高三数学试题(18页).doc
-第 1 页高三数学试题-第 2 页高三数学试题高三数学试题一填空题：1.假设某 10 张奖券中有 1 张，奖品价值 100 元，有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为.2.已知对任意的,00,1,1xy ，不等式22268210 xxyyaxx 恒成立，则实数a的取值范围为.3.在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(|1)yy 作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知()yf x是定义在上的增函数,且()yf x的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式22(6)(836)0f xxf yy,则22xy的取值范围_.5.已知一玻璃杯杯口直径 6cm,杯深 8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).二选择题：-第 3 页6.已知 O 是ABC外接圆的圆心,A,B,C 为ABC的内角,若coscos2sinsinBCABACm AOCB,xyOBCA-第 4 页则 m 的值为 答 A.1B.sin AC.cos AD.tan A7.已知点列,nnnAa bnN均为函数0,1xyaaa的图像上，点列,0nBn满足1nnnnA BA B，若数列 nb中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）（A）51510,22（B）5151,11,22（C）31310,22（D）3131,11,228.过圆22(1)(1)1C xy：的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|,SSSS则直线 AB有（）（A）0 条（B）1 条（C）2 条（D）3 条三解答题：9.已知直线2yx是双曲线2222:1xyCab的一条渐近线，点1,0,0AM m nn 都在双曲线C上，直线 AM 与y轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴相交的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在x轴上是否存在定点 T，使得?TPTQ若存在，求出点 T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点0,2D的直线l与双曲线 C 交于 R,S 两点，且OROSRS ，试求直线l的方程.10.已知双曲线22:12xCy,设过点(3 2,0)A 的直线 l 的方向向量为(1,)ek.(1)当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离;-第 5 页(2)证明:当22k 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为6.11.已知集合 M 是满足下列性质的函数()f x的全体：存在非零常数 k，对定义域中的任意 x，等式()f kx2k()f x恒成立（1）判断一次函数()f xaxb(a0)是否属于集合 M；（2）证明函数()f x2log x属于集合 M，并找出一个常数 k；（3）已知函数()f xlogax(a1)与 yx 的图象有公共点，证明()f xlogaxM12.设函数)(xf和)(xg都是定义在集合M上的函数,对于任意的xM，都有)()(xfgxgf成立，称函数)(xf与)(xg在M上互为“H函数”.（1）函数xxf2)(与xxgsin)(在M上互为“H函数”，求集合M；（2）若函数xaxf)(0aa且1)与1)(xxg在集合M上互为“H函数”,求证：1a；（3）函数2)(xxf与)(xg在集合1|xxM且32 kx，*Nk 上互为“H函数”，当10 x时,)1(log)(2xxg，且)(xg在)1,1(上是偶函数,求函数)(xg在集合M上的解析式.13.设数列 na的前n项和为nS，且21.nnnSa SnN（1）求出123,S SS的值，并求出nS及数列 na的通项公式；（2）设111nnnnba anN，求数列 nb的前n项和nT；（3）设1nncnanN，在数列 nc中取出3m mNm且项，按照原来的-第 6 页顺序排列成一列，构成等比数列nd，若对任意的数列nd，均有12ndddM，试求M的最小值.14.已知数列na的各项均为正数，其前n项的和为nS，满足nnapSp2)1(（*Nn），其中p为正常数，且1p（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当Mn 时，7823741aaaaan恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若21p，设数列nb对任意*Nn，都有2123121ababababnnnn12121nabnn，问数列nb是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由15.已知抛物线)0(2:2ppxyC上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5。（1）求抛物线的方程。（2）设 直 线)0(kbkxy与 抛 物 线 交 于 两 点),(),(2211yxByxA，且)0(|21aayy，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD；在分别过弦BDAD,的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点FE,，得到三角形BDFADE,；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：22)1(16kkba；计算ABD的面积ABDS；根据ABD的面积的计算结果，写出BDFADE,的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。1.假设某 10 张奖券中有 1 张，奖品价值 100 元，有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元；其余6 张没有奖.