（新教材）2021-2022学年下学期高一暑假巩固练习4 立体几何（一）.docx
暑假练习04立体几何（一）一、单选题.1. 下列说法中正确的个数为（）各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； 各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥.A. 4B. 3C. 2D. 1一个正四棱锥的侧棱长为10,底面边长为6国，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5,则正四棱台的高为（）5B. 4C. 3D. 22. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图A!B'CD'是边长为2的菱形，且O'D' = 2,则原平面图形的周长为（）A. 42+4B. 4x/6+4C. 82D. 8己知某圆锥的母线长为3,底面圆的半径为2,则圆锥的表面积为（）A. 10B. 12C. 14D. 16/r如图，圆锥PO的底面直径和高均为4,过的中点0,作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）【答案】【解析】按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形，截面形状不可能为五边形, 故答案为.【答案】空【解析】如图所示，取中点。，连接AD,由于三棱锥S-ABCJ正三棱锥，故过点S作SF_L底面A8C,则F在AO上，且AF = 2FD,点。在SF上，连接。4, 0E,设三棱锥S-ABC外接球0半径为R,则OS = OA = R，由于底面是边长为3的正三角形，所以& = *!, AF = -AD = 923因为 SA = 2也,所以 SF = jAS2_AF2 =3, 设破=如贝'SO = 3-h AO我AF2+OF2=4i，故3-人=3 +忡，解得/? = 1，所以 R = 3 1 = 2，由勾股定理得0E = JoA2 -AE?=4一：=斗，过点E作三棱锥S-ABC外接球。的截面圆，当截面圆与0E垂直时，截面面积 最小，设截面圆半径为r,则=摘OE2 =，,故截面面积的最小值为兀产=?兀, 故答案为四.四、解答题.11. 【答案】(1) 3a/5 ； (2) 5cm.【解析】(1)三棱柱的侧面展开图为一个矩形&40101,如图所示,长 AiAi，=2x3=6,宽 AAi=3, 所以心=/相+由=丁9 + 36=3后， 即小虫爬行的最短距离是3打.(2)作出三棱锥的侧面展开图，如图，A, B两点间最短绳长就是线段的长度.在AO8中，ZAQ8 = 30°x3 = 90。，O4 = 4cm, OB = 3cm,所以 AB = y/0A2+0B2 = 5(cm),所以此绳在A, B两点间的最短绳长为5cm.12. 【答案】（1） 80 + 48J7；（2）9【解析】（1）设Q,。分别为正四棱台上、下底面的中心，连接。Q,AC，AG，过弓作QE1AC于E,过E作EF1BC于几连接C】F ,如图，则GEQO，C/为正四棱台的斜高，依题意，在RtZC|CE中,/yZCC】E = 30。, CE = CO - EO = CO - CQ = -x(8 4)= 2扼，以=岳=2妤 在等腰RtACEF 中，EF = CEsin45o = 2“x巫=2,2在 RtZC|EF 中，斜高 QF = ylCiE2+EF2 =27于是得正四棱台的侧面积§ =4xLx（4 + 8）x2>/7 = 48>/7， 而正四棱台的上下底面面积分别为s，= 42 =16，S = 8? =64,所以正四棱台的表面积$2 =S' + S + S| =16+64+48a/7 = 80+48a/7 .(2)由(1)知S' + S = 80，§ =4x：x(4 + 8)GF = 80，解得C(F = y 又EF = 2，因此，CE = yCiF2-EF2 =-，即四棱台的高h = -, 所以正四棱台的体积 V = i(S, + 5 + Vs77s)/i = i(42+82+4x8)x- = 15.【答案】表面积为15i，体积为瓯兀3【解析】如图，连接CD，因为。是切点，CD是半径，所以CD_LAB，由已知可得 £4 = 60。，AB = 4, BC = 2a/3, CD = AC sin60° = V3-BB阴影部分绕BC所在直线旋转一周得到的旋转体，可以看作是一个圆锥挖去一个 半球所得的几何体，圆锥的底面半径为2,高为2也,挖去的半球的半径为(V5) +x22 一x(V5) =15)，(V5) +x22 一x(V5) =15)，该几何体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环, 所以其表面积S = x2x2x4 + x x |体积 V = X7TX3体积 V = X7TX322x2 右-Lx 丑 x(右)3=瓯"33A. 10/rA. 10/rB.10C. 2tiD.In已知三棱锥的三条侧棱长均为2,侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为右，则这个三棱锥的表面积为（）A. 4 + 30 +应A. 4 + 30 +应B. 4 + 0 + 2而C. 4 + 3 + J15CI. 4 + 3 + J15D. 4 + 2V3 + V15古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直 径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的2,且球的表面3积也是圆柱表面积的|.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱 内切球的表面积为（）A. 12/rB. 6也兀C. 6兀D. 4也兀二、多选题.3. 下列说法正确的是（）由若干个平面多边形围成的几何体，称作多面体A. 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面旋转体的截面图形都是圆B. 圆锥的侧面展开图是一个扇形利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A.三角形的直观图是三角形B.正方形的直观图是正方形C,菱形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图是平行四边形4. 己知A，B， C三点均在球。