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概率论与数理统计习题及答案习题一1 .略.见教材习题参考答案.2 .设4 B, C为三个事件，试用A, B, C的运算关系式表示下列事件:(1) A发生，B, C都不发生；(2) A与8发生，。不发生；(3) A, B,。都发生；(4) A, B,。至少有一个发生；(5) A, B,。都不发生；(6) A, B,。不都发生；(7) A, B, C至多有2个发生；(8) A, B, C至少有2个发生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABCAUBUC=ABCU ABC UABC U ABCAB CUABC UABC=ABC(4) ABC = AJBJC(6) ABCABCAB CUABC U ABCUABC U ABC U ABC = ABC = A U B U C(7) ABUBCCA=ABC UAfiCU ABCUABC.略.见教材习题参考答案 4,设 A, 3 为随机事件，且 P (A) =0.7,P(A-3)=03 求 P ( A3 ).【解】P CAB) =l-P CAB) =1-P(A)-P(A-B)= l-0.7-0.3=0.65 .设4 5是两事件,且尸(A) =0.6,尸(5)=0.7,求:(1)在什么条件下P (AB)取到最大值？(2)在什么条件下P (/夕)取到最小值？【解】(1)当时，P (AB)取到最大值为06(2)当AU3=0时，P (AB)取到最小值为036,设 4 B, C 为三事件，且尸(A) =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且尸(A5) =P QBC) =0, P (AC) =1/12,求A, B, C至少有一事件发生的概率.【解】 P (AUBUC) =P(A)+P(3)+P(。尸(AB)尸(AO+尸(A3。p2 =3!(/?-3)!5 - D!，几3（3）P：=( 1)!n1 ,=一；P2n3!( 2)!n,n>3.将线段0,0任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】设这三段长分别为光山/T-y.则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,Q<a-x-y<a所构成的图形，有利事件集为由x+y> a-x-y x + (a-x-y) > y y + (a-x-y)>x构成的图形，即0<x< 2Q< y < 2a< x+ y<a如图阴影部分所示，故所求概率为p=;.38 .某人有把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）. 证明试开攵次（612）才能把门打开的概率与攵无关.【证】39 .把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出 一个，试求它有i面涂有颜色的概率尸（AD （i=0,2,3）.【解】设A尸小立方体有i面涂有颜色，:0,23在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的 小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂 色的，这样的小立方体共有12X8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小 立方体是一面涂色的，共有8义8X6=384个淇余1000- （8+96+384） =512个内部的 小立方体是无色的，故所求概率为<12384p（ A）=0.512, P（A） = -= 0.384,“10001000P（A） = 0.096, P（A4） = - = 0.008.100041000.对任意的随机事件A, B, C,试证P （AB） +P （AC） -P （BC） WP（A）.【证】P(A) > PA(BJC) = P(ABUAC)=P(AB) + P( AC) P(ABC)>P(AB) + P(AC)-P(BC)40 .将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设4 = 杯中球的最大个数为将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球，故p(4)_C；3!一丁而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故G=J_43 16因此因此3 19916916p(4)= i-p(A)-24) = 1-京=/ o lo loP(4) =41 .将一枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数, 3二正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数, A, B,。两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P (A) =P QB).所以尸二丁由2重贝努里试验中正面出现次的概率为P(C)=("(."故尸=;口一片5.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数, 8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P (A) =P (B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等,由P (A) +P (B) =1得P (A) =P (B) =0.5(2)当为偶数时，由上题知42 .设甲掷均匀硬币+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正二甲掷出的正面次数，甲反二甲掷出的反面次数.乙正二乙掷出的正面次数，乙反二乙掷出的反面次数.显然有(甲正乙正)二(甲正W乙正)=(+1甲反W 一乙反)=（甲反21+乙反）=（甲反乙反） 由对称性知P （甲正乙正）=p （甲反乙反）因此P（甲正乙正）=一.证明“确定的原则”(Surething)：若 P (AC) 2P(B|C),P(A|C)2P(3|。),则尸(A) ，P(5).【证】由P (A|C) NP(B|O,得尸(AC),P(BC)P(C) P(C)即有P(AC) > P(BC)同理由P(AC)>P(BC得P(AC) > P(BC),P(A) = P(AC) + P(AC) > P(BC) + P(BC) = P(B)43 .一列火车共有n节车厢，有-左）个旅客上火车并随意地选择车厢,求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率.