2022届新高考二轮复习第22讲排列组合古典概型与二项式定理学案.docx

专题八计数原理、概率与统计专题八计数原理、概率与统计第22讲 排列、组合、古典概型与二项式定理 真题回放 感悟真题体验高考（授课提示：见学生用书P5I）1 .（2021全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同 的分配方案共有（）A.60 种 B.120 种C.240 种 D.480 种解析：C 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有Cg种选法：然后连同其余三人，看成 四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数 有4!种.根据乘法原理，完成这件事，共有CgX4! =240种不同的分配方案，故选C.2 .（2020新高考卷1）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去I个场 馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场饵安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120 种 B. 90 种C. 60 种 D. 30 种解析：C 首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C&然后从其余5名同学中选 2名去乙场馆，方法数有Cg;最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有CACg= 6X10=60种.故选C3 .（2021北京卷）（x35）4展开式中常数项为.解析：-4 （x35）4 的展开式的通项 Tr+|=C，（x3）r（J）r = （-lyaxKFr,当=3 得常 AA数项，常数项为T4=（l）3G=-4.4 .（2021浙江卷）已知多项式（x式+ （x+ = x4 + aix3 + a2x2 + a3x + a4,则 ai = > 22 + 23 +34 =.解析：5 10 （x- I）3=x33x2+3x I,（x+ l）4=x4+4x3+6x2+4x+1,所以 a1=l+4=5, a2=3 + 6=3,a3=3+4=7, a4 = 1 + 1=0,所以 a?+a3+a4= 10.考情提示1 .高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法（如"在”“不在” 问题、相邻问题、相间问题）为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、 选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展 开式的性质求有关系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑 思维能力.2 .排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择题、填空题 形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二问中，难度也 为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等.考点诠释发散思维突破难点（授课提示：见学生用书P5I）两个计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果 需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.（2021 江西模考）2021年春节期间，某电影院为了做好防疫工作组织了 4个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组.每个 服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为（）A.12 B.24C.36 D.48解析：C 记4个服务管理小组分别为甲、乙、丙、丁，第一步，将4个服务管理小组分成三份，共有C3=6种不同的分法，列举如下：甲乙、 丙、丁；甲丙、乙、丁；甲丁、乙、丙；乙丙、甲、丁；乙丁、丙、甲；丙丁、甲、乙.第二步，分配到3个影厅，共有A,=6种不同的分配方法.根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的安排方法.故选C.（2）（2021 河北高二月考）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植 物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，旦圆环的3个区域种植绿色 植物,中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择， 则不同的栽种方案共有（）A.400 种 B.396 种C.38O 种 D.324 种解析：B 圆环的3个区域种植绿色植物共有A3=6种，如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：第一类，A, C, E均种相同鲜花，有N1=3X2X2X2 = 24种：第二类，A, C, E种2种不同鲜花，有N2 = A*XQ><2X1X1=36种；第三类，A, C, E种的鲜花各不相同，有N产A§X1X1X1=6种.故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有6X（24+36+6）=396种.故选B.思维启迪I(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步中又可能用到分类加法计数原理.(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、 直观化.(3)种植问题是常见的计数应用问题，可从选植物、选区域进行分类、分步，从不同角 度解决问题.排列与组合1 .区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.排列问题与选 取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.2 .排列数、组合数公式：A，=n(n-l)(n-2)-(n-m+1)=,二二、;n (n-1) (n-2)(n-m+ 1)n!=m! (n-m) !11)(2020安徽省合肥市高三第二次质检)为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略,某县科技特派员带着A, B, C三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A, B, C三个扶贫项 目的意向如下表：扶贫项目ABC贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己己登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两 个贫困户选择，则不同的选法种数有()A. 24 种 B. 16 种C. 10 种 D. 8 种解析：B只有一个项目有2个贫困户选：C项目有2个贫困户选，甲、乙分别选取A, B项目，方法为A3=2种；B项目有2个贫困户选，方法数有A3+l + l=4种；A项目有2 个贫困户选，不能丙丁同时选A,方法数有5种，共2+4+5=11种.只选2个项目，每个 项目两个贫困户选，选AB,有C3=3种，选AC只有1种，选BC只有I种，共3+1 + 1 =5种，综上，不同的方法数有11+5=16种，故选B.(2)(2021陕西高三二模)以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会于 2021年9月15日至27日在陕西举行.组委会安排A, B, C, D, E五名工作人员到我市三 个比赛场馆做准备工作，每个场馆至少1人，则不同的安排方法有()A.150 种 B.2I0 种C.240 种 D.300 种解析：A 根据题意，分两步进行分析：第一步，分成3组，每组至少一人.