2-6-2双曲线的几何性质-)2.docx

第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程双曲线的几何性质知识梳理定义到两定点Fi，B的距离之差的绝对值为定值2a（2旧&|）的点的轨迹图形标准方程接一舌=1(30, b>0)小春so, b知对称轴x轴，y釉；x轴，y轴；中心原点0 (0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a, 0),(a, 0)(0, a),(0, -a)焦点Fi(c, 0), F2(-c, 0)Fi(O, c), Fi (0 , c)轴长与焦距实轴长2a,虚轴长2b ,焦距2c实轴长2m虚轴长2b ,焦距2c离心率ce = - (e > 1) ace = - (e > 1)渐近线b y = ±aXa y = ±bX通径2b2 a2b2aa, b, c关系c2=a1-b2【解析】【分析】根据双曲线的性质表示出P、。两点坐标，根据几何关系可确定出以。为直径的圆与渐进线方程 的位置关系，即可得出双曲线。的离心率的取值范围.【详解】由题意可知P(0，a)，Q(0,3a),那么以P0为直径的圆的方程为犬+。-2a> =/,因为双曲线的渐近线上存在点M，使得NPMQ = 90°，所以圆与双曲线的渐近线有公共点，即圆心3 2«)到渐近线依-力=0的距离 产,< ， xlcr +bA那么4?Wc2,即3c244。2,所以/工可所以eel,竽应选A.变式5-1.假设双曲线-5二山>。/>0)与直线3x+y = ()没有交点，双曲线离心率取值范围为()A.后,+8)B. (1,710)C. (i,x/ioD. (V10,-h»)【答案】C【解析】【分析】由双曲线可得渐近线方程为尸±3,对于产收与双曲线无交点只需心-2或a2,即可得_”_3, aa a«进而求离心率的范围.【详解】由题设，双曲线渐近线方程为y = ±2.i,要使直线3x+)，= o与双曲线无交点， a那么*3,即狂为,而l<e='八噎M。a应选：C变式52月，鸟是双曲线W-1 = 13>。 >。)的左、右焦点，尸为双曲线左支上一点，假设隹的a b'PFi最小值为8a,那么该双曲线的离心率的取值范围是()B. (1,2)B. (1,2)C. d,3A. (1,3)【答案】C【解析】【分析】由定义知:PF2-PFi=2a, PF2=2a+PF,由定义知:PF2-PFi=2a, PF2=2a+PF,'制二pU嬴8m当且仅当福= |PF/|,即|PF/|=2时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由双曲线定义可得：|PR|2 (2a+PF.)2 4a2当且仅当蒜当且仅当蒜PF2-PFi=2a, |PB|=24+|PB|,局= 向=两+4+|PB| 之8,= |PF/|,即|PB|=2a时取得等号.此时|”| = 4a由双曲线的几何性质可得，PF2>c+a,即可4“2c+a = eW3,又双曲线的离心率e> 1 ,.e«L3. 应选:C.变式5-3.点尸是双曲线，=的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过"且垂直于x轴的直线与双曲线交于A , 8两点,假设A8E是钝角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值 范围是()A.。收)B. (1, 2)C. 11+ 码D.(2,+00)【答案】D【解析】 【分析】根据A8E是钝角三角形，且NAE尸二NBEF,得至1所>炉，然后由眩>。+。求解.a【详解】因为双曲线关于工轴对称，H.直线AB垂直x轴,所以 ZAEF = /BEF,因为ABE是钝角二角形，所以ZAEB是钝角，即 AF>£F,因为过尸且垂直于4轴的直线与双曲线交于A, 8两点，所以 AF =，又 EF = a + c ,t2所以一>a + c f BP c2 -ac-2a2 >0» a即 e? «2 > 0,解得e>2或e<1 （舍去），所以双曲线的离心率e的取值范围是（2,+8）,应选：D考点六由离心率求参数或参数的范围典例6.双曲线f-上 =1的离心率为那么?的值是（）6 m-3A. 9B. 9C. -15D. 15【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程得到/=6,6=-3,再利用离心率公式求解.【详解】解：由双曲线-二 =1得，6 机-3a2 = 6万=/» 3 ,那么 c = ja2 +b2 = J?+3 ,所以°，=罕=#, a解得7= 15 ,应选：D变式6-1.