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高等数学非数院第一章第一章函数与极限函数与极限第一节第一节函数函数函数基础高中函数部分相关知识 邻域去心邻域 Ua,x|xa 无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设fx为有界函数，gx为无穷小，定理四在自变量的某个变化过程中，假设fx为无穷大，则f1x为无穷小；反之，假设fx为无穷小，且fx 0，则fxx01则limfxgx 0Ua,x|0 xa xx为无穷大【题型例如】计算：lim fxgx或x 1fxM函数fx在x x0的任一去心邻域Ux0,内是有界的；fxM，函数fx在xD上有界；2lim gx 0即函数gx是x x0时的无穷小；limgx 0即函数gx是x 时的无穷小；xxx0第二节第二节数列的极限数列的极限数列极限的证明【题型例如】已知数列xn，证明limxn a【证明例如】N语言1由xna 化简得n g，N g2即对 0，N g。当n N时，始终有不等式xna 成立，limxn ax3由定理可知lim fxgx 0 xx0limfxgx 0 x第三节第三节函数的极限函数的极限x x0时函数极限的证明【题型例如】已知函数fx，证明lim fx Axx0第五节第五节极限运算法则极限运算法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算mm1px a0 x a1x am设：nn1qx b0 x b1xbnn mpxa0则有limn mxqxb0n m0 fx0gx0 0g x0fxlimgx0 0,fx0 0 xx0gx0gx0 fx0 00fx0特别地，当lim不定型时，通常分xx0gx0【证明例如】语言1由fx A 化简得0 xx0 g，g2即对 0，g，当0 x x0时，始终有不等式fx A 成立，lim fx Axx0 x 时函数极限的证明【题型例如】已知函数fx，证明lim fx Ax【证明例如】X语言1由fx A 化简得x g，X g2即对 0，X g，当x X时，始终有不等式fx A 成立，lim fx Ax第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质函数fx无穷小lim fx 0函数fx无穷大lim fx 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解【题型例如】求值limx3x32x 9高等数学期末复习资料第1页共9页【求解例如】解：因为x 3，从而可得x 3，所以原式 limx3x3x311 lim lim2x3x3x 9x36x3x3 2x3解：limx2x1x1 2x12 limx2x12x12x122x1x12 lim12x12x12x1x3其中x 3为函数fx2的可去间断点x 9倘假设运用罗比达法则求解详见第三章第二节：2 lim12x12x12x12x122 lim12x12x1x12limx12x12x1x1x3x311lim lim解：lim2x3x 9L x3x32x6x29连续函数穿越定理 复合函数的极限求解 定理五假设函数fx是定义域上的连续函数，那么，lim f x flimxxx0 xx0【题型例如】求值：lim【求解例如】limx3002lim12x12x1 e2x12x122x12x1lim2 e 2x2lim2x1 e1 ex3x3x29第七节第七节无穷小量的阶无穷小的比较无穷小量的阶无穷小的比较等价无穷小U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1U)1Ue 12U 1cosU乘除可替，加减不行ln1 x xln1 x【题型例如】求值：lim2x0 x 3x【求解例如】ln1 x xln1 x解：因为x 0,即x 0,所以原式 limx0 x23x1 xln1 x lim1 x x limx 11 limx0 x0 xx 3x0 x 3xx 33第八节第八节函数的连续性函数的连续性函数连续的定义xx0 x3x316limx3x29x2966122第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则P53 第一个重要极限：limx0,sin x1x0 xsin x1，sinx x tanxlimx02xlim1x1x0lim lim1x0sin xx0sin xsin xlimx0 xxlim fx limfx fx0 xx0间断点的分类P67 跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点）无穷间断点（极限为特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式sin(x x0)1特别地，limxx0 x x0单调有界收敛准则P57 1第二个重要极限：lim1 exx一般地，limfxlim fx 0gxx lim fxlimgx，其中e2xx 0【题型例如】设函数fx，应该怎样选x 0a x择数a，使得fx成为在R上的连续函数？【求解例如】f0 e20 e1 e1f 0 a0 a f0 a2由连续函数定义limfx limfx f0 ex0 x02x 3【题型例如】求值：limx2x 1【求解例如】x1a e高等数学期末复习资料第2页共9页第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质零点定理【题型例如】证明：方程fx gxC至少有一个根介于a与b之间【证明例如】1 建立辅助函数函数x fxgxC在闭区间a,b上连续；2ab 0端点异号3由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使gC 00 14这等式说明方程fx gxC在开区间a,b内至少有一个根第二章第二章导数与微分导数与微分第一节第一节导数概念导数概念高等数学中导数的定义及几何意义P83 得 0，即fx的导数【求解例如】由题可得fx为直接函数，其在定于域D【题型例如】求函数f1上单调、可导，且f x 0；f1x 1 fx复合函数的求导法则【题型例如】设y ln earcsin【求解例如】解：y 1earcsin1earcsinx21x21x21x2a2，求yx2a2 earcsinx21x a22x2a2ex1x 0【题型例如】已知函数fx，在x 0 x 0axb处可导，求a，b【求解例如】f0 e01 e01 20 f0 e 11，f 0 b f0 af0 e01 2ee1arcsinx21x2a21arcsinx21x2a2arcsineearcsinearcsinx ax212222 x a 1x 12x22xx212 x 12222 x2 x ax2122x21xx212 x2x2a2x第四节第四节高阶导数高阶导数fnn1n1nd ydy或xnn1dxdxxf f0 f0 a 12由函数可导定义f 0 f 0 f0b 2a 1,b 2【题型例如】求函数y ln1 x的n阶导数【求解例如】y 111 x，1 x【题型例如】求y fx在x a处的切线与法线方程或：过y fx图像上点a,fa处的切线与法线方程【求解例如】1y f x，y|xa f a2切线方程：y fa f axa法线方程：y fa 1xaf a12y 1 x11 x，23y 11 x121 xy (1)n1(n1)！