现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为32.xyODBAMFE-第 7 页2.已知对任意的,00,1,1xy ，不等式018216222ayxxyxx恒 成 立，则 实 数a的 取 值 范 围 为248,（.3.在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(|1)yy 作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知()yf x是定义在上的增函数,且()yf x的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式22(6)(836)0f xxf yy,则22xy的取值范围_.解:由对称性可知(6)0f,由单调性可知6x 时,()0f x;6x 时,()0f x;由22836(4)206yyy,则266xx,结合草图可知2836yy到 6 的距离不超过比26xx到 6 的距离,即2283666(6)yyxx,整理得222268240(3)(4)1xyxyxy,其几何意义是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆(及其内部),而22xy即为该区域内点到原点距离的平方,结合图形可知,故其取值范围为16,36.5.已知一玻璃杯杯口直径 6cm,杯深 8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).-第 8 页解:如图建系,抛物线方程为抛物线28,3,39yxx,CPxOy-第 9 页小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心 C 距离最短的点,由小球能碰到杯底,则有|COCP,设(,)(3,3)P x y x 在抛物线上,设小球的半径为 r,则圆心的坐标为(0,)Cr,由min|CPCO,即当0y 时,|CP最小,故1 9(2)02 8r,所以9(0,16r.选择题：-第 10 页6.已知 O 是ABC外接圆的圆心,A,B,C 为ABC的内角,若coscos2sinsinBCABACm AOCB,xyOBCA-第 11 页则 m 的值为答 BA.1B.sin AC.cos AD.tan A解:不妨设外接圆的半径为 1,如图建立直角坐标系,则有2,2AOBCAOCB,故可设(cos2,sin2)BCC,(cos(22),sin(22)CBB,结合诱导公式得(cos2,sin2)CBB,则(cos21,sin2),(cos21,sin2)ABCCACBB,由coscos2sinsinBCABACm AOCB,得coscos(cos21)(cos21)2sinsinBCCBmCB,又2cos212sinCC,2cos212sinBB,上式化为22coscos(2sin)(2sin)2sinsinBCCBmCB ,整理得sincoscossinsin()sinmCBCBBCA,故选 B.7.已知点列已知点列,nnnAa bnN均为函数均为函数0,1xyaaa的图像上，点列的图像上，点列,0nBn满满足足1nnnnA BA B，若数列若数列 nb中任意连续三项能构成三角形的三边中任意连续三项能构成三角形的三边，则则a的取值范围为的取值范围为（B）（A）51510,22（B）5151,11,22（C）31310,22（D）3131,11,228.过圆22(1)(1)1C xy：的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|,SSSS则直线 AB有（）（A）0 条（B）1 条（C）2 条（D）3 条三解答题：-第 12 页9.已知直线2yx是双曲线2222:1xyCab的一条渐近线，点1,0,0AM m nn 都在双曲线C上，直线 AM 与y轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在x轴上是否存在定点 T，使得?TPTQ若存在，求出点 T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点0,2D的直线l与双曲线 C 交于 R,S 两点，且OROSRS ，试求直线l的方程.10.已知双曲线22:12xCy,设过点(3 2,0)A 的直线 l 的方向向量为(1,)ek.(3)当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离;(4)证明:当22k 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为6.(1)解:双曲线 C 的渐近线:02xmy,即20 xy,直线 l 的方程为23 20 xy,直线 l 与 m 的距离为3 2612d.(2)证法一:设过原点且平行于 l 的直线:0b kxy,则直线 l 与 b 的距离23 2|1kdk,当22k 时,6d,又双曲线 C 的渐近线方程为20 xy,双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,双曲线 C 的右支上的任意点到直线 l 的距离大于6,故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为6.证法二:假设双曲线右支上存在点00(,)Q xy到直线 l 的距离为6,则0022200|3 2|6,(1)122,(2)kxykkxy,-第 13 页由(1)得2003 261ykxkk,设23 261tkk,当22k 时,23 2610tkk,将00ykxt代入(2)得22200(12)42(1)0kxktxt(),方程()不存在正根,即假设不成立,故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为6.11.已知集合 M 是满足下列性质的函数()f x的全体：存在非零常数 k，对定义域中的任意 x，等式()f kx2k()f x恒成立（1）判断一次函数()f xaxb(a0)是否属于集合 M；（2）证明函数()f x2log x属于集合 M，并找出一个常数 k；（3）已知函数()f xlogax(a1)与 yx 的图象有公共点，证明()f xlogaxM解：（1）若()f xaxbM，则存在非零常数 k，对任意 xD 均有()f kxakxb2k()f x，即 a(k1)x2k恒成立，得100kk，无解，所以()f x M（2）2log()kx2k2log x，则2log k2k，k4，k2 时等式恒成立，所以()f x2log xM（3）因为 ylogax(a1)与 yx 有交点，由图象知，ylogax与 y2x必有交点设logak2k，则()f kxlog()akxlogaklogax2k()f x，所以()f xM12.