(1)按照一组3人，其他两组各1人，共有Ct=IO种情况；按照一组1人，其他两组各2人，共有按照一组1人，其他两组各2人，共有=15种情况.故共有10+15=25种分组方案；第二步，排序.将分好的三组进行全排列，分到三个不同的比赛场馆，共A3=6种排法.故五名工作人员到三个比赛场馆，每个场馆至少1人，不同的安排方法共有25X6=150 种.故选A.(3)(多选)(2020新泰市第二中学月考)下列等式中，正确的是()A.A!?4-mA_,=ARiB.rQ=nC 国C.C 呐=C+(X1+C。m+1D.Q?=Q' 1n-mln!,n!(n m+1) -n!解析：ABD选项A,左边=! +巾(广的)=(+Dn!m (n -m+ 1)=右边，故A正确;(n+1)n!(n +1) !(n-m+ 1) ! (n -m+1),<，一 j( n 1) !n!(r 1) ! (n r) !n!r r! (n -r)=左边，故B正确;选项c,右边=cri+cv=cM左左边，故c错误;选 项 D , 右 边m+ 1n!n -m(m+l) ! (n -m- 1) !(m+1) n!(m+1) m! (n-m) (nm- 1) ! mn!(n -m)=左边，故D正确.故选ABD.思维启迪求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径:(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求, (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求, (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数,再考虑其他元素.再考虑其他位置.再减去不符合要求的排列或组合数.古典概型计算一次试验中基本事件的总数n； (2)求事件A包含的基本事件的个数ni；(3)利用公式P(A)=T计算.1)(2021安徽马鞍山市高三三模)某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了 4个官盒，则他能 集齐3个不同动漫角色的概率是.4解析：§ 4个盲盒中，每个盲盒中放入的动漫角色有3种选择，共有34=81种不同的情况，当集齐3个不同动漫角色时，其中有一种动漫角色有2个，另外两种动漫角色各1个, 共有QGQ=36种，选项B,右边="什一)!-(_)=36 4因此所求概,率为P=tt=q-o 1 y(2)(2021江西景德镇一中高三月考)我省新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全 国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目：“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科 目；“2”由考生在政治、地理、化学、生物4门中选考2门科目.则甲、乙两名考生在6门选 考科目中恰有一门科目相同的概率为.解析：卷 甲、乙两名考生在6门选考科目选课共有CK3QC3=I44种方法，甲、乙两名考生在6门选考科目中恰有一门科目相同，分两种情况讨论：(1)甲、乙两名考生选考科目相同的一门科目在“物理或历史”，有CJC&(3=12种方 法；(2)甲、乙两名考生选考科目相同的一门科目在“政治、地理、化学、生物”，有A?C1 A?=48种方法.甲、乙两名考生在6门选考科目中恰有一门科目相同共有12+48=60种方法.所以甲、乙两名考生在6门选考科目中恰有一门科目相同的概率为署=卷.(3)(2020安徽省合肥市高三第二次质检)三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力， 吸引着中国众多的业余足球爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名 队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记 为第一次传球)，则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于.3解析：标 画出树状图表示出传球事件：O第1次传欧第二次传球期三次传以U四次传球/ 限第1次传欧第二次传球期三次传以U四次传球/ 限由树状图，知第四次传回甲的概率是P=6-8思维启迪!1(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包 含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.”二项式定理1 .定理：(a+b)n=CHan+Can-|bH-CSan_2b2+ +aan-rbr+-+abn(r=O, I, 2, , n).2 .二项展开式的通项TrH=aan-'br, r=0, 1, 2,n,其中 CJ；叫做二项式系数.3 .二项式系数的性质(I)对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即 Cg=a，Q=C，R=Ck,.(2)最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数6，%取得最大值；当n为奇数 时，中间的两项的二项式系数C, ）, C, ）n相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和 CR+CA+G+Q+CC9+CA+C+-=CA+G+a力 + 3=，22'1 L（2021山东烟台二中高三三模）在（x?+2x+y）5展开式中，x，y2的系数为（A.60 B.30C.15 D.12解析：A 由(x2+2x+y)5 = (x2+2x)+yF， 可得展开式通项 Tr+i=Cg (x2+2x)5r yr. 因为要求x5y2的系数，故 r=2,此时(x+2x)3=x3 (x+2)3, 其对应x3的系数为C?X2'=6.所以x5y2的系数为Cg X 6=60.故选A.2（多选）（2021山西大附中高三模拟）关于多项式（l+?-x）6的展开式，下列结论正确的 A是（）A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为2口C.存在常数项Dj?的系数为40解析：BCD 由题意令x=l可得，各项系数之和为26,故A错误；92多项式（l+： X）6的展开式各项系数的绝对值之和与多项式（l+x）6的展开式各项系 AA教之和相等，故令x=l,得各项系数的绝对值之和为2% 故B正确；22由（1+,X）6=l+（二x）6,易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；XX22由题中的多项式可知，若出现x3,可能的组合只有(；)"(一x)3和(：> (X)4,结合排列 组合的性质可得x-3的系数为QX13XGX2°X(-1)3+C?X1,XQX2iX(-1)4=40,故D 正确.故选BCD.(3)(2021河南高三模拟)已知(2x)202i=ao+ai(x+ l)+az(x+ 1)2HFa2O2i(x+ 1)2021,则|aol+|ai|+|a2HHa2O2i|=()A.242 B.lC.22021 D.O解析：A 令t=x+l,可得x=t1,则2(t- I )021=(31)2°21 = ao+a 11+a2t2 HF 3202112021,二项式(3t)2°2i 的展开式通项为 Tr+)=02)- 32O2,-r (-t)r,则 a,=C5o2i - 32021-r. (_I)r当1为奇数时，ar<0,当1为偶数时，ar>0,因此，|ao|+|ai|+|a21HF|a2O2il=aoaj+az2021 = (3+ 1)2(>2I=24()42.故选A.思维启迪(1)在应用通项公式时,要注意以下几点:它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定;是展开式中的第r+1项，而不是第I项；公式中，a, b的指数和为n且a, b不能随便颠倒位置；对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问 题的经典方法.