第53讲 圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题（讲）（教师版）.docx
第53讲锥曲线的综合应用最值.范围问题思维导图利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式题型1:构建目标不等式解最值或范围问题（ 利用已知条件中的几何关系构建目标不等式利用点在曲线内（外）的充要条件或判别式构建目标不等式题型2:构建函数模型解最值或范围问题知识梳理1 .几何转化代数法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质 来解决.2 .函数取值法当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立口标函数，再求这个函数的最值（或值域）、常 用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的 取值范围.题型归纳题型1构建目标不等式解最值或范围问题【例1-1】（2020山东济宁一模）已知椭圆C： 5+£=1（心b>0）的离心率为坐，且椭圆C过点停，啜（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆。的右焦点的直线/与椭圆。分别相交于A, B两点,且与圆。：/+尸=2相交于E,尸两 点，求科班出斤的取值范围.【解】由题意得？=坐所以"=款， LT JJ?2所以椭圆的方程为F+3= 1,将点卷，代入方程得尻=2,即2=3,W y2所以椭圆°的标准方程为（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为（1,0）,设直线PB的斜率为攵P%k（）F kpF j 7_ j j _）'（） QokpA= 1 = _kQFkPB= -kQFkQB= -xo+4xo_5kpB2yc（x（）4-4）（x（）5）（x（）+4）（x（）5）99行（"一 25）芽（xo+5）（x（）+4）（x（）5）x（）+4点P不同于A, B两点且直线Qb的斜率存在,/. - 5<xo<5 且x（）W4,在（一5, 4）和（一4,5）上都是减函数,故督的取值范围是（一8, 0） U（J, + 8）【名师指导】求圆锥曲线中范围、最值的2种方法代数法几何法|若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来求解 若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再 求这个函数的最值、范围.常用的方法有基本不等式法、导数法、判别式法等若直线/的斜率不存在，直线/的方程为x=l,贝1! A 1,贝1! A 1,B(1,一明，石(1，1)，/1, 1)，16#3.所以|A5|=华，|EF|2=4, |AB|-|£F|2 =若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Z(xl), A(xi, yi), Bg 竺).联立可得(2+3d)f6&+3Q6=0,y=k(x-口1 6对 xi+x2=2+3Q，口1 6对 xi+x2=2+3Q，3Z?6 xi%2=2+3 於，所以 |A3| =/(1+)(%1X2)2 =(1+日(1+日2 x 3-61 4小(.+ 1) -4X2+32 = 2+3Q .I "I 因为圆心。(0,0)到直线/的距离d=q=,所以|石/千=4 2所以|石/千=4 2A 4(F+2) F+l，“? 4市(炉+1)4(9+2)所以|A5HEF|-=f+16/§伍+2) 16S标+22+3S=163一3因为标£0,+8),所以恒引田村2金因为标£0,+8),所以恒引田村2金,1综上，IA3H班2金,1?2【例1-2】设椭圆N+,= l(>3)的右焦点为人 右顶点为A.已知|。4|一|。日=1,其中。为原点，6为 L/C椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线/与椭圆交于点5(3不在x轴上)，垂直于/的直线与/交于点M,与y轴交于点H. 若BF上HF,且NMO4WNAM0,求直线/的斜率的取值范围.解由题意可知|OQ = c= ya2-3,又|。4| 一|OF|=1,所以44片3=1,解得。=2,所以椭圆的方程为£+看=1,离心率e=?=' cf 乙设加)，易知A(2,0),在M40 中，ZMOA ZMAOMAMO9即(xm2p+y务W4+y务，化简得x“Nl.设直线/的斜率为k(kWO), 则直线/的方程为y=k(x-2).设 B(xb,犯),联立消去y,整理得(43+3)1一16入+ 163- 12=0,整理得(43+3)1一16入+ 163- 12=0,解得x=2或X解得x=2或X8乒一64+3,由题意得xb=由题意得xb=8F 6-2k4F + 3'从而1=4F+3.由知F(l,0),设"(0,泡,则窃=(1, y”)，BF =则窃=(1, y”)，BF =(94F(4标+3,由BFLHF,得而后=0,由BFLHF,得而后=0,归2期也即4后+3+43+3一°'归2期也即4后+3+43+3一°'左"曰 94Zr解何'y=FT出的距离之和为4,设弦MN的垂直平分194。