专题04 充分条件与必要条件（讲）（解析版）.docx

<2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题04充分条件与必要条件（讲）本节知识点与题型快速预览充要条件的探求充要条件的探求典型例鹿与解题方法充要条件 的证明利用充分条 件和必要条 件确定参数 的取但他第充分条件与充要条件必要条件充要条件 的判断知识点课前预习与精讲精析充分条件与必要条件命题真假“若，则q”是真命题“若p,则夕''是假命题推出关系q条件关系p是q的充分条件 q是的必要条件不是q的不充分条件 q不是的不必要条件充要条件【典型例题】“不等式+在R上恒成立”的充要条件是()11A. rn > B. rn <C. m < 1D. m> 144【参考答案】A【解析】'不等式N - x+m>0在R上恒成立”，/.= ( - 1) 2 - 4?V0,解得/ 4又.？>%= 1 4?V0,所以?>权“不等式9x+?>0在R上恒成立”的充要条件，故选：A.【题型强化】方程分2 + 2x+1 = 0至少有一个负根的充要条件是A. ()<«<1 B. a<C. a<D. 0c或”()【参考答案】C【解析】。工0时,显然方程没有等于零的根.若方程有两异号实根，则4 <0;->0 a若方程有两个负的实根，则必有, 2 .八/ /I .<0/. 0< < 1.aA = 4 - 4r/ > 0若。=0时，可得x = -也适合题意.综上知，若方程至少有一个负实根，则。(1 .反之，若则方程至少有一个负的实根，因此，关于工的方程av2+2x+1 = 0至少有一负的实根的充要条件是a<.故参考答案为C【收官验收】已知两个关于工的一元二次方程如2-4工+ 4 = 0和/一46¥ + 412一4?一5 = 0,两方程的根 都是整数的充要条件为.【参考答案】m = l【解析】因为如2-4x + 4 = 0是元二次方程,所以件0.又另一方程为V 4,依+ 4m2 -4l5 = 0，且两方程都要有实根， A, =I6-16/«>0.5 1所以L 2:、八，解得机£ -7? 二 16"广 一4(4？ -4n?-5J> 0L 4 _因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数，tn5 一所以I 4/7? g Z ，所以?为4的约数.又mw 一二，1 ,所以6二一1或1.,L 44广-4w-5 e Z当7 = 1时，第个方程f+4x 4 = 0的根为非整数；而当机=1时,两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是加=1.【名师点睛】充要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系解答.重要考点六：充果条件的证明【典型例题】已知乂y都是非零实数，旦x>y,求证：的充要条件是>0. “ y【参考答案】见解析【解析】1 11 1y - y(1)必要性：由一<一,得<0,即-<o,x y x y 孙又由/>)',得y-xvO,所以孙>0.(2)充分性：由町>0及x>y,X y 11得 > ，即 一 < 一 .xy xy x y1<1综上所述一 y的充要条件是xy°【题型强化】已知。人工0,求证：。+ = 1的充要条件是+犷+出) /一。2=。.【参考答案】见解析【解析】(1)证明必要性：因为。+=1,所以。+一1 = 0.所以 "+" 2 2 =( + /?)(/ 一而 + 一一。力+ 2)= (tz+Z?-l)(t72 -ab+b1=0.(2)证明充分性：因为。3 + ' + ab a2 Z?2 =0,即(4 +-1)(。2 -4 + 2) = 0,又 abwU,所以。0且人。0.因为/一+Z?2 >0.所以。+人一 1=0,即。+人=1 .综上可得当"工°时,+人=1的充要条件是"+ + cib 一 一 = o【收官验收】求证：方程小”一2% + 3 = 0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<mv：.【参考答案】证明见解析.【解析】 证明：(1)先证充分性: 因为0 < m <,，2所以方程一 2x + 3 = 0的判别式/ = 4-4xmx3> 0,且两根积为一> 0, m所以方程小铲一 2% + 3 = 0有两个同号且不相等的实根；(2)再证必要性：若方程一 2x + 3 =。有两个同号且不相等的实根，设两根为/ = 4 - 12m > 0则有3= ?> 0，解得0 <血< : *1综合(1) (2)可知，方程巾/-2% +3 = 0有两个同号且不相等的实根的充要条件是° <血<5,命题得证.【名师点睛】(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立,证必要 性就是证原命题的逆命题成立.证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”,但千万要注意“谁”是“谁”的充分条 件，"谁''是"谁”的必要条件.