双曲线/菅=1的离心率的取值范围为（夜闽，那么实数k的取值范围为（）A. k>B. k<9C. 9<女<18 D. l<k<9【答案】C【解析】【分析】分析可知>0,利用双曲线的离心率公式可得出关于2的不等式，即可解得实数&的取值范围.【详解】由题意有 >0，e =叵1，那么&<叵解得：9<<18. 33应选：C.变式62双曲线）+方=1离心率是2,那么机的值是（）A. 1B. -1C. 2D. 一！33【答案】D【解析】【分析】利用方程表示出离心率即求.【详解】,X2 >，2 -1双曲线一 +四3 =1可化为_j_ ,in故离心率J-/所以 2 =1 =2 3应选：D.变式6-3.双曲线吟-*1（/、0）的离心率为*假设问技J访）那么C的焦点到一条渐近线的 距离的取值范围为（）A. 0,3夜）B.（夜,+8）C.（2K3&） D.（也3夜）【答案】C【解析】【分析】由离心率求出。w（2夜,3夜），再根据焦点到准线的距离，即可求出结果.【详解】因为6 =（氐亚），所以武（263夜），而C的焦点（±。,0）到渐近线bx±ay = （）的距离为d = b'所以距离的取值范围为（272,372）.应选：C考点七由几何性质求双曲线方程典例7.假设双曲线C与椭唬有公共焦点，且离心率V，那么双曲线C的标准方程为。A. 5一5印B. 士-土 = 1C. -/=!D.工-/ = |16 916 94 4【答案】A【解析】【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据e =。可得双曲线方程中的”的值，然后可得答案. 4【详解】椭圆余著=1的焦点坐标为（均0）所以双曲线的焦点在1轴上，c = 5,c 5/因为e = _ =所以 =4, b = c2-a2 =3a 4所以双曲线。的标准方程为最工=】lo 9应选：A变式7-1.双曲线捺-£ = 1过点（及,6）,离心率为2,那么该双曲线的标准方程为（）【答案】B【解析】【分析】根据离心率以及双曲线的性质得出该双曲线的标准方程.【详解】2202由题意可得：=2,。= 242=4/_/=3/,因为双曲线十方川过点(0,6),所以下乒=1,即马-4=1,解得"函=3,故该双曲线的标准方程为/4=.a cr3应选：B变式7-2.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆5+上=1有相同的焦距，一条渐近线方 1()6程为X_"y = 0,那么C的方程为()【答案】A【解析】【分析】根据椭圆。4=1得到焦距加=4,再由C的一条渐近线方程为x-岛=0,设C的方程为 10 n1 义工0)求解.【详解】2 2二,椭圆 *+ 9 = 1 中，c = V10-6 = 2 , 10 o焦距 2c = 4.C的一条渐近线方程为x - +y = 0,设C的方程为尸=%义工0),化为标准方程为一：=J. 33A A当4>0时，c = + 34=2,解得2 = 1.那么。的方程为三-产=.2当义<0时，c = J_>-3%=2,解得4=-1,那么。的方程为丁-弓=1.综上，C的方程为1-)，2 = |或,2-=应选：A.变式7-3.过点P（4,6）且与双曲线-9目有相同渐近线的双曲线方程为（）A,工工=1 B. £-匚1 C,工上=1 D. ±二=112 44 124 1212 4【答案】C【解析】【分析】设与双曲线f 一=1有相同渐近线的双曲线方程为/二义久工。），代入点p的坐标，求出4的 JJ值，即可的解.【详解】设马双曲线/-9 = 1有相同渐近线的双曲线方程为 代入点P（4,6）,得16-解得义=4, 所以所求双曲线方程为f 4=4,即应选：C.练习练习一双曲线的焦点、焦距1 .双曲线-Y=i的焦点坐标为（） 4A. （±>/3,0）B. （0,±G）C. （±75,0）D. （0,±&）【答案】D【解析】【分析】由题意可知，双曲线的焦点在y轴，利用。2=+从求出0即可求出焦点坐标.【详解】由题意可知，/=4,从=1,所以不=/+。2=5,即c = V5,因为双曲线的焦点在y釉，所以焦点坐标为（），土石），应选：D.2 .双曲线（- = 1的焦点坐标为（）A. （±同,0） B. （0,±屈） C. （±3,0）D. （。,±3）【答案】B【解析】【分析】根据双曲线中也。的关系，结合焦点的位置进行求解即可.【详解】 22由看啧=1可知，焦点在纵轴上，且"2 = 16八=25nc =，6 + 25=历,所以该双曲线的焦点坐标为（0, ±741）,应选：B3 .双曲线二三 =1的焦距是（） 16 9A. 8B. 10C. 16D. 25【答案】B【解析】根据双曲线方程，利用公式。2=2+2,直接求解.【详解】由题意可得1=+从=25,那么c = 5,故该双曲线的焦距是加= 10.应选：B.