1所以直线的方程为j=-vx+ . K 1乙K尸(I)，20F+9由j _1 9-4Z：2消去y,得口=12停+i) rd十，由加21,得21，解得女W 乎或攵与乎，所以直线/的斜率的取值范围为(一8,- 乎押率+8)【例11-3】已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C,其上一点。到两个焦点J3离心率为4.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/与椭圆。交于不同的两点M, N,且线段MN恰被直线x=：平分，线的方程为y=kx-rm,求m的取值范围.解（1）由题意可设椭圆。的方程为由条件可得。=2, c=小，则/?=1.（2）法一：设弦MN的中点为P 故椭圆C的方程为1+f=l.yo ,加），Mm,孙），则由点M, N为椭圆C上的点，可知4品+）笳=4,4x8+y8=4,两式相减，得 4（XM XN）（Xm + xN）+ （），MyN）（>M+yN）=。,又点又点将 xm+xn=2 义1, _o 加 yN-1,加十处一2yo,-£代入上式得 yo仁一2州）在弦MV的垂直平分线上,所以3=一m,所以m=yo3=平,由点g, yo）在线段8夕上B'（XB； >/ ）, B（xb,犯）为直线x=；与椭圆的交点，如图所示）,所以y/ 勺0）%,即一审<yo小.“、）3a/33a/3 口 一所以j <m<且根WO.故机的取值范围为（一手,o）u（o,法二：设弦MN的中点、为2'yo ,m），N（xn,孙），则由点M, N为椭圆。上的点，可知44+y务=4,4忌+就=4,两式相减,得 4（坳一xn）（xm+xn） + （Vm抄）（加+处）=0,将 xm+%n=2X得 4（坳一xn）（xm+xn） + （Vm抄）（加+处）=0,将 xm+%n=2X1加一川-1, yw+yN2y。，_AM 入Nk'代入上式得加=-2k又点又点3，%）在弦MN的垂直平分线上,m,所以2=yo设直线/的方程为>+2左=疝+3）,即 x=ky2l9联立联立消去 x,得(4攵2+1)2 + 8攵(23+5)/+16攵4+82 3 = 0,由 />0,唔。)电即机的取值范围为【跟踪训练1-1】已知焦点在y轴上的椭圆石的中心是原点。，离心率等于半，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4小,直线/： >=丘+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A, 8两个点. (1)求椭圆E的方程；(2)若方=3同，求小的取值范围.22【解】根据已知设椭圆E的方程为，+方=1(泌>0),焦距为2g由已知得色=*, .c=a9 b2 = a2 c1.利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参 数的范围转化为已知参数的范围问题.由已知得色=*, .c=a9 b2 = a2 c1.利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参 数的范围转化为已知参数的范围问题.=r. a 224;以椭圆石的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4、心，：4yJa2+吩=2小a=44,.a=29 h=.二椭圆E的方程为x2+= 1.(2)根据已知得P(0, m),设 4(xi, Axi+/n), 3(及，区2+/),y=kx-m,99 消去y,底+产一4=0得/2+4)%2+2"2区+租24 = 0.由已知得 A=4/Trk14(Zr+4)(?124)>0,即 Z?m2+4>0,且 Xi+12 =且 Xi+12 = 2km3+4'm24 用及=再了由方=3尚，得汨= -3x2.3(汨+工2)2 + 4%逮2= 12 岔-12x9=0.12m2 L4(m24)耐讨+手+4 =°即 IT?女2 + 加2 2 4 = 0.当加2=时，m2Z:2+z7i2於一4 = 0不成立,V* 2.利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思想，招几何关系转化为代数 不等式，从而构建出目标不等式. m2+4>0,4nr 0,-(4m2)m2正二?一"+4>°,即,21 >。.解得 1<ah2<4.【跟踪训练1-2】已知直线小 以一y+l=O,直线氏x+5今+5=0,直线6与b的交点为M,点M 的轨迹为曲线C(1)当。变化时，求曲线。的方程；(2)已知点0(2,0),过点£( 2,0)的直线/与。交于A, B两点,求A8D面积的最大值.axy+1 =0,?【解】由, 消去小得曲线。的方程为w+y2=l(yW l,即点(0, 1)不在曲线。上).x+5y+5a=0 (1)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式.利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式的关系建立目标不等(2)设 A3,力),8(X2, yi)9 /： x=my2,x=my2,由" /+ 2 得(苏 + 5)丁2 4my1 =0,4/771则2=_+5j故A3。