的表面上，AB = BC = CA = 2且球心0到平面ABC的距离等于球半径的！，则下列结论正确的是（）3A.球0的表面积为6B.球。的内接正方体的棱长为1C.球。的外切正方体的棱长为兰D.球。的内接正四面体的棱长为23三、填空题.5. 用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是.（填序号）三角形；四边形；五边形；不可能为四边形.6. 已知正三棱锥S-ABC,底面是边长为3的正三角形ABC, SA = 2后，点E是线段的中点，过点E作三棱锥S-ABC外接球。的截面，则截面面积的最 小值是.四、解答题.7. （1）如图，三棱柱ABC-A4G的底面是边长为2的正三角形，侧棱CCi±底面，CCi = 3,有虫从A沿三个侧面爬到Ai,求小虫爬行的最短距离.（2）以0为顶点的三棱锥中，过。的三条棱两两的夹角都是30。，在一条棱上 取A, 3两点，Q4 = 4cm, OB = 3cm,以A, B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），求此绳在A, B两点间的最短绳长.8. 如图所示，正四棱台两底面边长分别为4和8.(1)若其侧棱所在直线与上、下底面中心的连线夹角为30。，求该四棱台的表面积；(2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积.参考公式：上下底 面面积分别为s,s,高为h，v=L(s'+s+J3)/zAB如图，在43C中，ZC = 90% ZB = 30°, AC = 2,以C为圆心的圆弧与 A8相切于点Z),将阴影部分绕gc所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个 旋转体的表面积和体积.H答案与解析一、单选题.1. 【答案】D【解析】对于，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，错误；对于，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且 腰长均为侧棱长，错误；对于，各侧面都是全等的等腰三角形,但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长, 错误；对于，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为 底面中心，满足正棱锥定义，正确，故选D.2. 【答案】B【解析】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面 截得的，如下图所示：对原正四棱锥，BD = gc = 12,故其高 PO= J100-36=8,又 PO】B 。POB，其相似比为L，故正四棱台的高h = -PO = 4,2故选B.3. 【答案】B【解析】由题可知 O'D' = AfDf = 2，ZAfOfDf = 45° , OfAr = 22，还原直观图可得原平面图形，如图，则 OD = 2O'D' = 4, OA = OfAr = 2y2, AB = DC = 2,=2妤=2妤.原平面图形的周长为46+4,故选B.4. 【答案】A【解析】.圆锥的母线长为3,底面圆的半径为2,底面周长是2x 2 = 4tt，侧面积是x 4- x 3 = 6/r，底面积是x 22 =4/1 ,2.圆锥的表面积为S = 6+4万= 10;r,故选A.5. 【答案】B【解析】由题意知，因为O'为PO的中点，所以挖去圆柱的半径为1,高为2,剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小 圆柱的体积，所以 V = i-x22x4-7rxl2x2 = 故选 B.3 3【答案】C【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB = AC = AD = 2,CE = t，由题意 ABCAACD是等腰直角三角形，则BC = CD = 2V2 »=4 +右+应，故选c.6. 【答案】A【解析】设圆柱底面圆半径为r,则圆柱高为2r，圆柱体积兀rf = 6扁,解得r = 5/3 ,又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，所以内切球的表面积是圆柱表面积的2,圆柱表面积为322右勿x2a/5 + x(V5) x2 = 18",?所以内切球的表面积为18"= 12，故选A.3二、多选题.7. 【答案】ABD【解析】根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；截圆柱、圆锥、圆台所得轴截面图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，选项C错误；圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确，选项D正确，故选ABD.8. 【答案】AD【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于 尤轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半.对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45。或135%长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；对于B中，正方形的直角，在直观图中变为45。或135。，不是正方形，所以B 错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45。，所 以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D 正确，故选AD.9. 【答案】AD【解析】设球的半径为R,由己知可得ABC外接圆半径为r = = 邓,球心0到平面ABC的距离等于球半径的上，:.R2-R2=，得 r2=Z.对于A,球。的表面积为41x2 = 6”，故A正确;对于B,设球。的内接正方体的棱长为0,.正方体的体对角线即球0的直径，也a = 2R，解得a = e 故B错误;对于C,设球0的外切正方体的棱长为人，.正方体的棱长即球。的直径长，.圣=2人=把，故C错误；对于D,设球0的内接正四面体的棱长为c,则正四面体的高为V6一c32c，解得。=2，故D正确,I 2 5 ¥ 遥故选AD.三、填空题.