双曲线-三小的焦距为（） 54A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】由+从求得*进而得到焦距即可【详解】由双曲线!-=1可得/ =5万=44 4由（：2=2+/=9,所以c = 3 所以双曲线£-。= 1的焦距为2c = 65 4应选：D练习二双曲线的顶点、轴长.双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于 916A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】直接由双曲线方程求解左焦点和右顶点坐标，进而可得解.【详解】山得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.应选：B.【点睛】此题主要考查了由双曲线的方程求解焦点及顶点坐标，属于基础题.5 .双曲线Y一卷印的虚轴长()A. 3B. 6C. 9D. 2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可以得出虚轴长.【详解】解：双曲线=的虚轴长是加，cr n所以双曲线的虚轴长是6.应选：B.6 .双曲线C： 一 = 1的实轴长为()【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线g- = 1中，/=2,所以其实轴长为2拉. a' b-24应选：A.双曲线方程为Y _8）尸=32,那么（）A.实轴长为4a,虚轴长为2B.实轴长为8&,虚轴长为4C.实轴长为2,虚轴长为4及D.实轴长为4,虚轴长为8&【答案】B【解析】【分析】双曲线方程产-8）/=32化为标准方程为即得解.32 4【详解】双曲线方程8），=32化为标准方程为 32 4nJ f'j- a = 4/2./? = 2 ,所以双曲线的实轴长为8夜，虚轴长为4.应选：B【点睛】此题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习三双曲线的渐近线.双曲线/-f = 1的渐近线方程为（） 4A. y = ±xB. y = ±2xC. y = ±4ix D. y = 土与 x【答案】B【解析】【分析】常见考点考点一双曲线的焦点、焦距典例1.双曲线f-23，2=2的焦点坐标为（）A. （±1,0）B. （±75,0） C. （0,±1）D. （0,土石）【答案】B【解析】【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到从，从而求出c,即可得到焦点坐标；【详解】解：双曲线/一2），2=2,即-）,2=1,所以/=2, /=,所以。2=/+力2=3,即c = G，所以焦点坐标为（±G，0）;应选：B变式1-1.假设椭圆5+ £ = 1与双曲线42-15），2=15的焦点相同，那么，的值为（） 25 mA. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】【分析】先将双曲线产-15）?=15化成标准方程（-y2=,再根据两曲线焦点相同可得，15 + 1 = 25-/,即可解出.【详解】双曲线丁-15y2=15化成标准方程所以15 + 1 = 25-% 解得7 = 9.15应选：C.变式1-2.双曲线一2 =的焦距等于（）C. 4C. 4D. 2及A. 2【答案】C【解析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出b,由此可求其渐近线方程.【详解】由双曲线Y-1 = l得。=1, b = 2,所以渐近线方程为），=±2町 4应选：B10.双曲线C：£-工=1的一条渐近线方程为尸无，那么，=（） 4 m4,39A. 3B. 6C. -D.24【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可得出关于机的等式，即可解得加的值.【详解】由可得”0,双曲线。的渐近线方程为），=±*一那么半=七，解得? = :应选：D.11 .双曲线捺-2=1的焦距等于实轴长的2倍，那么其渐近线的方程为（）A. y = ±6xB. .V = ±2xC. y = ±yx D. y = ±x【答案】A【解析】根据离心率，由双曲线的性质，求出即可得出渐近线方程.a【详解】因为双曲线的焦距等于实轴长的2倍，所以双曲线£- = 1（。>0*>0）的离心率为2, aa b所以e = £ = 2,贝lj£ = 4,即七星=4, aa所以与=3,即2 = ±&, a"a因此所求渐近线方程为：），=土岛.应选：A.12 .