的面积 S=2|”一yil = 2 勺()，2+yi>-4y2yl_/ 6序44 小，(m2+5)2 m2+5m2+5'设 1=7席+1, 01, +0°),则5=第=喈W小，/+7当，=,即，=2,加=±/5时，ABZ)的面积取得最大值小.【名师指导】题型2构建函数模型解最值或范围问题【例2-1】在平面直角坐标系中0为坐标原点，圆。交x轴于点出,交y轴于点5，&似S，比为顶点，R, F2分别为左、右焦点的椭圆石恰好经过点（1,阴.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（一2,0）的直线/与椭圆£交于N两点，求面积的最大值. 72解 由已知可得，椭圆£的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为多+方=1（汕0）,焦距为2g则 b=c,/. a2=b1-c2=2b2,椭圆E的标准方程为券+$=L1又椭圆E过点（1,孝），今十1=1，解得2=1.?.二椭圆E的标准方程为与+y2=l.（2）由于点（一2,0）在椭圆E外，直线/的斜率存在.+/=1 12，由 zl>0,得 0<<i,_ - 8乒_ 8 好一2从而 x-rx2 +2斤， +2F，/. MN = qi+F|xiX2| = 21+修11 2-492J（1 + 2左2）2 .y = k（x + 2）由 y2消去y得，（1+2於）/+8正¥+8a22=0.点产2（1,0）到直线/的距离d3+4的面积 S-MM-d- 3忙（2 4左2） （1 + 2公）2令1+2於=力 则£ 1,2）,设直线/的斜率为,则直线/: y=«x+2）,设M（xi, y）, Ng 竺）.S= 3(r-l)(2-?)/2+3r2=3 /=q_+：T=32（鸿）2+上,1 34当7=不 即，=时，s有最大值，Smax =今?，此时 = ±./.当直线/的斜率为土小时，可使 F?MN的面积最大，其最大值为邛.【跟踪训练2-1】（2020山东高考预测卷）已知抛物线C 丁2=2x。0）的焦点为点M（q,2小）在抛物线。上.（1）若|MF| = 6,求抛物线的标准方程；（2）若直线x+y=Z与抛物线。交于4 8两点，点N的坐标为（1,0）,且满足原点O到直线 A3的距离不小于也，求p的取值范围.【解】（1）由题意及抛物线的定义得，。+§=6,又点M（a, 2小）在抛物线。上，所以20 = 2po,L+5=6,加=2,加=10,由 2解得一或2Q=2pa,ST1。一L所以抛物线的标准方程为J? = 4x或y2 = 20x.（2）法一：联立方程，x+y=r,得？消去力 整理得x2iy = 2px,设 A(xi, y),"),由根与系数的关系可得Xl+x2 = 2f+2p, XX2 = t1.因为NA工NB,所以（为一 1）。21）+2=0,又 y=/ XI, ” =，一12, 所以 2X1X2 (1+D(X1+12)+尸+1 =0,得2p=得2p=尸一 2f+lz+1由原点。到直线A8的距离不小于也,即2（舍去）或t2,厂，»2+1因为2p=+所以p，不即P的取值范围为1不法二：将直线x+y=E,抛物线C,点N均向左平移1个单位长度，得到直线x+l+y=/,抛物线产= 2p(x+ l)(p>0)与点 Nf (0,0).联立方程，得x+y=t, j2=2/?(x+1),消去 y,整理得 2(212+2p)x+(f1)2 2p=0,设直线 x+1+y=E 与抛物线)2=2p(x+1)交于点 A' (%, y), B' (X2, >2), 由根与系数的关系可得xxi = (t1)22p.消去x,整理得)a+2py2p/=0,由根与系数的关系可得yyi= -2pt.由已知得,xiX2+yij2=0,“9口 m/o 32?+ 1所以Q I)?2p2pf=0,整理行 2p=-.易得.三地，即fW2(舍去)或，22,Z2-2?+1因为 2p= 口 =/+144327+ 1在y4,所以函数了=在，£2, +8)上单调递增,所以即的取值范围为，+°°【跟踪训练2-2已知M为椭圆C：【跟踪训练2-2已知M为椭圆C：x125=1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为。,足 pB jMD.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A, 3两点分别为椭圆。的左、右顶点，尸为椭圆C的左焦点，直线P3与椭圆。交于点。，直 线QF, %的斜率分别为必小趋法求的取值范围.【解】设P(x, y), M(m, n)9依题意知设(犯0),且yWO.由尸。=|"MD,得(加一x, y)=,|(0,n),m=x93=歹文M(m, )为椭圆C:=1上的点,=1 ,即 f+y2 = 25,故动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25(y0).(2)依题意知4一5,0), Q5,0), F(4,0),设Q5),州)，丁线段45为圆E的直径，：.APrBP,4F 21+ 1=r+l+ry4,函数)=-n在 ze2, +8)上单调递增, < I X6