尽管证明充要条件问题中,前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是 不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为g”时，在证充分性时应以q为“已知条件”是该步中要 证明的“结论”，即qap;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q是该步中证明的“结论"，即p=q.重要考点七：充要条件的探求【典型例题】下列各题中，哪些是，/的充要条件？(Dp：四边形是正方形q：四边形的对角线互相垂直且平分；p：两个三角形相似中 两个三角形三边成比例；(2) p:肛>0,q:x>0,y>0：(3) ：x = l是一元二次方程or2+bx + c = 0的一个根,4：a + + c = 0(w0).【参考答案】(2) (4)【解析】(1)P：四边形是正方形，中四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定 是正方形，也可能为菱形,所以乡力P，所以不是q的充要条件.（2） p：两个三角形相似中两个三角形三边成比例，因为“若，则是相似三角形的性质定理，“若/则p”是 相似三角形的判定定理,所以它们均为真命题，即=所以是，/的充要条件.（3） p： W>O,q：x>O.y >0、因为町>0时,x>O.y >0不一定成立也可能x<O,y <0,所以*4,所以不是4的充要条件.（4） p:x=是一元二次方程ax2+bx + c = 0的一个根,q： + + c = 0（ W0），因为“若，则q”与“若/则 均为真命题，即P O 9,所以是q的充要条件.所以（2） （4）中，是q的充要条件.【题型强化】指出下列各题中，是9的什么条件,并说明原因.（1）:数。能被6整除,。：数。能被3整除；（2） px> I,（7:x2 > 1 ；（3）:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.【参考答案】（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）既不充分也不必要条件.【解析】（1）若数。能被6整除，可设。=6% （A e Z），则。=3x24,数。能被3整除，反之,若数。能被3整除，如。=9,则。不能被6整除，即p = q,q#>p,因此，是4的充分不必要条件：（2）解不等式/>1,得xvl或1>1,二=夕且夕不.因此，是4的充分不必要条件；（3）若四边形的对角线相等，则该四边形不一定是平行四边形；反之，若四边形是平行四边形,则该四边形的对角线不一定相等.即P R4 M R P，因此，是的既不充分也不必要条件.【收官验收】已知条件p： x2 -3x-4<0：条件g： V -6x + 9-"d go,若是g的充分不必要条件,则?的取值范围是什么？ 【参考答案】（yo,T54,+8）【解析】由 x23x 4W0解得一14x44、由x2 -6x+9-nr <0,可得为一(3 + 团)<0,0当， =0时,式的解集为x|x = 3；当7<o时,式的解集为x|3 + mKxK3-m；当机> 0时,式的解集为x 13 7Kx < 3 +6；若P是q的充分不必要条件,则集合x | -1 4 x « 4是式解集的真子集.m<0m>0可得，3 + 加«-1 或，3-/n<-l，解得?«-4,或zN4. 3 - m > 43 + m > 4经验证，当m = Y或根=4时，式的解集均为x-<x<7，符合题意.故，的取值范围是(FT*,.【名师点睛】(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：先由结论寻找使之成立的必要条件,再验证它也是 使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立.变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使 命题成立的充要条件.(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性,二是必要性.1 .如果既有=4,又有4=,则p是q的充要条件，记为p=q.2 .如果p冷q豆q小p,则是q的既不充分也不必要条件.3 .如果p=q且q* p,则称p是q的充分不必要条件.4 .如果势q旦q=p,则称p是q的必要不充分条件.5 .设与命题对应的集合为A=Rp(x),与命题q对应的集合为B=x|q(x),若AGB,则p是q的充分条件,47是p的必要条件；若人=爪则是夕的充要条件.6 .是q的充要条件是说，有了 成立，就一定有令成立.不成立时，一定有，/不成立.1.集合/A = x|x| <4,xe /?）,B = x|x<t7，则“”是“ >5”的（）1.集合/A = x|x| <4,xe /?）,B = x|x<t7，则“”是“ >5”的（）A.充分不必要条件C.