(1 x)nn第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导等式两边对x求导【题型例如】试求：方程y x e所给定的曲线C：y第二节第二节函数的和差函数的和差、积与商的求导法则、积与商的求导法则函数和差、积与商的求导法则1线性组合定理一：(u v)uv特别地，当1时，有(u v)uv2函数积的求导法则定理二：(uv)uvuvy yx在点1e,1的切线方程与法线方程y【求解例如】由y x e两边对x求导yy即y x e化简得y 1e yy u uvuv3函数商的求导法则定理三：2vv第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则111e11e1x 1 e1e切线方程：y 1高等数学期末复习资料第3页共9页法线方程：y 1 1ex 1 e参数方程型函数的求导x td2y【题型例如】设参数方程，求2dxy t dy dytd2ydx【求解例如】1.2.2tdxtdx第六节第六节变化率问题举例及相关变化率不作要求变化率问题举例及相关变化率不作要求第七节第七节函数的微分函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则dy f xdx第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节中值定理中值定理引理费马引理 罗尔定理【题型例如】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得fx 0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区1间0,上可导，并且f x；1 x2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式1ln1 xln10 x0成立，11x，又0,x，化简得ln1 x111，ln1 x1x x，f 1x即证得：当x 1时，e ex第二节第二节罗比达法则罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤1 等价无穷小的替换以简化运算2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型cos f sin0成立【证明例如】1 建立辅助函数令x fxsinx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,且满足条件，0 fxf x则进行运算：lim limxagxxagx0,上可导；2又0 f0sin0 0 fsin0即0 03由罗尔定理知再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出B 不属于两大基本不定型 转化为基本不定型0型转乘为除，构造分式【题型例如】求值：limx lnxx0【求解例如】0,，使得fcos f sin0成立拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当x 1时，e ex【证明例如】1 建立辅助函数令函数fxe，则对x 1，xx1lnxx解：limxln x limlim lim1x0 x01L x0 x0 x12xxx1 limx 0ax0ln x一般地，limx ln x 0，其中,Rx0显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间 型通分构造分式，观察分母【题型例如】求值：lim1,x上可导，并且f x ex；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式1 1x0sin xxexe1x1e成立，x11又e e，e e x1e exe，1【求解例如】1 1 xsin x xsin x解：lim lim limx0sin xxx0 xsin xx0 x2化简得e ex，即证得：当x 1时，e ex【题型例如】证明不等式：当x 0时，ln1 x x【证明例如】1 建立辅助函数令函数fx ln1 x，则对xxlimL x000 xsin xx21cosx1cosxsin x limlim lim 0 x0 x02xL x02x2000型对数求极限法0高等数学期末复习资料第4页共9页【题型例如】求值：limxx0 x【求解例如】解：设y xx,两边取对数得：ln y ln xx xln x ln x1x0000(2)(1)(3)0 10通分获得分式通常伴有等价无穷小的替换取倒数获得分式将乘积形式转化为分式形式取对数获得乘积式通过对数运算将指数提前第三节第三节泰勒中值定理不作要求泰勒中值定理不作要求第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性单调区间【题型例如】试确定函数fx 2x39x212x3的单调区间【求解例如】1函数fx在其定义域R上连续，且可导f x 6x218x12ln xln x对对数取x 0时的极限：limln y limlimx0 x01L x0 1 xx1limln y limx limx 0，从而有lim y limeln y ex0 e01x0 x0 x0 x012x1型对数求极限法【题型例如】求值：limcosxsin xx01x【求解例如】解：令y cosxsin x,两边取对数得ln y lncosxsin x,xlncosxsin x对ln y求x 