8.3 简单几何体的表面积和体积-(人教A版2019必修第二册) (教师版).docx

简单几何体的表面积和体积知识剖析1柱体棱柱体积：v = sh (其中h是棱柱的高)圆柱(1)侧面积：S = 2nrh(2)全面积：S = 2nrh + 2nr2(3)体积：V = Sh = nr2h (其中厂为底圆的半径，h为圆柱的高)2锥体棱锥棱锥体积：(其中/I为圆柱的高)；圆锥(1)圆锥侧面积：S = nrl(2)圆锥全面积：S = 7rr0 +。(其中r为底圆的半径，为圆锥母线)(3)圆锥体积：V = lsh = r2h (其中丁为底圆的半径，九为圆柱的高)3台体圆台表面积 S = 7i (rf2 + r，2 + rfl + r/)其中丁'是上底面圆的半径，丁是下底面圆的半径，/是母线的长度.台体体积 V = i(S,+ VSS7 +S) /i其中S ,S，分别为上，下底面面积，%为圆台的高.4球体面积S = 4ttR2,体积»=兀/?3 (其中R为球的半径)经典例题.2V27T【答案】二一【解析】如图所示，过点尸作平面A3C石为垂足，点E为的等边三角形A3C的中心.AE= AQ=¥. 人2 v总通 M£= 3 X = T-PE= y/PA2 AE2 =字.设圆柱底面半径为七 则2R=Um = |, o c / cu yjv 5 ,圆柱的侧面积= 2nRPE=春x第=卒,V 3$ J) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4血，侧面展开图的圆心角为？，则这个圆锥的体积等【答案】喑7rm3【解析】设圆锥的底面半径为厂, 圆锥形物体的母线长/ = 46，侧面展开图的圆心角为?，故2兀厂=,解得V - -m, 33故圆锥的高h = V/2 - r2=f V2m,故圆锥的体积 V = -7ir2h=12Sy rem3. 3817()如图，一个圆锥形容器的高为a,内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰 为式如图)，则图中的水面高度为, 【答案】(1 【解析】令圆锥倒置时水的体积为心 圆锥体积为匕则:=翁+ a3 = % / = %倒置后匕人="/o V 钳. o(5设此时水高为九,则h3 q3 =看，.九=(1 一孝)a.故原来水面的高度为(1ma.&()半径为2的球。内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为, 【答案】12V3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为0-。2,底面边长与高分别为工,心 则02/=3工，在/。4。2中，- + - = 4,343化为九2 = 16 - -x2,3S侧='Sj = 9x2h2 = 12x2(12 x2) < 12(% +1 x )2 = 432.当且仅当/ = 12 %2,即 =6时取等号，此时$的=12V3./)如图所示，在边长为5+四的正方形48CD中，以4为圆心画一个扇形，以。为圆心画一个圆，M、N, K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆。为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是【解析】设圆锥的母线长为1,底面半径为r,高为心由已知条件可得解得丁 = V2/ I = 4a/2,I + r + V2r = (5 + V2) x V2271r n 一 2 S = Tirl + 7ir2 = IOtt,又,：h= yjl2 r2 = V30, V = -nr2h = 亚史兀.33故答案为10/r,与野乃1()()已知四面体48co的棱长满足45 = AC = BD = CD = 2, BC = AD = 1,现将四面体/BCD放入一 个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体4BCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值 为【答案】华 4【解析】因为四面体Z5C0的棱长满足45 =AC = BD = CD = 2, BC = AD = 1,所以可以把其放到长宽高分别为a, b, c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，a2 + b2 = 22,；b2 + c2 = 22,；c2 + a2 = I2,故四面体的外接球半径R满足：8R2 = 22 + 22 + 12 = 9； .R2 =8 四面体48co放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE =厂，则48 = 2丁，AE = V3r；可得：OB2 = 0E2 + EB2；2 R2 = (V3r R)+ r2 => r = V3/?；故圆锥侧面积的最小值为：Tirl = 271r2 = 2兀 3R2 =. 4故答案为：.!()在直三棱柱4BC必当Ci中，平面ABC是下底面.M是B当上的点，AB = 3, BC = 4, AC = 5, CC1 = 7,过三点4、M、Cl作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比 为:【答案】葛【解析】由48 = 3, BC = 4, AC = 5,得A/ + BC2 = AC2, AB 1 BC.将平面与平面BCCiBi放在一个平面内，连接与381的交点即为M,此时8M = 3,设四棱锥/ 一BCC1M的体积为匕，则，1 = ? x ； x (3 + 7) x 4 x 3 = 20,三棱柱的体积4x3x7 = 42.2.当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为空=". 匕 1012(*)如图，在直三棱柱48。-4遇1。1 中，AB = 1, BC = 2,= 3, ABC = 90°,点O为侧棱上的动点，当AD + DCi最小时，三棱锥D4BC1的体积为.【答案】:【解析】将直三棱柱4BC&81C1展开成矩形4CCM1，如图,连结AC，交8名于O,此时4D + 0C1最小，V AB = L BC = 2, BB1 = 3,乙ABC = 90°,点。为侧棱上的动点，当4。+ DC1最小时，BD = 1,此时三棱锥。一ABCi的体积11 11 1d-abc1 cr-ABD = § ' Sabd 义=弓 ' ' "3 x BD x BC = -x-xlxlx213(*)已知S4B是边长为2的等边三角形，ACB = 45°,当三棱锥S-4BC体积最大时，其外接球的表面积为【答案】子【解析】由题可知，平面。