二轮难题复习 复数压轴解答题（学生版）.docx
二轮难题复习复数压轴解答题1.复数的相关概念及运算法则(1)复数z=+历(,b£R)的分类z是实数0。=0；z是虚数台/?70；z是纯虚数0=0且 旦0.共珑复数复数z=+bi(a, Z?£R)的共甄复数z =abi.(3)复数的模复数z=+/?i(。，/?£R)的模忆尸/序+4(4)复数相等的充要条件cibi- ca1=c 且 Z?=d(。， b, c, deR). 特别地，abi=00=0 JBL Z?=0(6z, Z?eR).(5)复数的运算法则加减法：(。+bi)±(c+di) = (。土c) + (b土d)i ； 乘法：(a+/?i)(c+*)=(qc她+(d+bc)i; cic hd be-cid 除法：3+0iH(c+di)=m*+晋*i(c+diW0).I CzvL I(其中m b, c, d£R)2.复数的几个常见结论 (l)(l±i)2=±2i.1 +i1 -i.(2)言=i，币=f(3)i4,?=l, i4,l+1 = i, i4,?+2=-l, i4z?+3=-i, i4,?+i4n+1 + i4,z+2 +0(/iGZ).3 .复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z=+bi都可以表示成“cose+isin。)的形式，其中，是复数Z的模；夕是以x轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做 复数z=a+历的辐角，我们规定在03。2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值，通常 记作arg z.r(cos 夕+isin。)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.a+bi叫 做复数的代数表示式，简称代数形式.特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2 n的整数倍. 复数。的辐角是任意的.(3)在0。2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值，通常记作arg z,且0Wargz2兀 (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.4 .复数的代数形式化为三角形式的步骤先求复数的模.（2）决定辐角所在的象限.（3）根据象限求出辐角.求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于 运算，但三角形式辐角不一定取主值.5 .复数三角形式的乘、除运算若复数 zi = n（cos a+ isin &）,Z2=r2（cos 62+isin 毛）,且 则（l）ziZ2=n（cos U+isin a）2（cos H+isin Oi）=r2cos（仇 + 02）+isin（4 + 仇）.zi （cos 仇+ isin a）（2%2 r2（cos 仇+isin %）r= cos（4一02）+ isin（仇一仇）.即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加.（2）除法法则：模相除，辐角相减.（3）复数的n次基，等于模的n次幕，辐角为n倍.6 .复数三角形式乘、除运算的几何意义>>>两个复数Z1, Z2相乘时，先分别画出与Z1, Z2对应的向量0Z1，0Z2，然后把向量0Z绕点。按逆时针方向旋转角。2（如果出<3就要把0Z1绕点0按顺时针方向旋转角|仇|）,再把它的模变为原来的2倍，得到向量。乙0Z表示的复数就是积ZIZ2.7.平面向量的概念8.平面向量基本定理名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量0单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a=b说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段 来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长 度相等且方向 致的有向线段表示同 个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量ab规定：零向里与任何向里:都平仃0/a说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此， 平行向量也叫有线向量如果白，改是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有 且只有一对实数为，人2,使=小为+22改.我们把不共线的向量。” C2叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底.9 .向量a与b的夹角已知两个非零向量°和小作方!=，OB=b.则/4。3=仇0。忘180。)叫做向量与 力的夹角.当8=0。时，。与方圆包；当。=180。时，。与力反向.如果。与的夹角是 90°,我们说q与垂直，记作10 .平面向量的数量积若m5为非零向量，夹角为仇贝!J a山=|。晌cos夕(2)设。=(为，y), b=g >2),则。必=xX2+yiy2.(3)力的几何意义：数量积a b等于a的长度与力在q的方向上的投影步|cos 0的乘 积.11 .两个非零向量平行、垂直的充要条件若。=8, yi), b = g 丁2)，则(1 ) ba=25(A / 0)xi V2X2Vi=0.(2)。± b 妗 a,b=OOX1X2+yiy2=0.12 .利用数量积求长度若 a = (x, y),则=V=d/+y2.(2)若 AQj, yi), Bg 丫2)，则I ABI ='(X2-xi)2+CV2yi)2.13 .利用数量积求夹角设。,为非零向量,若=(羽，6),5=(X2，丁2)，。为一与方的夹角,用I八ab 1因+)'1)'2人cos。一也厂后大店后.14 .三角形“四心”向量形式的充要条件设。为ABC所在平面上一点，角A, B,。所对的边长分别为a, b, c,则。为LABC的外心物治| = |而| = |女|=无片.zsin /10为45C的重心台方1 + 由+次=0.。为A3C的垂心台方!痂=加无=无次.。为ABC的内心0451+/7加+0女=0.例题1.设复数z =4+/,%、么£&1为虚数单位，/£底.f Cln, - bnz若4=3 + 4i,且 向 j,试确定虚数夕的值，使得Z,用二gz，并计算襦也7+1 =4+22,0,°的值;Re z + Imz若数列%是各项均为正数的等比数列，ag尬,2>0, Rez+i=一力： 求22022的值；若z = z"+二，且zw0,z2w-l,且区022区2,求证：|zj<2.