充要条件A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】 4 = x|-4g* AB = xx<a.若则 a>4.:。>4推不出。>5,但。>5推出a>4.“ A 1 ”是“ a > 5 ”的必要不充分条件.故选：B.2 .设xwR,则“x>!”是“2f+工1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【解析】由题意得,不等式2/+工一1>0,解得xv1或x>!，所以“ x!”是“ 2f +1 > 0”的充分而不必要条件,2故选A.3 .已知：（+/?）（一人） = 0,4：。=。厕是9的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】由（。+）（4一。） = 0得=幼,所以,是9的必要不充分条件，故选：B.4 .设xwR,则“|2x-l区3”是“x+1 之0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【解析】|2x-l|<3=>-l<x<2,x+l>0 nxN1,显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“|2x-l|<3”是“x+120”的充分不必要条件，故本题选A.5 .设：xW： />2,则是4的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】因为q： x2>2,所以q： x>V2或x<-i，因为 P ： x > >/2 ,所以是9的充分不必要条件.故选：B典型题型与解题方法重要考点一：充分条件【典型例题】“炉>2017，是“2 >2016，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【解析】若丁 >2017,因为2017>2016.故f >2016.故" V > 2017 ”可以推出“ f > 2016、'，取I =20165则/ >2016,当/ >2017不成立，所以>2016”可以推不出207”，所以“£2017”是“d2016”的充分不必要条件，故选：A.【题型强化】若“x>3”是”的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.【参考答案】【解析】因为“五3”是“x>a”的充分不必要条件，。<3 .故参考答案为：<3.【收官验收】P：二次函数），=依2+法+ c的图象与x轴有交点；q：判别式A = b24">0,则4是，的 什么条件.（充分条件、必要条件）【参考答案】充分条件【解析】P：二次函数y = at? + hx + c的图象与k轴有交点，即判别式=从一4ac>0.则有夕=，则q是P的充分条件，所以参考答案为“充分条件”.【名师点睛】.判断是夕的充分条件,就是判断命题“若，则矿为真命题.1 .是q的充分条件说明：有了条件成立，就一定能得出结论成立.但条件不成立时，结论9未必不成 立.例如，当x=2时f=4成立，但当今2时f=4也可能成立，即当x=-2时f=4也可以成立，所以“x=2”是“x2 =4”成立的充分条件,“x=2”也是“f=4”成立的充分条件.宜要考点二：此果条件【典型例题】已知。、匕cR,下列条件中，使成立的必要条件是（）A. a>b- B. a > h + C. pz| > bD. a2 > b1【参考答案】A【解析】对于A选项，当a>力时，由不等式的性质得a >>/?一 1,可得出a > Z?-1,则>人一1是的必要条件；对 J- B 选项，取。=2. = 1.5,则 < 力+1 .所以,a > b 於。> Z? +1,则。> +1不是a >。的必要条件；对于C、D选项，当b<a < 0时,<同. 2 <从,则同 > 例、/ > h2都不是a>h的必要条件.故选：A.【题型强化】从“充分条件"必要条件”中选出适当的一种填空：“以2+x + c = 0（awO）有实根”是“acvO” 的.【参考答案】必要条件【解析】因为加+云+0 = 0（。*0）有实根，所以 = -4ac> 0，此时ac<0不一定成立,如方程x2 4-1 = 0 ；但ac v 0时,=尸一 4ac 2 0 一定成立.所以“ ar? +云+仃=o 工0）有实根”是“这< 0 ”的必要条件.故参考答案为：必要条件.【收官验收】生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者,事竟成“、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人 保持信心、坚持不懈地努力.