《高等数学B》课程教学大纲.pdf

高等数学高等数学 B B课程教学大纲课程教学大纲Advanced Mathematics BAdvanced Mathematics B课程简介课程简介(中文中文)：高等数学是近代数学的基础，也是高等学校工科各专业学生的一门必修的基础理论课。它在现代工程技术、经济管理和人文科学等各领域中具有广泛的应用。本课程以微积分学为核心内容。首先在极限的基础上建立了连续、导数、不定积分和定积分的概念和应用。在此基础上结合空间解析几何建立了多元函数微积分学的基本概念和应用。此外还介绍了微积分学的两个应用分支：微分方程和无穷级数。课程简介课程简介(英文英文)：Advanced Mathematics is the foundation of modern mathematics,and is a compulsorypublic basic theory course for all majors of science and engineering.It has a wide range ofapplications in modern engineering technology,economic management,humanities and otherareas.This course takes calculus as its core content.First,on the basis of limit,the concepts andapplications of continuity,derivatives,indefinite and definite integrals are established.Combinedwith the geometry of space,the basic concepts and applications of multivariate calculus are alsoestablished.Moreover,two branches of application are introduced:differential equations andinfinite series.一、课程目的一、课程目的通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有进一步的认识，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣，用定性与定量相结合的方法处理经济问题的能力，为学生今后在其各个专业方向的深入发展打下牢固的数学基础。二、课程教学内容及学时分配二、课程教学内容及学时分配（一）教学内容1函数、极限与连续函数：函数的概念及表示法，函数的特性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数、初等函数的概念，基本初等函数的性质及图形。简单应用问题函数关系的建立；经济变量间的数量关系：总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。极限：数列极限的定义，收敛数列的性质（唯一性，有界性）；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质（局部保号性、局部有界性），无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大最小值定理，零点定理和介值定理）。2导数与微分导数与微分：导数的定义，导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，1初等函数的一、二阶导数的求法，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算法则（含微分形式的不变性）。3中值定理与导数应用罗尔定理和拉格朗日中值定理、柯西（Cauchy)中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数的单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最大最小值，求函数曲线的渐近线，函数图形的描绘，导数在经济方面的应用（边际分析、弹性分析）。4不定积分原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。5定积分及其应用定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；定积分在几何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积）；积分在经济分析中的应用。6多元函数微积分多元函数偏导数：空间解析几何简介，多元函数的基本概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质。多元函数的偏导数的定义及其求法，高阶偏导数的概念及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式（一个方程的情形）。偏导数的应用：多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。二重积分：二重积分的概念、性质及计算（直角坐标、极坐标）；二重积分在几何学中的应用（曲面面积、立体体积）。7无穷级数常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，收敛级数的和的概念、无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数和 P级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。幂级数：函数项级数的收敛与和函数的概念，幂级数的概念，阿贝尔定理，较简单的幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质，幂级数求和函数；泰勤级数，麦克劳林级数，函数展开成幂级数。8微分方程与差分方程微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程；一阶线性微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程；差分方程简介。（二）学时分配本课程的教学时数为 128 学时，分上、下两学期，各学期的教学内容及课时分配如下表：（课内外学时比例均为 1:2）教学环节讲 课习 题 课小计课程内容函数、极限、连续导数与微分高等中值定理与导数应用数学中 段 检 测B（1）不 定 积 分定积分及其应用1010148822222121216210102总 复 习合计多元函数微积分高等数学B（2）中 段 检 测无穷级数微分方程与差分方程总 复 习合计总计5024141452102212422210222642821616264128三、课程教学基本要求及重点难点三、课程教学基本要求及重点难点（一）函数、极限与连续1基本要求1）.深入理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解常用经济变量间的数量关系：总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2）.熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3）.理解复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念。4）.掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。