MS05随机事件的概率(文).docx
随机事件的概率一、概率.在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概率.记作P(A).1 .频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常人们用概 率来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.二、事件的关系与运算三、概率的几个基本性质定义符号表示包含关系如果事件A发生 ，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B3 A （或 Ac B）相等关系若且那么称事件A与事件B相等.A = B并事件(和 事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事 件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AUB 或 A+B交事件(积 事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此 事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)ACB 或 AB互斥事件若为不可能事件,那么事件A与事件B互斥A n b=0对立事件若APB为不可能 事件,AU3为必然事件，那么称事 件A与事件8互为对立事件1.概率的取值范围：OWP(A)<12.必然事件的概率P(E)=1 .3 .不可能事件的概率P(F)=O.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB) = P(A) + P(B).4 .对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A UB为必然事件.P(AUB)=1, P(A)=1-P(B). 例1: 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶.解：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.选D。例2：掷一枚均匀的硬币两次，事件例：一次正面朝上，一次反面朝上；事件M至少一次正面朝上，则下 列结果正确的是()11111313A. P(M)=Q，P(N)=5 B. P(M)=5，P(N)=5 C. P(M)=q, P(AO=Z D. P(M)=5，P(7V)=t J乙乙乙JI乙I11 1 3解：P(AO=12x2=4-例3：某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20Q30,0.10.则此射手在一次射击中不 够8环的概率为()A. 0.40B. 0.30C. 0.60D. 0.90解：依题意，射中8环及以上的概率为以20+0.30+0.10=0.60,故不够8环的概率为1 -0.60=0.40.选A 例4：盒子里共有大小相同的3只红球，1只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是31解：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种，故。=玄=/ o 2例5：甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是右乙获胜的概率是，则乙不输的概率是解：=2+3=6-1 .互斥事件与对立事件包含类型两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；事件A, B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一 定互斥.2 .从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事 件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.例6：在2016年深圳里约奥运会火炬传递活动中，有编号为123,4,5的5名火炬手.若从中任选3人,则 选出的火炬手的编号相连的概率为()c而c而B.iO解:从123,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5), 3选出的火炬手的编号相连的概率为。=布.例7：从1,2,345中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为()解:可能的情况有(123), (124), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 42种，其中和为奇数的有(1,2,4), (1,3,5), (2,3,4), (2,4,5)共4种,故所求概率尸=而=不 JL v_/例8：某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完 全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3 杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人 对A和B两种饮料没有鉴别能力.求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率.解：将5杯饮料编号为：1,2,345,编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示3饮料，则从5杯饮料中选出3 杯的所有可能情况为：(123), (124), (125), (134), (135), (145), (234), (235), (245), (345),可见共有 10种.令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良好及以上的 137事件，则P(Z)=而(2)P(E)=5, P(F) = P(D) + P(E)=m.例9：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为匕 得到黑球 或黄球的概率是得，得到黄球或绿球的概率是1试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D由于A、B、C、。为互斥事件，根据已知得到股)+ro4，解"hoJ,得到黑球、黄球、绿球的概率分别为h 1.内。+砍)毛砍)=1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的 概率，再求和.1 .求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.如果采用方法一，一定 要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易 出现错误.2 .对立事件一定是互斥事件.互斥事件不一定是对立事件，可借助于集合思想去找准对立事件.3 .若A、B互斥且对立.则P(A) + P(B)=L例10：某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为（）A. 0.99B. 0.98C. 0.97D. 0.96解：P= 1-0.03-0.01 =0.96.例11： 一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地 取球，每次随机取一个.求连续取两次都是白球的概率；若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.解：（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1）,（红，白2）,（红，黑）；（白1,红），（白1,白1）,（白1,白2）,（白1,黑）；（白2,红），（白2,白1）,（白2,白2）,（白2,黑）；（黑，红），（黑，白1）,（黑，白2）,（黑，黑）所以基本事件的总数加=16.设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有：（白1,白1）,（白1,白2）,（白2,白1）,41（白2,白2）共4个，所以。（4）=讳=不法一：由连续取两次的事件总数为M=16,设事件&连续取两次分数之和为0分，则P（8）=上；41设事件C连续取两次分数之和为1分，则P（O=?设事件连续取两次分数之和大于1分，则 p（r）=i-p（B）-p（c）=1|o法二：设事件B：连续取两次分数之和为2分，则尸（8）=假；设事件C连续取两次分数之和为3分，则41尸。）=而；设事件D：连续取两次分数之和为4分,则尸（。）=而；设事件E：连续取两次分数之和大于1分，则 P（E） = P（3） + P（C） + P（0=¥。Li例12：如图，A地到火车站共有两条路径L和L2,现随机抽取100位从一二火车站A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10-2020-3030-4040 5050 60选择L的人数612181212选择办的人数0416164试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车 站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解：（1）由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计 相应的概率为0.44.（2）选择Li的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）10-2020 3030 4040-5050 60L的频率0.10.20.30.20.2L?的频率00.10.40.40.1（3）Ai，A2分别表示甲选择Li和L2时,在40分钟内赶到火车站；Bi，Bz分别表示乙选择Li和L2时,在50分钟内赶到火车站.由（2）知P（Ai）=0.l+0.2+0.3=06P（A2）=0.1+0.4=0.5, P（Ai）P（A2）,甲应选择 LI； P（Bi） = 0.1 +0.2+03+0.2=0.8,P（B2）=0.1 + 0.4+0.4=0.9, P（B2）P（Bi）,，乙应选择 L2.例13：甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75, 则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解：=10. 2X0. 25 = 0.95.答案：0.95。例14：已知向量=（x、y）, /?=（!, -2）,从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中， 有放回地抽取两张，X、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.求满足b= l的概率；(2)求满足。匕>0的概率.解：设(羽y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、 (2,1)、(2,2)(6,5)、(6,6),共36个.用A表示事件=1”,即2y= -L则A包含的基本事件31有(1,1)、(3,2)、(5,3),共 3 个,尸.(2)乃>0,即x2y>0,在中的36个基本事件中，满足九一2y>0的事件有(3)、(4)、(5,1)、(6)、(5,2)、(6,2),共6个，所以所求概率例15：某次会议有6名代表参加，A、3两名代表来自甲单位，C、。两名代表来自乙单位，E、尸两名代表 来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(4, B), (A, Q, (A, D), (A, E), (A, F)，(B, Q, (B, D), (B, E), (B, F), (C, 0, (C, E), (C, F),(。，E), (。，F), (E, F).其中代 表A被选中的选法有(A, B), (A, Q, (A, D), (A, E), (A, F),共5种，则代表A被选中的概率为余=：. (2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是(A, C), (A, D), (B, C), (B,£>), (C, E), (C, F), (D, E), (D, F), (E, F).则“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都 9 3来自丙单位”这一事件的概率为去=. Q法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为正；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为表. JL Q 13则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为去+正=之 JL dy JL