己知双曲线C:1-I = l（a>0,Z>>0）的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，那么C的渐近 a b线方程为（）A. y = ±-x B. y = ±-x C. y = ±V2x D. y = ±f3x【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形得出"c的关系，进而求得2得渐近线方程.a【详解】由及双曲线的对称性可得所以。=麻.所以=庐7=后,所以3 =母，所以C 的渐近线方程为），=±日院应选：A.练习四求双曲线的离心率13.点（3,0）到双曲线上-=1的一条渐近线的距离为W，那么双曲线的离心率e=（）16 h5A 5n 54n 25A- 7B- 3C- 3D- 16【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到线的距离公式可得从=9,进而求得离心率即可【详解】由题意，双曲线 H = 1的一条渐近线方程为&4y = 0,故即256=9（6+16）,解 16 b-&r + 16 3得从=9,故 =爬V 164应选：A14.如图，双曲线£-1 = 1（Q。力0）的左、右焦点分别为耳,E，M为双曲线右支上一点，直线M”与 a b圆/ +），2 = /相切于点。，眼。二眼可，那么双曲线的离心率为（）A. x/5B. /6C.立D.在22【答案】A【解析】【分析】 由结合双曲线定义可得用。=2，在四耳Q。中利用勾股定理即可求出.【详解】由题可得|耳&=|峙卜|眼，因为|加。| =四玛，所以忻g| = |M周闾=2%那么在 Rt彳。中，（2a）2+a2=c 即 ° =岛，即 “ = £ =逐. a应选：A.15.双曲线C：。-£ = 1（。>0,%>0）的左、右焦点分别为E，K，点P在双曲线C的右支上， PRJ.”,线段产石与双曲线C的左支相交于点Q,假设归周=方。修，那么双曲线C的离心率为（） A. GB. 2C.石D. 2>/2【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；【详解】解：设|%| = 3x（x>0），|Q6| = 2x，双曲线的焦距为2c,由双曲线的定义可知|。q=|。周+2 = 2x+2,陷= 2a + x,在RLPQ6中有依周2=|p02+|尸国2,可得（2 + 2力2=（2。+司2+9/，解得x = |a,所以|尸用= 2a, 户用=而， 在RdP/M中恒用=|P/丁+|尸闾2,可得4c2 =4/+16/,解得c = /5a,所以禺心率e = /5;应选：C16.为双曲线C:97工上/ b2= l（aO力0）的左、右焦点，以线段匕居为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，假设RPQ为等边三角形，那么C的离心率为（）B. 736 + 1Y【答案】D【解析】【分析】根据对称性可知NP/=£，由此可得|P6| = c，|P£| = Kc、，由双曲线定义可得关于a，c的齐次方 O程，由此可求得离心率.【详解】双曲线。与以£居为直径的圆均关于X轴对称，耳PQ为等边三角形，,"PFB稳,又PK，时, 图=；|%|=c,附|=李式周=病；由双曲线定义知：PF-PF2 = 2af即*= 2a,二双曲线离心率e = ' = J7i = 6+l.应选：D练习五求双曲线离心率的取值范围17 .双曲线£-1 = 1(。>0,>0)的右焦点为凡 假设过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支 cr n有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是()A.。,2B. (1,V3C. (2,+oo)D. 2,+oo)【答案】D【解析】【分析】根据题意可得2 0160。二6，即可求出离心率范围.a【详解】山题可得渐近线y = 2x的斜率满足2 > tan 60。= G , aa所以离心率e = £ = Jl +(2、>VT+3 = 2.应选：D.18 .点尸为双曲线-£ = 1 (a>0, b>0)的右焦点，假设双曲线左支上存在一点尸，使直线P/与圆f+)，2=/相切，那么双曲线离心率的取值范围是()【答案】B【解析】【分析】山题意求出直线P尸的斜率为女=±£,然后列出不等式网，转化为求解双曲线的离心率的范围 即可【详解】设直线PF为y = k(x-c),因为直线夕尸与圆/ +、2=2相切，所以;织=，所以h2=/( +J1 +公解得a = ±gb因为点P在双曲线的右支上，所以陶所以所以上1, b a a'所以/=1 +与2,a所以e后,应选：B19 .双曲线-£ = 1(0力0)的左、右焦点分别为K，22,点尸在双曲线的右支上，且归”| = 3|尸图，那么双曲线离心率的取值范围是()A. (1,4B. 4,-ko)C.