0时的极限，limln y limx0 x0 x00lncosxsin xcosxsin x10lim lim1,从而可得L x0 x0cosxsin x10 x1xx11,x2 22 令f x 6x1x2 0，解得：3 三行表x,110极大值1,220极小值2,f xfxlim y=limeln y ex0 x0 x0limln y e1 e0型对数求极限法【题型例如】求值：lim【求解例如】4函数fx的单调递增区间为,1,2,；单调递减区间为1,2【题型例如】证明：当x 0时，e x1【证明例如】1 构建辅助函数设xe x1，x 0 xx 1x0 xtanx 1 解：令y x 1,两边取对数得ln y tan xln,x 1 对ln y求x 0时的极限，limln y limtan xlnx0 x0 x1ln xx limlim lim2x0 x01Lx0sec x1tan2xtan xtan x02sin2xsin x02sin xcosx limlim lim 0,x0 x0 xL x0 x1tanx2x e 1 0，x 0 xx0 03既证：当x 0时，e x1【题型例如】证明：当x 0时，ln1 x x【证明例如】1 构建辅助函数设xln1 xx，x 0 xln x11 0，x 01 xx002x3既证：当x 0时，ln1 x x连续函数凹凸性【题型例如】试讨论函数y 13x x的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明例如】23从而可得lim y=limeln y ex0 x0 x0limln y e01运用罗比达法则进行极限运算的基本思路高等数学期末复习资料第5页共9页2y 3x 6x 3xx21y 6x6 6x1x1 0,x2 2y 3xx2 02令解得：x 1y 6x1 0【求解例如】1函数fx在其定义域1,3上连续，且可导f x 3x232令f x 3x1x10，解得：x1 1,x213 三行表3 四行表x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy(1,3)51234函数y 13x x单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0),(2,)；23函数y 13x x的极小值在x 0时取到，为f01，极大值在x 2时取到，为f25；函数y 13x x在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)上凸；函数y 13x x的拐点坐标为1,32323x10极小值1,110极大值1,3f xfx4又f1 2,f1 2,f3 18fxmax f1 2,fxmin f3 18第六节第六节函数图形的描绘不作要求函数图形的描绘不作要求第七节第七节曲率不作要求曲率不作要求第八节第八节方程的近似解不作要求方程的近似解不作要求第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数Fx的导函数为Fx，即当自变量xI时，有Fx fx或第五节第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系设函数fx的定义域为D，如果xM的某个邻域UxM D，使得对xUxM，都适合不等式fx fxM，我们则称函数fx在点xM,fxM处有极大值fxM；令xMxM1,xM 2,xM3,.,xMn则函数fx在闭区间a,b上的最大值M满足：dFx fxdx成立，则称Fx为fx的一个原函数原函数存在定理：如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数Fx使得Fx fx，也就是说：连续函数一定存在原函数可导必连续不定积分的概念在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项M maxfa,xM1,xM 2,xM3,.,xMn,fb；设函数fx的定义域为D，如果xm的某个邻域C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，即表示为：fxdx FxCUxm D，使得对xUxm，都适合不等式fx fxm，我们则称函数fx在点xm,fxm处有极小值为积分表达式，x则称为积分变量基本积分表不定积分的线性性质分项积分公式 称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称fxm；令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn则函数fx在闭区间a,b上的最小值m满足：k fxk gxdx kfxdxkgxdx1212第二节第二节换元积分法换元积分法第一类换元法凑微分 dy f xdx的逆向应用m minfa,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb；【题型例如】求函数fx3xx在1,3上的最值3xxdx f xd xf 高等数学期末复习资料第6页共9页【题型例如】求【求解例如】1解：2a x2dx 1a2 x2dx1 x 1a2第三节第三节分部积分法分部积分法分部积分法设函数u fx，v gx具有连续导数，则其x x 1darctanCa x aa1a2dx 1a1分部积分公式可表示为：udv uv vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：vdx dv使用分部积分公式：udv uv vdu展开尾项vdu vudx，判断a假设vudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果；b假设vudx依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；假设重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型例如】求exx2dx【题型例如】求1dx2x1【求解例如】1111解：dx d 2x1 2x122x12 2x1d2x12x1C第二类换元法去根式 dy f xdx的正向应用对于一次根式a 0,bR：t2baxb：令t axb，于是x，a则原式可化为t对于根号下平方和的形式a 0：a2 x2：令x atant2t 2，x于是t arctan，则原式可化为asect；a对于根号下平方差的形式a 