第10讲胡不归最值模型（原卷版）.docx
中考数学几何模型10:胡不归最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA-PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“B4+ZP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆.【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”， 虽然从他此刻位置A到家5之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小 伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？（“胡”同“何”）/B砂石地/而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家?驿道达标检测1 .如图，在平面直角坐标系中，标为.A0px2 .如图，四边形ABCD是菱形,AM + -BM的最小值为2BC3 .如图，在平面直角坐标系中，0),其对称轴与轴交于点D点点P为x轴上的一个动点，当AP+OP最小时，点P的坐AB=4,且NABO60。，点M为对角线BD (不含点B)上的一动点，则 二次函数 >=办2+灰+。的图象经过点A ( - 1, 0) , B (0,-石)，C (2,领悟提升强化落实(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N,使得以4 B, M, N为顶点的四边形为 菱形，求点M的坐标；4 .【问题提出】如图，已知海岛A到海岸公路BD距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A 到酒店C,先乘船到登陆点。，船速为m再乘汽车，车速为船速的倍，点。选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若=2,则时间/=包_+坐，当。为定值时，问题转化为：在3c上确定一点使得包+ a 2aa孚的值最小.如图，过点。做射线CM,使得N8cM=30。.2a(1)过点。作。E_LCM,垂足为反 试说明：(2)请在图中画出所用时间最短的登陆点。.【问题解决】(3)请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题.(写出具体方案，如相关图形 呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等)【综合运用】(4)如图，抛物线=-1/+_1X+3与1轴分别交于A, 3两点，与y轴交于点C, E为 。8中点，设b为线段8c上一点(不含端点)，连接Ef 一动点尸从E出发，沿线段石厂以每秒1个单位 的速度运动到尸，再沿着线段尸C以每秒个单位的速度运动到。后停止.若点P在整个运动过程中用时 最少，请求出最少时间和此时点尸的坐标.图图5 .如图， A5c是等边二角形.(1)如图1, AHLBC于H,点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在。的下方作等边 三角形CPQ,连接8Q.求NCB。的度数；(2)如图2,若点。为ABC内任意一点，连接D4, DB, DC.证明：以D4, DB,。为边一定能组 成一个三角形；(3)在(1)的条件下，在尸点的移动过程中，设工=人。+2。，点。的运动路径长度为y,当x取最小 值时，写出x, y的关系，并说明理由.图1图26 .如图，已知抛物线丁=当（x+2） （x-4）（攵为常数，且%>0）与x轴从左至右依次交于4 8两点， 与y轴交于点C,经过点B的直线y=-返x+b与抛物线的另一交点为D.（1）若点。的横坐标为- 5,求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A, B, P为顶点的三角形与 ABC相似，求攵的值； （3）在（1）的条件下，设尸为线段3。上一点（不含端点），连接A凡一动点M从点A出发，沿线段A尸以每秒1个单位的速度运动到R再沿线段尸。以每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点尸 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？7 .已如二次函数y=-/+2+3的图象和x轴交于点A、B (点A在点3的左侧)，与y轴交于点C,(1)如图1, P是直线8c上方抛物线上一动点(不与8、C重合)过P作。工轴交直线于Q,求线 段PQ的最大值；(2)如图2,点G为线段0C上一动点，求3G+"|cG的最小值及此时点G的坐标； 5(3)如图3,在(2)的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM, MN,求4W+MN 的最小值.8 .如图，在中，ZACB=90°, ZB=30°, A8=4,点。、厂分别是边AB,上的动点，连接CQ,过点A作AEJ_C。交于点E,垂足为G,连接GR贝U的最小值是()A. V5-1 B. J5+1C.包D.包U±+l229 .抛物线y =-逅f述x +&与x轴交于点4 B (点A在点8的左边)，与y轴交于点C点P是直 63线AC上方抛物线上一点，轴于点R P/与线段AC交于点E；将线段0B沿轴左右平移，线段。8的对应线段是。归”当庄+，£的值最大时，求四边形P。归C周长的最小值，并求出对应的点。