【解】 设A尸第i节车厢是空的, （i=l,，则44)= =(1与 nn2 p(aA)=(iy n- ip（44=（i- y其中人2,，加T是1，2,，中的任一 1个. 显然节车厢全空的概率是零，于是11a=z p（a）=a）= c；（1 一）&日nn2s?= Z mAXd/I<z< j<n几 %= z4丁（1-口）火S” =。p（jAi）= s-s2 + s3-.+（-iy+isn=c； (IL) J c： (I+ +(_ 1) c：T(1-1/ nnn故所求概率为n19m _ 1i - p( u a)=i - c；(i+c；(i )，- +(_ i 严 c：；-1(i »/=innn48 .设随机试验中，某一事件A出现的概率为£ >0.试证明：不论£ >0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为L【证】在前次试验中，A至少出现一次的概率为1 -1(2 00)49 .袋中装有机只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只, 将它投掷厂次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=投掷硬币r次都得到国徽3=这只硬币为正品m -/7由题知P(B) =, P(B)=m+n m+n1 -P(A|B) = ,P(A|B) = 1则由贝叶斯公式知P(B|A)=P(B)P(川 B)P(A) P(B)P(A| B) + P(B)P(A| B)m 1机 + 2m + 2r n- Hm + n 2' m + nm 1 n.巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有一根的概率又 有多少？【解】以8、&记火柴取自不同两盒的事件，则有P(与)= P(62)=g. (1)发现一盒已空, 另一盒恰剩根，说明已取了 2n-r次,设次取自Bi盒(已空)，-r次取自治盒, 第2-什1次拿起8,发现已空。把取2-次火柴视作加-重贝努里试验，则所求 概率为式中2反映8与&盒的对称性(即也可以是星盒先取空).(2)前2-r-1次取火柴，有-1次取自囱盒，一次取自&盒，第272f次取自8 盒，故概率为P2= 2cLT (g)"T (Ji !(；产-150 .求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q + PY = C% + Cpqn- + Cl / 2 + + c：p%。= i(q - P)n= Cp%" + C；-尸+ Cjp2广2 _. +(-i)"C：pZ°以上两式相减得所求概率为Pi=Cpqi+C：p3q3+ =P)"=|i-(i-2pr若要求在重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得2=；口 + (1-24.51 .设A, B是任意两个随机事件，求产 ( A+B) (A+8) ( A + B ) (A+豆)的值.【解】因为(AU3) n ( A U B ) =AB U AB(A UB) n (AU 却=ABU Ag所求(N + 3)( A + B)(A + B)(A + B)二 (A5UM)n(A3 +而)=0故所求值为0.52 .设两两相互独立的三事件，A, 3和。满足条件：ABC=,P(A)=P(B)=P(Q< 1/2,且尸(AUBUC) =9/16,求尸(A).【解】由 P(AUB U。) = P(A) + P(B) + P(C)- P(AB)- P(AC) - P(BC) + P(ABC)09= 3P(A)-3P(A)2=-161311故 P(A) = 或2,按题设 P (A) < ,故 P (A)二一. 4 42454 .设两个相互独立的事件A和3都不发生的概率为1/9, A发生3不发生的概率与3发生A 不发生的概率相等，求尸(A).【解】P(AB) = P(AJB) = 1-P(AJB)=-9P(嘉)=P(AB)故P( A) P(AB) = P(B)_ P(AB)P( A) = P(3)由A方的独立性，及、式有1 = 1-P(A)-P(B) + P(A)P(B)= 1-2P(A) + P(A)2 =U-PG<故l P（A） = ±g24故P（A） =或 P（A） = （舍去）即 P （A）=-.3.随机地向半圆。勺v hax £ （。为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于冗/4的概率为多少?【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为,兀房.阴影部分面积为2兀212ci H a42故所求概率为兀212Cl HCL Tia 211=I-271.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.8二另一件也是不合格品P(B|A) =P(AB)P 1 C；C；。【解】设4=两件中至少有一件是不合格品,.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率用【解】设A尸报名表是取自第i区的考生，户123.玛=第j次取出的是女生表，尸12则尸（a）=:，i=i,2,3375尸（即 4）=p（4I4）=P（4I4）=JLJL J4 D31375(1)i(耳)=ZP(与=(+ + )q = P(B 1 为 2)=q = P(B 1 为 2)=p(bB)P)29 90i=D 1U JL J ND_3_而 p(瓦)=p(瓦 ia)p(a)i=l1 78 20x 61(11)3 10 15 25903_4月鸟)=2夕3&14)。(4)i=l2 - 9 - o 4 2 2 5次814X 215 + 7 - 9X3 o11- 3 -解：因为所以_2p(4瓦)_ 9 _ 20P(§2)®一胡9058.设A, B为随机事件,且P(B)>0,P(A|3)=l,试比较尸(4)3)与尸(A)的大小.(20XX研考)P(A U 与)=P( A) + P(B)- P(AB)P(AB) = P(B)尸(A 忸)=P(B)P( A U 5) = P(A) + P(B)- P(B) = P(A).11113二1二4 4 3 12 4135213527 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？【解】.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率; (3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设A尸五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个，故P (Ai) (-) 5(亦可用独立性求解，下同)757(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故P(4)(3)设4=五个人的生日不都在星期日P(4)=l-P(Ai>l-(-)578 .