0：aa2 x2：令x asint【求解例如】x22x2x2xx2解：e x dx x e dx x de x e e dx2t 2 x2ex2xexdx x2ex2xdex x2ex2xex2exdx x2ex2xex2exC【题型例如】求exsin xdx，x于是t arcsin，则原式可化为acost；abx2a2：令x asect0 t 于是t arccos【题型例如】求2，【求解例如】xxxx解：e sin xdx e dcos x e cos xcos xd e a，则原式可化为atant；x1dx一次根式2x1 excos xexcos xdx excos xexdsin x excos xexsin xsin xdexxxxx即：e sin xdx e cosxe sin xsin xde excos xexsin xexsin xdx【求解例如】11t 2x1解：dx 2x1x12t212ttdt dt t C 2x1Cdxtdte sin xdx x1xesin xcosxC2【题型例如】求【求解例如】a x dx三角换元2222第四节第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数a2解：acos tdt a x dx 222xasint(t)22xtarcsinadxacost1cos2tdtPxpx a0 xma1xm1 am设：nn1Qxqxb0 x b1x bn对于有理函数a21a2t sin2tC t sintcostC222Px，当Px的次数小于Qx的Qx高等数学期末复习资料第7页共9页Px次数时，有理函数是真分式；当Px的次数Qx大于Qx的次数时，有理函数Px是假分式Qxx1xx11dx x11 dxx2dx x1x1x111xdxdxdx x2 xlnx1Cx12第五节第五节积分表的使用不作要求积分表的使用不作要求第五章第五章定积分极其应用定积分极其应用第一节第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的定义有理函数真分式不定积分的求解思路将有理函数Px的分母Qx分拆成两个没有Qxk公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式xa；而另一个多项式可以表示为二次质因式x pxq，p 4q 0；即：QxQ1xQ2xfxfxdx lima0ii1bni I2l2fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，xa称为积分下限，则称为积分变量，b称为积分上限，n n一般地：mxn mx，则参数a mmc 2b2ax bxc ax xaabc则参数p,q aaPx则设有理函数a,b称为积分区间定积分的性质fxdx fudufxdx 0kfxdx kfxdxaabbaabbaaQx的分拆和式为：线性性质PxPxP2x1Qxxakx2 pxql其中k1fxk2gxdx k1afxdxk2agxdxa积分区间的可加性bbbbafxdx fxdxfxdxaccbP1xkxaP2xx2AkAA21.2kxaxaxal 假 设 函 数fx在 积 分 区 间a,b上 满 足fx 0，则afxdx 0；推论一假设函数fx、函数gx在积分区间a,b上满足fx gx，则推论二b pxqM1x N1M2x N2x2 pxqx2 pxq2l.Mlx Nlx2 pxqfxdx gxdx；aabb参数A1,A2,.,Ak,MlM1M2,.,由待定系N1N2Nlbafxdx fxdxab数法比较法求出得到分拆式后分项积分即可求解【题型例如】求【求解例如】积分中值定理不作要求第二节第二节微积分基本公式微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式定理三假设果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数，则bxx1dx构造法2fxdx Fb Faa变限积分的导数公式 上上导下下导dxftdt f xx f xxx dx高等数学期末复习资料第8页共9页【题型例如】求limx01cosxetdtx22【求解例如】2t3t21t 2x10,x4x2322解：22dxx0,t102x1dx 1tx4,t3d1t2tedtedtcosx解：limcosx2limdxx0L x0 x2x1200 13t2313211tdt t 3dt t33x21t2123123e10ecos xsin xsin xecos lim limx0 x02x2xd0cos2xsin xe0limdxL x02x2x522 933分部积分法uxvxuxdvx ababuxvxdx uxvxvxuxdxababvxduxab偶倍奇零设fxCa,a，则有以下结论成立：假设a0 limx0cosxecos2xsin xe2cos2x2sin xcosxfx fx，则1cos2xlim esin xcosx2sin xcosxx0211e122e第三节第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法第一换元法aafxdx 2fxdx假设fx fx，则aafxdx 0第四节第四节定积分在几何上的应用暂时不作要求定积分在几何上的应用暂时不作要求第五节第五节定积分在物理上的应用暂时不作要求定积分在物理上的应用暂时不作要求第六节第六节反常积分不作要求反常积分不作要求如：不定积分公式f xxdx af xd x21【题型例如】求dx02x1bba【求解例如】解：211211dx d2x1ln 2x1002x1202x121ln5ln5ln122211 x2dx arctanxC的证明。很第二换元法设函数fxCa,b，函数x t满足：a,，使得 a,b；b在区间,或,上，f t,t连续则：b多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：xtantt1122dx tarctanx1 x21tan2ttantdt11122dt cos tdt dtsec t cos2tcos2tt C arctanxC11xdx arctanC也就很如此，不定积分公式22a xaafxdx af ttdt【题型例如】求【求解例如】40 x2dx2x1容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改良。高等数学期末复习资料第9页共9页