(L2D. 2,-hx)【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义求得归国，利用可得离心率范围.【详解】因为|产制一|尸周=2a,又|P用=3|尸鸟,所以归£|=3%PF2 = a,又I尸国"-明 即4"一，<2,所以离心率ee（l,2.应选：C.20 .己知双曲线£-1 = 1（。>。,/，>0）的右顶点到其渐近线的距离不大于拽”，其离心率e的取值范 a' /r5围为（）A. 73,+00）B.技C. （1,V5D. 0,6【答案】C【解析】【分析】表示出右顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式代入列不等式求解，再由6>1,可得离心率的取值范围.【详解】, ab ab , 2J5,= -7=(1, 得5ZrW4cL yja2+b2 c 5, ab ab , 2J5,= -7=(1, 得5ZrW4cL yja2+b2 c 5由题意得，双曲线的右顶点坐标为（。,0）,其中一条渐近线方程为），=， =以-冲=。，所以即5/2-/）«4/=>?工行，又因为双曲线的离心率e>l,所以离心率的取值范围为（1，乔.应选：C练习六由离心率求参数或参数的范围21 .双曲线工+5=1的离心率为2,那么女的值为（）& + 8 9A. -35B. 19C. -5D. 12【答案】A【解析】【分析】将双曲线转化为标准方程，结合离心率定义可求参数h【详解】将双曲线转化为标准方程得而=1，那么2=9,。2=-(八8), T = 5警=2,解得应选：AX22 .焦点在丁轴上的双曲线"一了小的离心率为在，那么机的值为() 2mA. 1B. 4或 1C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由离心率计算公式求解.【详解】显然机0,又JEI=近，解得利=4.2应选：D.23 .假设双曲线上-上=1的离心率ec(l,2),那么实数机的取值范围为() 5 mA.(0,5)B. (5,15)C. (0,15)D. (5,10)【答案】C【解析】利用双曲线的离心率可以建立不等式1利用双曲线的离心率可以建立不等式1<2,然后直接求解即可【详解】由得，心0,双曲线二-上 = 1的离心率ee(L2), 5 m又由"答'那么,等2化简得0 < "? < 15,故四的取值范围为(。，15).应选：C24.假设双曲线J &的离心率大于2,那么正数，的取值范围是（）24.假设双曲线J &的离心率大于2,那么正数，的取值范围是（）【答案】A【解析】【分析】由题意可知/ = 4,从而可表示出,2,可求出离心率，然后由离心率大于2列不等式可求出正数，”的取值范围【详解】解：由题意可知=加, =4,那么。2=? + 4,因为离心率大于2,所以£>2,即<>4, aa4-44所以X>4且>0,解得 m3应选：A练习七由几何性质求双曲线方程25.双曲线C与椭圆E：卷+1=1有共同的焦点，它们的离心率之和为分，那么双曲线。的 标准方程为A. - = 1B. - = 1 C. = 1 D. 工-工=112 44 124 1212 4【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从 而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案.【详解】229 25那么 c2 = a2 b2 = 16,由椭 I员I 不+ = 1 ,得 / = 25 , Z?2 = 9 »二双曲线与椭圆的焦点坐标为耳（0,索）,玛（0,4）,4|4 4二椭圆的离心率为二,那么双曲线的离心率为三-二二2 .设双曲线的实半轴长为m,那么± = 2,得? = 2, m那么虚半轴长“ = 5/42-22 =20 , 二双曲线的方程是?-1 = 1.应选C.【点睛】此题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题.26 .双曲线£ 0）的右焦点为产，离心率为羡，假设点尸到双曲线的一条渐近线 a b3的距离为4,那么双曲线的方程为A. - = 1B.工-工=1 C. - = 1D. - = 19 1616 925 1625 9【答案】A【解析】【分析】由双曲线的离心率为e = g,得3c = 5跖乂由双曲线的焦点尸9,0）到一条渐近线的距离为4,得6 = 4, 又由，代入解得叭幻=%）=12«,即可到双曲线的标准方程.【详解】由题意知，双曲线的离心率为"£ =:，即3c = 5，又由双曲线的焦点尸9,0）到一条渐近线y = a 3abc即版-纱=。的距离为4,得1+（、？