在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、"有志”、“坚持”的 条件,这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不 充分、充要或者既不充分也不必要”）【参考答案】必要不充分【解析】由“石穿''、"事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”，如“石穿”可能推出“化学腐蚀”;由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、”事成”、“胜利”如“水滴”可以推出“石穿”;综上所述,“石穿”、”事成"、"胜利'是“水滴”、“有志”、“坚持”必要不充分条件.故参考答案为:必要不充分.【名师点睛】.判断是q的必要条件,就是判断命题“若4则p”成立；1 .是q的必要条件理解要点：有了条件，结论q未必会成立,但是没有条件，结论q 一定不成立.如果p是g的充分条件，则q 一定是p的必要条件.真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件.假命题的条件不是结论的充分条件，但 是有可能是必要条件.例如：命题“若p: r=4,则9：1=一2”是假命题.不是<7的充分条件，但4=成立, 所以是g的必要条件.2 .推出符号“=>”只有当命题“若，则4”为其命题时才能记作“pnq”.置要考点三：充分条件与必要条件的应用【典型例题】已知集合4 =卜£叫一1</<3,3 =卜£叫/<m+ 1,若工£3成立的一个充分不必要条件 是XC4则实数，的取值范围是()A.”帅72A 2B. pn|m< 2 C.卜H"z>2D. ?|-2</n< 2【参考答案】A【解析】由于8成立的一个充分不必要条件是xe A,则At) 8,.?+1之3,解得m22,因此，实数？的取值范围是皿?22.故选：A.【题型强化】已知：4工一?<0必：13-若是q的一个必要不充分条件，则实数机的取值范围为 ().A.)升？28B.卜72上 >8C. mm > -4D. jnm > -4|【参考答案】B【解析】由 4x-m <0,得x.4由143xW4,得1WXW2.是9的一个必要不充分条件，A->2,gP /77 >8.4故选8【收官验收】若：了2+工一6 = 0是夕：+ 1 =。的必要不充分条件，且。0,则实数。的值为.【参考答案】或2 3【解析】:f +工一6 = 0、即 x = 2或 x = -3.q:av + l=O.即 x =因为是q的必要不充分条件所以 pRq.qnp,所以有一'=2或一，=一3、 aa解得 = 或 = !.23综上可知二一1或L 2 3_1 1故参考答案为：2或3.【名师点睛】充分条件与必要条件的应用技巧：（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.（2）求解步骤：先把q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组） 进行求解.重整考点四：充果条件的判断【典型例题】“力中至少有一个不为零的充要条件是（）A, ab=OB. ab>0C.屏十小=。D. +按>。【参考答案】D【解析】A、a=0是a,b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；ab>0是a,b中至少有一个不为零的充分非必要条件；C d+=0是a,h中至少有一个不为零的非充分非必要条件；。d+后乂）,则a,b不同时为零；a,b中至少有一个不为零，则（尸+按。.所以a2+b2>0是a,b中至少有一个不为零的充要条件.故选：D【题型强化】设U为全集/上是集合，则“存在集合C使得A =是“A 8 = 0”的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【解析】由题意AqC则甑u当8ade可得“ A 8 = 0”；若“ A 8 = 0 ”能推出存在集合C使得A q C. B 口 QC,U为全集,A, B是集合，则“存在集合C使得A u C. B = QC”是" A B = 0 ”的充分必要的条件.故选：c.收官验收】“方程/ 一 2戈- a = 0没有实数根”的充要条件是.【参考答案】a<-l【解析】解析因为方程/一2工一 =0没有实数根,所以有4 = 4 + 4。<0,解得。-1,因此“方程£一2工一4 = 0没有实数根”的必要条件是"-L反之，若a < -1，则4 < 0,方程x2-2x-a = 0无实根，从而充分性成立.故“方程f 2x a = 0没有实数根''的充要条件是“ a<-1故参考答案为：<7【名师点睛】判断是g的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p=q及q=p这两个命题是否成立，若pnq成立，则 是9的充分条件，同时9是的必要条件；若夕=成立，则是4的必要条件，同时<7是的充分条件；若二 者都成立，则与4互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断=“及的真假时，也可以从集合角度 去判断，结合集合中“小集合=大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.置要考点五：利用充分条件和必要条件确定参数的职值范围