1 2的坐标.【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且V1VV2,4B为定点, 点C在直线上，确定点。的位置使王+好的值最小.匕 X【问题分析】 + =-(BC + -Ac,记攵="，即求BC+公。的最小值. 匕 乂 乂 I K J K【问题解决】H构造射线AD使得sinNZMAMb即 =k , CH=kAC.AC将问题转化为求3C+C”最小值，过3点作3HL4O交MN于点C,交AO于"点，此时5C+。”取到最小 值，即3C+01C最小.【模型总结】在求形如“出+在配的式子的最值问题中，关键是构造与b8相等的线段,将“+以直型问题转化为“+p。型.而这里的必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到的等线段.启迪思维探究重点典题探究例题L如图，"BC中，AB=AC=W, tanA=2, BEL4c于点区。是线段跖上的一个动点，j/'lj CD + BD 5的最小值是变式练习1 .如图，平行四边形A3CO中，ZDAB=6009 AB=6, BC=2,尸为边CQ上的一动点，则PB + tPZ）的最 2小值等于例题2.如图，AC是圆。的直径，AC=49弧84=120。，点。是弦A3上的一个动点，那么。+工8。的2最小值为（）C.D. 1+V3变式练习»2 .如图，ABC中，NA4C=30。且AB=AC, P是底边上的高A”上一点.若AP+5P+CP的最小值为2&, 贝I） BC=.例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中8C边在轴上，BC 边的高办在丫轴上.一只电子虫从4出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在y 轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为.变式练习»3 .如图，ABC在直角坐标系中，AB=AC, A (0, 2近)，C (1, 0),。为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A一。一C,点P在AO上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，C. （0,迎）3D. （0,返）4例题4.直线 >=q丫与抛物线>=（x-3） 2-4m+3交于A, 8两点（其中点A在点5的左侧），与抛物线 1-1的对称轴交于点C,抛物线的顶点为。（点。在点。的下方），设点5的横坐标为，（1）求点。的坐标及线段CQ的长（用含根的式子表示）；（2）直接用含，的式子表示相与，之间的关系式（不需写出，的取值范围）；（3）若CD=CB.求点8的坐标；在抛物线的对称轴上找一点R使BF+gcE的值最小，则满足5条件的点尸的坐标是.窗用图变式练习»4 .如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+l向下平移3个单位长度得到直线小 直线与x轴交于点C； 直线，2： y=x+2与x轴、y轴交于A、5两点，且与直线6交于点。.(1)填空：点A的坐标为，点5的坐标为；(2)直线/1的表达式为；(3)在直线/i上是否存在点£,使S“oe=2Szm8。？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，说明理由.(4)如图2,点P为线段4。上一点(不含端点)，连接一动点”从C出发，沿线段CP以每秒 1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒加个单位的速度运动到点。后停止，求点”在整个运 动过程中所用时间最少时点P的坐标.图1图2例题5.已知抛物线y=“ （x+3） （x- 1）（。加），与无轴从左至右依次相交于A、3两点，与y轴相交于 点G经过点A的直线 >=-心+。与抛物线的另一个交点为。.（1）若点。的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P,使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点尸的 坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段上的一点（不含端点），连接3区一动点。从点5出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒3反个单位的速度运动到点D后停3止，问当点后的坐标是多少时，点。在整个运动过程中所用时间最少？售用图福用图5 .如图，已知抛物线y= - xZ+bx+c.交工轴于点A (2, 0)、3 ( - 8, 0),交y轴于点C,过点A、B、C三点的。M与y轴的另一个交点为D.(1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；(2)设P为弧8C上任意一点(不与点' C重合)，连接AP交y轴于点M 请问：AP3N是否为定 值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)延长线段3。交抛物线于点E,设点方是线段8E上的任意一点(不含端点)，连接Ab.动点。 从点4出发，沿线段Ab以每秒1个单位的速度运动到点R再沿线段只？以每秒加个单位的速度运动 到点8后停止，问当点歹的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