=" =为又由/=/+/,代入解得v（x）m=%=12«,所以双曲线的方程为-1 = 1,应选A. 916【点睛】此题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简 单的几何性质，联立方程组，求得。力的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题.27 .在平面直角坐标系中，双曲线C过点尸（1,1）,且其两条渐近线的方程分别为2""（）和2一），= 0,那么双曲线。的标准方程为（）A.33c. 4-44-D.=1【答案】B【解析】【分析】待定系数法设双曲线方程后求解【详解】假设双曲线焦点在x轴上，那么可设其标准方程为£-1 = 1(402>0), a' b'可列a- br-4=i,b解得"='， =3 ,其标准方程为与1-5=1 =2433假设双曲线焦点在y轴上，那么可设其标准方程为，4，>。)，J此时无解瞑2lb综上，双曲线方程为"-4=1 33应选：B28.过点卜夜，26),且与双曲线-1=1有相同的渐近线的双曲线方程是()A.三-X63【答案】D【解析】【分析】B )/ 丁 -I12 24根据有相同的渐近线可设所求双曲线方程为=2(/10),把点(3夜,26)代入即可求解.【详解】设所求双曲线方程为?4 = ")，那么【分析】根据双曲线的方程 =3,从=1,结合/=/+/可得结果.【详解】2在双曲线y? = 1 中，“2=3, Z>2 =1,3 ,c2 =(r +Z72 = 4,即焦距为2c = 4,应选：C.变式1-3.双曲线公三3-5 = 1(°<，<3)的焦距为()A. 6B. 12C. 36D. 2736-2/n2【答案】B【解析】【分析】判断双曲线的焦点在x轴上，求得。，b,再由。，b,。的关系，求得c=6,再由焦距2c即可得到.【详解】解：双曲线二=1(0<，<3)的焦点在x轴上， 36 - m- m即 Tf « = 36 - m2 b = m,c = 1az +lr =6 那么焦距2c = 12.应选：B.考点二双曲线的顶点、轴长典例2.双曲线2)?一=1的一个顶点坐标是()A. (5/2 ,0)B. (-,0)C. (0, V2 )D. (0,)【答案】D【解析】【分析】(3可(2可_ 3. /L 422故所求双曲线方程是即。 = 1. 42236应选:D.将双曲线方程化为标准方程，焦点在y轴上时，双曲线顶点为（0, ±a）.【详解】一“ 二1,那么其顶点坐标为。，土£ 双曲线2），2-/=的标准方程为2应选：D.变式2-1.双曲线4/-3/= 2的实轴长为（）D. 2及D. 2及A. 1B. V2C. 2【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由4/_3/=2可得：12 _ ,23a?二万，即 a =>实轴长2a = &,应选：B变式2-2.假设方程4/+加2 =4公表示双曲线，那么此双曲线的虚轴长等于（）A. 2&B. 2QC.尿D. -4k【答案】B【解析】【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长.【详解】4/+h2=4，变形为= 假设方程表示双曲线, K 4那么k<0,写成双曲线标准方程的形式，为4-卫=1, 4 -k即b2 =-k ,虚轴长2b = 2/仄.应选：B变式23 双曲线皿2 +y2=的虚轴长是实轴长的3倍,那么?的值为【答案】D【解析】将双曲线的方程化为标准方程，求得。、b,根据力=3。可求得实数?的值.【详解】双曲线处2 + y2 = i的标准方程为丁-± = L贝"=1, /,= C1,由于该双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，那么 =3，即解得?=.应选：D.考点三双曲线的渐近线典例3.双曲线2工2_）,2=8的渐近线方程是（）B. y = ±2xC. y = ±42x【答案】C【解析】【分析】 将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为尸±4=±缶应选：C变式3-1.假设直线）=3x7与双曲线c：i* = 1的一条渐近线平行，那么实数?的值为（）A. -B. 9C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】Ux2_/ = 的渐近线方程满足=±而>所以渐进线与广3工-1平行，所以渐近线方程为），=±34，故Y应选：A变式3-2.点（4,0）到双曲线（占=1的一条渐近线的距离为（）. 9164 16门 129n 6A- TB- Tc* ?D- ?【答案】a【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】双曲线1 = 1的渐近线方程为：）'=±3,因为点（4，。）