48 1平面S48,且。4 = C8时、三棱锥S-/BC体积达到最大，如右图所示，则点。，点E分别为ASB,的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点。.点。是此三棱锥外接球的球心，4。即为球的半径.在4C8中，AB = 2, ACB = 45° => AEB = 90°,由正弦定理可知， = 2, .：AE = EB = EC = 延长CE交48于点F,延长SD交48于点F,四边形£7叨。是矩形，且。E1平面/CB,则有。E14E,-OE = DF=lSF=AB=,A 0A = VOE2+AE2 =一球表面积A 0A = VOE2+AE2 =一球表面积=4tt/?2 = 4tt x()如图，在ABC中，AB = BC = 2, /.ABC = 120°.()如图，在ABC中，AB = BC = 2, /.ABC = 120°.若平面ZBC外的点P和线段/C上的点D,满足PD = DA, PB = 84则四面体P8CD的体积的最大值是【答案】3【解析】如图，M是4C的中点.当= t VAM = W时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是/到BD的距离，即图中4E,h =h =.(遮 一')2，te(O, V3)J(V5t)2+iJ(V3-t)2+ij(V3-t)2 + l当/D = tAM =遮时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是“到BD的距离，即图中AH,DM = t-V3,由等面积，pTW- - AD - BM =- BD - AH, 22I/”a 2 + 1, h = J '=,J(V3-t)2 + lJ(V3-t)2 + l3-(V3-t)2J(V3-t)2 + lt e (V3, 2a/3)综上所述，= ：爷丝且，t e (0, 2V3)J(V3-t)2 + l令m = J(V3 t)2 + 1 6 1/ 2),则'=* 4 ；1HI = 1时，La% =故答案为【题型一】几何体的表面积【典题1】 已知正四棱柱4BCD4#165中48 = 2, 441 = 3,。为上底面中心.设正四棱柱/BCD一 必当。也与正四棱锥。的侧面积分别为Si，S2,则A.【解析】【解析】如图, 正四棱柱48。一41当。也中，48 = 2, 441 = 3,则正四棱柱ABCD 的侧面积分别为Si = 4x2x3 = 24； 正四棱锥。一4181GD1的斜高为IF + 32 = V10.正四棱锥。一4/1。1。1的侧面积S2 = 4xix 2 x V10 = 4V10. 2s2 _ 4V1U _ VioSi - 24 - 6【点拨】注意侧面积和全面积的区别.【典题2】一个底面半径为2,高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为()A. 27r圆锥的底面半径为2,高为4,内接圆柱的底面半径为工时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2%因此，内接圆柱的高八=4 2%；,圆柱的侧面积为：S = 27rx(4 2%) = 4 tt(2x %2)(0 < x < 2)所以当 = 1时，Smax = 4tt.即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为47r.故选：C.【点拨】圆柱的侧面积S = 2兀厂人则需要知道圆柱的高h与底圆半径厂； 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面（如下图），此时由相 似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】一个圆台上、下底面半径分别为八/?,高为儿若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是（）A 21111,1111n211A. - = -I-B -二一"I"一C. 一 = I-D 一=-1h R rh R rr R hR r h【解析】设圆台的母线长为I,根据题意可得圆台的上底面面积为S卜=nr2,圆台的下底面面积为S下=tiR2 , * -I,圆台的侧面面积等于两底面面积之和, ,侧面积5侧=7r(r2 + R2) = 7T(r + R)l,解之得/ =彳箸v I = Jh2 + (/? r)2r2 + R2r + R2。 z 、2=/i2 + (/? r)【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面（如下图），有 I = ）/ +（” 厂产【题型二】几何体的体积【典题1】正方形4BCD被对角线BD和以A为圆心，48为半径的圆弧力&分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积匕、/、匕之比是（）B. 1 ： 2: 1C. 1：1：1D. 2 ： 2: 1【解析】设正方形Z8CD的边长为1,可得 图1旋转所得旋转体为以4D为轴的圆锥体，高4。= 1且底面半径r = 1该圆锥的体积为匕=-tt x AB2 xAD = -tt； 33图2旋转所得旋转体，是以40为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成,该圆锥的体积为彩=，半球一匕=3 x ：兀x 一匕=1 .图3旋转所得旋转体，是以40为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，,该圆锥的体积为匕="x AB2 x AD 一，半：球=ti = |tt综上所述匕=彩=匕="|"，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1.故选C.【点拨】 圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到；求解不规则图形可用“割补法：【典题2】如图，圆锥形容器的高为心圆锥内水面的高为七，且七=9/1,若将圆锥的倒置，水面高为电，C. h3C. h3D.叵h3【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为s.,水的体积U = -Sh - x - S x （/i - hSh. 33981设倒置后液面面积为S，则？=（）2, .9 =警.水的体积1/=?