略.见教材习题参考答案.9 .一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出件(n<N) ,试求其中恰有小件(m WM)正品(记为A)的概率.如果：(1) 件是同时取出的；(2) 件是无放回逐件取出的；(3) 件是有放回逐件取出的.【解】P(A)=CC湍/,(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算,样本点总数有P3种，次抽取中有m 次为正品的组合数为C；种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 品中取机件的排列数有PC种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为Pf4种, 故p(A)二 JUmUn-m由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成加一？ P (A)= M可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M种， 次抽取中有加次为正品的组合数为C：种，对于固定的一种正、次品的抽取次序,2次取得正品，都有M种取法，共有M"种取法，-加次取得次品，每次都有N-M种 取法，共有（NM） 种取法，故尸(A) = C；MnN-My,n / Nn此题也可用贝努里概型，共做了 重贝努里试验，每次取得正品的概率为七，则取得N机件正品的概率为P二C：P二C： M1N)10 .略.见教材习题参考答案.11 .50只钾钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只钾钉.若将3只强度太弱的怫钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少？【解】设4=发生一个部件强度太弱0（A）熠/ 看12 . 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率.【解】设恰有i个白球 （i=2,3）,显然4与A3互斥.p（4）=18-35C3p(A)= =435故p（4U4）= p（4）+ p（4）=不.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A二第i批种子中的一粒发芽,（0,2）P(A&) =尸(A)P(A2)= 0.7x0.8 = 0.56(1) P(A U A) = 0.7 + 0.8 - 0.7 x 0.8 = 0.94 1 4,P(4录 UAA) = 0.8x03+0.2X0.7 = 0.3813 .掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】%)(权；214 .甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及06 每人各投了 3次，求二人进球 数相等的概率.【解】设A尸甲进i球, i=0,l,2,3B=乙进i球=0,l,2,3,则P(U W (0.3)3(0.4)3 + C；0.7 x (0.3)2C；0.6x (0.4)2 +z=0C；(0.7)2 X0.3C；(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.32076. 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】C；cccc = i3C：。2115 .某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: （1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设4=下雨, 8=下雪.(1)P(BA) =P(AB)P0.105= 0.2(2) p(AJB) = P(A) + P(B)- P(AB) = 03 + 0.5-0.1= 0.7.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）.【解】设4=其中一个为女孩, 3二至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故P(用 A)=P(用 A)=P(AB)P(A)或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.a 同 a）419 .已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设4=此人是男人, 8二此人是色盲,则由贝叶斯公式P(AB) =P(AB) =P(AB)P(B)P(A)P(B|A)p(a)p(5|a)+ p(a)p(b|a)_20- 0.5 x 0.05 + 0.5 x 0.0025 - 21.两人约定上午9 ： 0010 ： 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.(b)题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则04j<60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|a)，|>30. 如图阴影部分所示.302 _ 1607-420 .从(0, 1)中随机地取两个数，求:(1)两个数之和小于9的概率；5(2)两个数之积小于的概率.4【解】设两数为xj,则0气产1./、6x+y v -.£44口一卡总A1 1 3=I In 24 223,设 P ( A ) =0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5,求 P (8 I AU 8 )你到A®就需K*霁)旃 _1.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比 赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的 概率.【解】设A尸第一次取出的3个球中有i个新球，片0,123由二第二次取出的3球均为新 球由全概率公式，有3p（8）=zp（3|4）p（a）333/=03030315。15=0.08924 .按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的,则久=被调查学生是不努力学习的由题意知P（A） =0.8, P （ A ） =02 又设3=被调查学生考试及格.