在横轴上， 9165所以不妨设其中一条渐近线的方程为4-3），= 0,因此点（4,0）到双曲线（-口 = 1的一条渐近线的距离为： 916|4x4|_16“；+（3）25，应选：A22变式3-3.设48是双曲线C： l-21=（D（f/>0,2>> ）的右支上的两点，A8_Lx轴，且AB经过双曲线C的焦点/，假设弦A3的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，那么双曲线的渐近线方程为（）1AA. y = ±2xB. ,y = ±-xC. y = ±D. y = ±-x【答案】B【解析】【分析】由题意可知弦A8是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知b ="，由此即可求出进aa而求出结果.【详解】因为48 _Lx轴，且AB经过双曲线C的焦点产，所以弦A8是双曲线的通径，故A8=,a又弦48的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以=更，a所以2=9 a 2所以双曲线的渐近线方程为)，= ±；x.应选：B.考点四求双曲线的离心率典例4.小鸟是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且/用线=120。,|他| = 3户用，那么双曲 线。的离心率为()A. B. C. x/7D. V1322【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出归用，|”|,结合余弦定理可得答案.【详解】因为归耳|=3|尸段,由双曲线的定义可得归国一|尸闾=2|%| = 2%所以归闾=*归£|=3：因为N"夕尼=120。,由余弦定理可得4c2 = %+ -2x3a a 8S120。，整理可得4c2 =132,所以/=4 = ；,即6 =巫. 才 42应选：B变式4-1.双曲线C： 5-£ = 1(。0力0)的左，右焦点分别为"、过6的直线/交双曲线 的右支于点P,以双曲线的实轴为直径的圆与直线/相切，切点为"，假设1尸/1=2|£1,那么双曲线 。的离心率为()A. B. x/5C. 2后D. V132【答案】B【解析】【分析】根据QM=a，|"；|二c以及相切可得|制="，在0/谯中根据中位线可得归周=2%进而根据双曲线定义即可求解3-2 = 2a进而可求离心率.【详解】由，HFiZfq2-OH，=Jc-2 =b,在尸片片中，”，C为PFI,6人中点，.|周=2|0川=勿.又归耳|=2|班卜切小卜仍勾=2，所以2 - 2"2,= = 2,二应选：B变式4-2.如下图，F、,乃是双曲线C： 4-4 = ,>0,b>0）的左、右焦点，过士的直线与C的 a b左、右两支分别交于4 B两点.假设|盟：忸曰Aq=3：4：5,那么双曲线的离心率为（）A. 2B. V15C. Vl3D. 73【答案】C【解析】【分析】不妨令|”|=3,忸叫=4, |A图=5,根据双曲线的定义可求得a = l, /A8K=90。，再利用勾股定理可求得4c2 =52,从而可求得双曲线的离心率.【详解】.|A明明"A图=345,不妨令|蜴=3,忸闻=4, AF2=5 tv|AZ；|2 +BF2f=AF212, :.ZABF2=9Q ,又由双曲线的定义得：|MH叫| = 2a, MbHA用=2%.1A用+34 = 5|4用，.|A用=3.忸用国=3 + 3-4 = 2。， a- 1.在 RJ3耳工中，FXF212=| A/"? +1 RF212= 62 +42 =52 ,又 | 大用=4/, .4/=52, .,.。=而二双曲线的离心率6 -=拒. a应选;C变式4-3.己知双曲线±-匕=1 （。、人均为正数）的两条渐近线与直线x = -l围成的三角形的面 a b积为G，那么双曲线的离心率为OA. /6B. 73C. 2x/3D. 2【答案】D【解析】【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令工=-1,即可得到A、8坐标，再根据面积公式求出2 = 6, a最后由离心率公式计算可得；【详解】解：双曲线的渐近线为尸±幺一令x = -l,可得产力，aa不妨令人卜3 8卜，-£|，所以|4叫=弓，所以兀皿=夕入川忆| =百，.平却=26,即竺=2右，所以2 = 6, aa应选：D考点五求双曲线离心率的取值范围典例5.双曲线。:-二=1（。0力0）的上顶点为忆0Q = 30P （0为坐标原点），假设在双曲 6r lr线的渐近线上存在点M,使得NPMQ = 90。，那么双曲线C的离心率的取值范围为（）【答案】A