%2=察.谭S仁篝解得3警故选D.方法二 设容器为圆锥1,高为山体积为，;倒置前液面上的锥体为圆锥2,高为6,体积为尢倒置后 液面以下的锥体为圆锥3,高为后，体积为彩. .电 _ 1.八' _ 2."一" _ p3 _ 8" _ 191 I7,h 3 h 3 V 3727 V 27在倒置后，又有?=（引3 停? =着台电=等【点拨】 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；.E 两个相似几何体，若相似比为久则对应线段比为Q,对应的平面面积比为q2,对应的几何体体积比是q3.【典题3】 已知球的直径SC = 4, A, B是该球球面上的两点，AB = 2,乙4SC = ZBSC = 45。，则棱锥S ABC的体积P =.【解析】由题可知4B一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过4B的小圆交直径SC于。，如图所示，AA设S。= x,则。C = 4 X,此时所求棱锥即分割成两个棱锥和C-4B0,在S4。和S3。中，由已知条件可得= %,又因为SC为直径，所以4S8C = nSZC = 90。，所以408c =4 DAC = 45°,所以在中，BD = 4-x,所以 = 4 X,解得 = 2,所以4。= BD = 2,所以443。为正三角形，所以 1/ = gs3B0 X 4 = ¥【点拨】圆内直径所对的圆周角为90。； 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为s,棱长长伉 则三棱锥的体积为:S爪【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D4BC的四个顶点在球。的球面上，若4B=AC = BC = DB = DC = 1,当三棱锥。一力BC的体积取到最大值时，球0的表面积为（）57rA. B. 2 nC. 5 yr【解析】 如图，当三棱锥。ABC的体积取到最大值时，则平面/BC1平面。BC,取BC的中点G,连接AG, DG, AG 1 BC, DGtBC,分另U取与 DBC的夕卜心E, F,分别过E, F作平面与平面的垂线，相交于。，则。为四面体4BCD的球心，由/B=AC = BC = DB = DC = 1,得正方形0EGF的边长球。的表面积为=4球。的表面积为=4早，故选：A.四面体4 一 BCD的夕卜接球的半径R = y/0G2 + B G2 =【典题2】如图，在一个底面边长为2,侧棱长为V1U的正四棱锥P中，大球01内切于该四棱锥，小 球。2与大球。1及四棱锥的四个侧面相切，则小球。2的体积为.【解析】设。为正方形的中心，48的中点为M,连接PM，0M，P0,则0M = 1,PM = y/PA2 - AM2 = V10- 1 =3, P0 = V9 - 1 =2伤如图，在截面PM。中，设N为球。i与平面PZB的切点，则N在PM上，且01N1PM,设球01的半径为R,则OiN = R, 因为s讥4MP0 =器=所以普=3则P0i = 3R, P3P0 = P01 + 0。1 = 4R = 2V2,所以R =尊设球。1与球。2相切与点Q,则PQ = P0 -2R = 2R,设球。2的半径为厂，同理可得PQ=4r,所以r = g = ¥，故小球。2的体积V = 1a3 =噂兀，故答案为普兀24巩固练习1（）如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽略不计），圆柱形水桶的底面直径与母 线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为Si、S2, 则工与S2的大小关系是（）A. Sr < S2 B. Si < S2 C. Si > S2 D. Sr > S2【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r,图1水的表面积为Si = 271T2 + 2nr r = 4zrr2.对于图2,上面的矩形的面积的长是2丁，宽是2r.则面积是4产.曲面展开后的矩形长是次，宽是2r.则面积是2仃2.上下底面的面积的和是Trxr2.图2水的表面积S2 = （4 + 3兀）产.显然Si <S2.故选B.2（）若一个圆锥的母线长为4,且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）A. itB. C. D.-232【答案】A【解析】设圆锥的底面圆半径为八 高为他由圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为仃 4 =又圆锥的轴截面面积为： 2r h = rh,所以471T = 4rh,解得h =兀；所以该圆锥的高为小故选：A.?（）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50czn,那么石凳的表面积是cm2.【答案】14, 10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50on,那么石凳的表面积是S表而枳=8 x 1 x 25a/2 x 25V2 x sin600 + 6 x 25a/2 x 25V2 = 10000(cm2).故答案为：14, 10000.4()直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12B，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴, 将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是;【答案】1： 4: 3V3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为幻2口V3%；则圆台的上、下底半径和母线长分别为幻2%, V3%,如图所示；所以上底面的面积为S卜底=71 %2；下底面的面积为S下底=7T (2x)2 = 47rx2；侧面积为S侧面=7T(x + 2%) V3x = 3V3ttx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是九2 ： 4兀2： 3V3ttx2 = 1: 4: 3V3.5(*)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶 点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.