23.二次曲线系及应用.docx
23.二次曲线系及应用若两条直线/, :y M)=%(x x0)(i = l,2)与二次曲线r: ax2 +by2 +cx + dy + e = 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k + k = 0.结论1抛物线V=2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、 两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线祖/+4尸=1(加2。0,相。0的内接四边形同时内接于圆的充要条件是 该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.定理1若两条二次曲线办2 +b2 +CX+.+ e = 0(。人)，4父+/y2 +dx + d+ d = 0有四 个交点，则这四个交点共圆.证明：过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(44不同时为0)：A(ax2 + by2 + ex+ dy + e + /Li(ax1 + bry2 + crx + d + d) = 0式左边的展开式中不含孙的项，选 =1时，再令式左边的展开式中含项的系数相等，得2 =%二2,此时曲线即 b-ax2 + y2 + crx + dfy + ef = 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个 交点都在曲线上，所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理2若两条直线，. ： qx + b,y+ G = 0(，= 1,2)与二次曲线： cue2 +by2 +cx + dy + e = 0(。w b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是。也二0证明由A，/2组成的曲线即axx + q )(6Z2x + b2y + c2) = 0所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(4,以不同时为0)：A(ax2 +by2 + ex+ dy + e) + jLi(ax + a2x + b2y + c2) = 0必要性.若四个交点共圆，则存在乙使方程表示圆，所以式左边的展开式中含项的 系数4（。也+2）=。.而 w。（否则表示曲线，不表示圆），所以。也+2=。.充分性,当。也+生=。时，式左边的展开式中不含孙的项，选4二1时，再令式左边的展开式中含项的系数相等，即几0 +4氏二丸人+匕自，得2 =丝二也. b-a此时曲线即x2 + y2 + crx + dry + er = O的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹,而题中的四个 交点都在曲线上，所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论1若两条直线与二次曲线r：a/+乃2+5 +力+ 6 = 0（。力有四个交点，则这四 个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相 反数.证明 设两条直线为4.：a/ + 2y + q=O（i = l,2）,由定理2得，四个交点共圆的充要条件是也+。2bl =0当4 /2即Q也二%时，得四个交点共圆的充要条件即。色=a2bl = 0也即 %=0或 4 = b? = 0.当4与12不平行即Q也。24时，由。也+。2bl =0得。仇。,24工0 .所以四个交点共圆的充要条件即-幺+ -& =0也即直线4的斜率均存在且均不为。且互为相反 、仄）I 2）数.由此可得欲证成立.22例1（2016年高考四川卷文科第20题）已知椭圆£：会+玄句人。）的一个焦点与短/1 轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P 区在椭圆£上.I 2J求椭圆£的方程；（2）设不过原点。且斜率为'的直线/与椭圆£交于不同的两点A , B,线段A3的中点为 2M ,直线OM与椭圆£交于C, D,证明：|他4|"3| = |同。|“0.x2 9解 （过程略）椭圆E的方程是一+ V=1.4(2)设A(否必)，8(工2，%)，线段AB的中点为知(玉)，%). 22可得号-+%2=1,三_+%2=1,把它们相减后分解因式(即点差法)，再得g+%2 )(%) = _( + )(), = %= *+/ =人4y % 为 2-2 -4(%+%) -4%七。二比 二 一!所以(w + %8=0，由推论1得A民C。四点共圆.X。 2再由相交弦定理，立得4HMe|二眼°|M。.例2.(2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A、8为双曲线/上=4上的两 2点，点ML2)为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、。两点.确定4的取值范围；试判断A、B、C、。四点是否共圆？并说明理由.解析：(1)用点差法可求得直线A8的方程是y = % + l,由直线A8与双曲线221 = 4交于不同的两点，可得X>1且/IwO.得直线CO的方程是y = %+3,由直线C。与双曲线炉看_ = ；1交于不同的两点，可得X > 9且4 w 0 .所以九的取值范围是(-1,0) u (0,+8).在的解答中已+分。=0 ,所以由推论1立得A氏。,。四点共圆.例3 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题)已知抛物线C： y2=2px(p>Q)的焦点为R,直线y = 4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|。耳=力尸(1)求。的方程；过产的直线/与C相交于43两点，若A5的垂直平分线/'与C相交于M,N两点，且民N四点在同一圆上，求/的方程.(答案：(l)y2 =4x； (2)xy_ = 0或x+y_ = 0.)