设函数)(xf和)(xg都是定义在集合M上的函数,对于任意的xM，都有)()(xfgxgf成立，称函数)(xf与)(xg在M上互为“H函数”.-第 14 页（1）函数xxf2)(与xxgsin)(在M上互为“H函数”，求集合M；（2）若函数xaxf)(0aa且1)与1)(xxg在集合M上互为“H函数”,求证：1a；（3）函数2)(xxf与)(xg在集合1|xxM且32 kx，*Nk 上互为“H函数”，当10 x时,)1(log)(2xxg，且)(xg在)1,1(上是偶函数,求函数)(xg在集合M上的解析式.（1）由)()(xfgxgf得xx2sinsin2化简得，0)cos1(sin2xx，0sinx或1cosx2解得kx 或kx2，Zk，即集合|kxxMZk 2 分(若学生写出的答案是集合,|ZkkxxM的非空子集，扣 1 分，以示区别。)（2）证明：由题意得，11xxaa（0a且1a），变形得，1)1(aax，由于0a且1a，11aax，因为0 xa，所以011a，即1a（3）当01x，则10 x，由于函数)(xg在)1,1(上是偶函数则)1(log)()(2xxgxg，所以当11x时，|)|1(log)(2xxg由于2)(xxf与函数)(xg在集合M上“互为H函数”所以当Mx，)()(xfgxgf恒成立,)2(2)(xgxg对 于 任 意 的)12,12(nnx(Nn)恒 成 立,即2)()2(xgxg，所以2)1(22)1(2nxgnxg,-第 15 页即2)1(2)2(nxgnxg，所以nxgnxg2)()2(,当)12,12(nnx（Nn）时,)1,1(2 nx|)2|1(log)2(2nxnxg，所以当Mx时，13.设数列 na的前n项和为nS，且21.nnnSa SnN（1）求出123,S SS的值，并求出nS及数列 na的通项公式；（2）设)()1()1(121Nnaanbnnnn，求数列 nb的前n项和nT；（3）设1nncnanN，在数列 nc中取出3m mNm且项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列nd，若对任意的数列nd，均有12ndddM，试求M的最小值.14.已知数列na的各项均为正数，其前n项的和为nS，满足nnapSp2)1(（*Nn），其中p为正常数，且1p（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当Mn 时，7823741aaaaan恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若21p，设数列nb对任意*Nn，都有2123121ababababnnnn12121nabnn，问数列nb是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由解解：（1）由题设知，121)1(apap，解得pa 1（1 分）由,)1(,)1(1212nnnnapSpapSp两式作差得，11)1(nnnaaap，即nnapa11，（2 分）所以，数列na是首项为p，公比为p1的等比数列，（3 分）-第 16 页所以2111nnnpppa（*Nn）（4 分）（2）2)53()43(5212374111nnnnppaaaa，（5 分）而76781pa，由题意，762)53(11ppnn，（6 分）所以，当1p时，110p，则762)53(nn，即0152532 nn，解得8319n（舍去）；（7 分）当10 p时，11p，则762)53(nn，即0152532 nn，解得8n或319n（舍去）此时存在满足题意的8minM（8 分）综上，当10 p时，存在M的最小值为8,使7823741aaaaan恒成立（10 分）（3）令1n，则21121211ab，因为211a，所以11b（11 分）因为2123121ababababnnnn12121nabnn所以2121211122332211nabababababnnnnnn（2n）（13 分）因为na的公比21p，所以在的两边同乘以2得，122123121nababababnnnnn（2n）（15 分）减去得，21nabn，所以nbn（2n），（17 分）因为11b，所以nb是等差数列，其通项公式为nbn（18 分）15.已知抛物线)0(2:2ppxyC上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5。（1）求抛物线的方程。-第 17 页（2）设 直 线)0(kbkxy与 抛 物 线 交 于 两 点),(),(2211yxByxA，且)0(|21aayy，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD；在分别过弦BDAD,的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点FE,，得到三角形BDFADE,；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：22)1(16kkba；计算ABD的面积ABDS；根据ABD的面积的计算结果，写出BDFADE,的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。解：（1）由抛物线定义得：2,5)2(4pp（2）044422kbykyxybkxy22)1(16kkba。,2221kyybxxkyy)2(22121，22122kbkxx，)2,2(2kkkbM，求得点)2,1(2kkD，|21,|1|212yyDMSkbkDMDAB由知BFDDAADESaayyS833232)2(32|。第n此作图产生12n个三角形，每一个三角形的面积是上一个面积的81，所以nS是一个公比为81的等比数列。令na为第n此作图产生的12n个三角形的面积和1311)81(3222nnnnnaSa，前n此作图所有三角形的面积和为)4141411(32123nnaT。抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积xyODBAMFE
