选修4-5：证明不等式的基本方法（习题课） 教学设计.docx
高二级 唐爱文选修4-5:证明不等式的基本方法（习题课）【教学目标】：1、知识与技能（1）学生能够利用观察分析不等式选择证明方法，在应用放缩法时能看准目标，放缩时能够把握“度二（2）在数学归纳法证明不等式时，能够突破n=k推导到n=k+1关键步骤，会利用分析法需找得证的充分 条件。（3）继续严格要求证明的“步骤”性，有数形结合、构造法解决不等式的初步意识。2、过程与方法（1）运用习题课课型形式教学：.基本知识复习回顾一基本题型练习一归纳呈现不同形式的题型一 教师问题引导一学生观察讨论一方法规律小结一变式纠错巩固提升一总结归纳。（2）通过例题启发学生，学生之间进行讨论培养学生合作探究能力。3、情态与价值（1）培养学生观察，分析，论证的能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的 构建过程，体会类比的数学思想.（2）通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法（先猜想后证明），激发学生的学习热情，使学生初 步形成做数学的意识和科学精神.【教学重点、难点】重点：（1）用放缩法、数学归纳法证明不等式；（2）能较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合等基本数学思想证明不等式的有关问题。 难点：构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。【学情分析】学生已经学习了不等式的解法，不等式的证明等知识，所有证明方法比较法、分析法、综合法、数学归 纳法等都有运用但掌握还不够深入，最主要的是不知道采用如何方法去证明？猜想一归纳一证明三步曲运用 的不够灵活，另外常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想还未渗透！部分学生的基础 薄弱，可以预见在探索过程中对证明过程会存在疑难。【教学过程】一、【复习回顾】（课型建模：）1 .设m bR,若。一>0,则下列不等式正确的是（）.A. b-a>0 B. +万3VoC. /一从<0D. b-a>Q.要证 a2+b2-l-a2b20,只要证（）A. 2ab-l-ab20 B. a2+b2-l-0C.（9） T-abWO D. （a2-l）.（b2-l） 0.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是（）A.任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面B.任意多面体没有一个是三角形的面C.任意多面体没有一个是四边形的面D.任意多面体没有一个是五边形的面.比较log23与log34的大小关系是.2 .用数学归纳法证明“5=上+工+工+Q7>1（£N*）”时，S等于（）十 1 十 2 77+33/7+1A.JC.J+；+； D.以上答案均不正确二、【例题讲解】（课型建模：）2V1?例1、设数列%的前项和为S .已知q =1,七=a+i ri? 一几,n e N：.33（I）求。2的值；（H）求数列4的通项公式；可求得a=2,£N*111 7（III）证明：对一切正整数，有一+ + + <-（课型建模：）q %an4练习:设各项均为。正数的数列%的前项和为S，且S满.足5； 3）S 3（2+） = 0 , ne N*.（1）求生的值 （2）求数列。的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有1一7 +:+一（课型建模：）q（Q+l） a2 a2+1） an an +1） 3方法.规律 放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：ZZ'*/*V/'ZS/'W"VZKZ1Z'W"Z'W添加或舍去一些项，如：yla2+1> a ；Jn(n +1) >n；a用加坯笔式，如：Ig3>lg5<(lg3 + lg5)2 =lgV15 <lgV16 = lg4；1 1 1 1<=k2 k(k-l) k-1 k'1 1 1 1<=k2 k(k-l) k-1 k'sXTzxzs/n/szxzxzsz/xAA/szxzx/sAzs/szxX/szxzzvzxzs/vzzs/利用常用结论：Jk +1 yk I-j= < -j=；+ 2口1 1 1 1>=k2 Z(Z + 1) k + l1 1 1 1>=k2 Z(Z + 1) k + l（程度大）111 LI 1 、() k2 左2 _1 (左_1)(% + 1) - 2 -l + l（程度小）.1111r-例2、已知 cN，证明：= + = + = + .4- y .<4n(课型建模：)Vlx2 ，2x3 V3x4J( + l)练习、已知 eN*,证明：1 +,+!+(课型建模：) 2 32t2方法.规律数学归纳法：在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二部归纳步骤情况比较复杂, 因此，熟悉归纳法步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作一个独立的证明问题，归纳假设“P (k)”是问题的条件，而命题P (k+1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了 归纳步骤中的关键，常用分析法、放缩法！2例 3、已知函数 f(x)= aln x +(。g R).x + 1(1)当a=1时，求f (x)在i £口,+8)最小值;(2)求证：ln(n + l)>- + - + - + .+ (e).(课型建模：)3 5 72 + 1练习：设函数/U)=|xi|+i%一切.(1)若a=-1,解不等式“r)N3；(2)如果求d的取值范围.(课型建模：)方法.规律构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要 依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应 的步骤，技巧特点.三、【课堂小测】321 .若n>0,则n+-的最小值为()n2A.2B.4C.6D.8.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a,b,c至少有1个偶数”的正确假设为“假设自然数a,b,c都是:2 .不等式|x - lklx + 2 k5的解集为.3 .若关于实数x的不等式|x5| +仅+3|<。无解，则实数。的取值范围是.4 .数列。的前项和为S，满足25 =。向2向+1 / £ N*,且4, % + 5,生成等差数列(I)求的值；(II)求数列。的通项公式；1113(III)证明:对一切正整数，有一+ + < a.%an21/716.已知等差数列%满足3 =7,。5 + % =26.(1)求%的通项公式;2%(2)若机=产，数列抄满足关系式 =2%(2)若机=产，数列抄满足关系式 =1/ = 1,b_i +m,n> 2,求证：数列扬的通项公式为包=2-1；(3)设 中.数列松的前项和S”对任意的正整数(1 )(S+ + 2)+5 + p)2'用<2恒成立, 求实数的取值范围.附板书:投 影 区选讲4-5证明不等式的基本方法归纳概括证明 不等式方法：:例1 ：:例2 ：1 1 1