5）.理解数列极限和函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，了解数列极限和函数极限的区别和联系。6）.掌握极限的性质及四则运算法则。7）.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8）.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9）.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10）.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。2重点：函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形，极限概念，极限四则运算法则，连续概念。3难点：极限的N、定义，求极限。（二）、导数与微分1基本要求：1）理解导数和微分的概念;了解导数、微分的几何意义;了解函数可导、可微、连续之间的关系；2）熟练掌握导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式；3）熟练掌握复合函数、隐函数的求导法则，掌握用对数求导的方法；4）掌握求参数方程所表示的函数的导数方法；5）了解高阶导数的概念；熟练掌握求初等函数一、二阶导数的方法。2重点：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，隐函数求导法；初等函数的一阶、二阶导数的求法。3难点：复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数。（三）、中值定理与导数应用1基本要求：1）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，了解柯西（Cauchy)中值定理；2）熟练掌握洛必达法则和各种未定式极限的求法；3）熟练掌握函数单调性的判别方法极其应用；34）熟练掌握求函数极值的方法，了解函数极值和最值的关系；5）熟练掌握函数曲线的凹凸性和拐点的判别方法及曲线渐近线的求法；6）掌握函数作图的基本步骤和方法；7）掌握对常用经济函数进行边际分析和弹性分析的方法。2重点：应用导数工具分析函数性态；对经济函数进行边际分析和弹性分析。3难点：函数性态分析。（四）、不定积分1基本要求：1）理解原函数和不定积分的概念；2）熟练掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；3）熟练掌握换元积分法，分部积分法；4）会求有理函数的积分；2重点：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。3难点：换元积分法。（五）、定积分及其应用1基本要求：1）了解定积分的概念和性质；2）熟练掌握牛顿莱布尼茨公式，会求变上限定积分函数的导数；3）熟练掌握求定积分的凑微分法和第二换元积分法，分部积分法；4）会利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用题；5）了解广义积分收敛和发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。2重点：定积分的概念及性质，定积分的换元法与分部积分法，变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式，定积分的几何应用和经济应用。3难点：变上限函数的求导，换元积分法。（六）、多元函数微积分1基本要求：1）理解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。2）了解多元函数的极限及连续的概念；理解多元函数的全微分和偏导数的概念。掌握偏导数和全微分的计算法。3）掌握复合函数求导法则。4）掌握偏导数的应用。5）了解二重积分的概念与基本性质，了解二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法。2重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数阶偏导数的求法，多元函数极值和条件极值的概念。二重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。3难点：求抽象复合函数的二阶偏导数，求条件极值的拉格朗日乘数法。（七）、无穷级数1基本要求：1）常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件；2）几何级数与 p 级数的收敛性、正项级数审敛法（比较、比值、根值判别法）；3）任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理；4）幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；5）幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质；6）函数展开成幂级数（泰勒级数）；7）简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。42重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和P级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数收敛区间的求法。用间接法展开函数为幂级数。3难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数。（八）、微分方程与差分方程1基本要求：1）了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解的概念；2）能识别下述一阶微分方程、可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性方程3）熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、及一阶线性方程的解法，会求其通解、特解；4）了解线性微分方程解的性质及解的结构定理；5）熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；6）掌握非齐次项为多项式，指数函数、正弦函数、余弦函数以及以及它们的线性组合与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；2重点：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次（非齐次）线性微分方程的解法。3难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。四、本课程与其它课程的联系与分工四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：无后续课程：作为基础课，它是许多后继课，如统计学原理、工商企业经营管理、市场营销学、应用数理统计、西方经济学、市场调查与分析等专业基础课和专业课的基础。五、建议教材及教学参考书五、建议教材及教学参考书1刘浩荣等主编，高等数学(经管类)第二版,同济大学出版社,2014.10 出版2同济大学数学教研室主编，高等数学，第七版，高等教育出版社，2014.7 出版3彭辉，叶宏编，高等数学辅导与同济六版上下册配套，山东科学技术出版社，2007 年 8 月出版4周誓达编,微积分学习指导(经济类与管理类)，中国人民大学出版社,2005.7 出版5