一函数极限连续知识分享.doc

Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一函数。极限。连续-一.填空题1设,则a=_.解.可得=,所以a=2.2.=_.解. <<所以 <<,(n®¥),(n®¥)所以 =3.已知函数   ,则ff(x)_.解.ff(x)=1.4.=_.解.       =5.=_.解.6.已知(¹0¹¥),则A=_,k=_.解.所以 k1=1990,  k=1991; 二.单项选择题1.设f(x)和j(x)在(¥,+¥)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)¹0,j(x)有间断点,则(a)jf(x)必有间断点(b)j(x)2必有间断点(c)fj(x)必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例    , f(x)=1,则jf(x)=1(b)反例    ,j(x)2=1(c)反例    , f(x)=1,则fj(x)=1(d)反设 g(x)=在(¥,+¥)内连续,则j(x)=g(x)f(x)在(¥,+¥)内连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数  (b)无界函数  (c)周期函数  (d)单调函数解.(b)是答案.3.极限的值是(a)0    (b)1   (c)2   (d)不存在解.=,所以(b)为答案.4.设,则a的值为(a)1   (b)2   (c)    (d)均不对解.8=    =,  ,所以(c)为答案.5.设,则a,b的数值为(a)a=1,b=   (b)a=5,b=   (c)a=5,b=   (d)均不对解.(c)为答案.6.设,则当x®0时(a)f(x)是x的等价无穷小       (b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小       (d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.7.设,则a的值为(a)1   (b)1   (c)2   (d)3解.,1+a=0,a=1,所以(a)为答案.8.设,则必有(a)b=4d   (b)b=4d   (c)a=4c   (d)a=4c解.2=,所以a=4c,所以(d)为答案.1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解.   =   =.2.求下列极限(1)解.当x®1时,.按照等价无穷小代换   (2)解.方法1：=    =    =    =    =    =方法2：    =    =    =    =    =3.求下列极限(1)解.  (2)解.    (3),其中a>0,b>0解.         =4.求下列函数的间断点并判别类型(1)解., 所以x=0为第一类间断点.(2)解.  显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=1为第一类间断点.(3)   解.f(+0)=sin1,f(0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;  不存在.所以x=1为第二类间断点;  不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;  ,(k=1,2,)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求a,b.解. x=0是f(x)的可去间断点,要求   存在.所以   .所以   0=   =   所以a=1.  =上式极限存在,必须.6.设,b¹0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以   =. 所以.7.讨论函数  在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在a,b上连续,且a<x1<x2<<xn<b,ci(i=1,2,3,n)为任意正数,则在(a,b)内至少存在一个x,使 .证明:令M=,m=.不妨假定所以 m££M所以存在x(a<x1£x£xn<b),使得9.设f(x)在a,b上连续,且f(a)<a,f(b)>b,试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:假设F(x)=f(x)x,则F(a)=f(a)a<0,F(b)=f(b)b>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.10.设f(x)在0,1上连续,且0£f(x)£1,试证在0,1内至少存在一个x,使f(x)=x.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在0,1内至少存在一个x,使f(x)=x.11.设f(x),g(x)在a,b上连续,且f(a)<g(a),f(b)>g(b),试证在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=g(x).证明:假设F(x)=f(x)g(x),则F(a)=f(a)g(a)<0,F(b)=f(b)g(b)>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个x,使f(x)=x.12.证明方程x53x2=0在(1,2)内至少有一个实根.证明:令F(x)=x53x2,则F(1)=4<0,F(2)=24>0所以 在(1,2)内至少有一个x,满足F(x)=0.13.设f(x)在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.解.所以   .f(x)在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=3.因为   ,所以,所以       =由,将f(x)泰勒展开,得   ,所以,于是.(本题为2005年教材中的习题,2006年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题)-