由题意知P （B|A） =0.9, PP(AB)p（a）p（b|a）(1) P(AB) =（3|A） =0.9,故由贝叶斯公式知P(B) P(A)P(BA) + P(A)P(B A)=丝必=J = 0 027020.8 x 0.9 +0.2 x 0.1 37P(AB)P(A)P(BA) P(A5) =即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%4-=0.3077P( B)P( A) P(BA) + P(A) P(BA)0.8x0.1+0.2x0.9 13即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.25 .将两信息分别编码为A和5传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,而 3被误收作A的概率为0.01.信息A与8传递的频繁程度为2 ： 1 .若接收站收到的信息是 A,试问原发信息是A的概率是多少？则=原发信息是5则=收到信息是5【解】设4=原发信息是A, C=收到信息是A， 由贝叶斯公式，得P(A|C) =P(A|C) =P(A)P(C|A)p(a)p(c|a)+ p(a)p(c|a)2/3x0.982/3x0.98 + 1/3x0.01=0.9949227 .在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A尸箱中原有i个白球 （i=0,2）,由题设条件知P（4）=1"二0,2.又设展抽3出一球为白球.由贝叶斯公式知P（B）£p（8|4）p（4）/=02/3X1/3-l/3xl/3 + 2/3xl/3 + lxl/3 -328 .某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 为0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确 是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品, 8=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(AB) =P(AB)P®P(A)P 网 A)P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)=0.99829 .某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上 述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人 占20%, “一般的”占50%, “冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故， 则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设4=该客户是“谨慎的”, 3=该客户是“一般的” ,。=该客户是“冒失的”"。=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P(AD) =P(AD)P(D)P(A)P(O| A)P(A)P | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C)0.2 x 0.05 + 0.5 x 0.15 + 0.3 x 0.3=0.05730 .加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A尸第i道工序出次品 （i=l,2,3,4）.4P（U4）= 1 P（A444）Z=1=1-p（A）p（4）p（A）p（A）=1-0.98 x0.97x 0.95 x 0.97 = 0.12431 .设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.l-(0.8f >0.9即为(0.8) W0.1故G11至少必须进行11次独立射击.32 .证明：若P (A I B) =P(A I B),贝ijA, B相互独立.【证】 P(A | 3) = P(A | B)即"A0 = 0(趣)P(B) P(B)亦即P(AB)P(B) = P(AB)P(B)P(AB)- P(B) = P(A) - P(AB)P(B)因此P(AB) = P(A)P(B)故A与8相互独立.33 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为,，求将此密码破译出5 3 4的概率.【解】 设A尸第i人能破译 (i=l,2,3),则p(M)=1-0(4AA)=1尸区)尸区)尸(无)4 2 3=1义x= 0.65 3 4.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是040.5,07若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人 都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4二飞机被击落, 5尸恰有i人击中飞机, ：0/23由全概率公式，得P(A) = tp(A|5,)P(g)i=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+04 X 0.5 X 0.7=0.458.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用, 且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】（1） p1 =ZC：o（O.35）A'（O.65）g =0.5138k=0102 =£C：o（O.25）（O.75）"t =0.2241k=4一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:（1）A二“某指定的一层有两位乘客离开”；B= "没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（2） C= "恰有两位乘客在同一层离开”；D= "至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.C294P（A） = ,也可由6重贝努里模型：106（1） 6个人在十层中任意六层离开，故P®=臭106（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C；种离开方式,其余4人中不能再有两人同时离开的情 况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C；C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有P；种可能结果，故p（c）=Co-（C；C；C； + C；+P；） /1。6（4） D=瓦故瑶10637.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】（1） Pi=一n-1