若n为正整数，则一定能被8整除完全平方式 运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式 中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、 B、 C、 D、2、下列因式分解中，正确的有（）A、0个 B、1个 C、2个 D、5个3、如果是一个完全平方式，那么m应为（ ）A、-5 B、3 C、7 D、7或-14、分解因式 (1) (2) (3)（4） （5） （6） （7）4x212xy+9y24x+6y-35、已知，求6、证明代数式的值总是正数7、已知a，b，c分别是的三边长，试比较与的大小 考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数的值，那么它就可以把二次三项式分解成例题讲解1、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习分解因式(1) (2) (3) (4) (5) (6)2、二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例题讲解1、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=分解因式：（1） （2） （3） （4）3、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：=分解因式(1) (2) (3)4、二次项系数不为1的多项式例题讲解 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=分解因式：（1） （2）考点五、因式分解的应用1、分解下列因式（1） （2） （3） （4）2、计算下列各题（1） （2）3、解方程（1） （2）4、如果实数，且，那么a+b的值等于_5、6、若多项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值（1）已知，求的值（2）已知，求的值8、已知a、b、c为三角形三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题（1） 上述分解因式的方式是_，共用了_次。（2） 若分解，则需上述方法_次，结果为_（3） 分解因式（n为正整数）