高等数学教案ch-5-定积分.pdf

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿一莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5,15,1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 1.曲边梯形的面积曲边梯形：设函数 y=f(x)在区间a.b上非负、连续，由直线 x=a、x=b、y=0 及曲线 y=f(x)所围成 的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积值.具体方法是：在区间a b中任意插入若干个分点a=X0:：Xi:：x2：r：Xn 4:：Xn=b把a b分成 n 个小区间xo.xi.xi.x2.x2.X3Jxnd.Xn.它们的长度依次为 二 Xi=Xi-Xo-X2=X2%Xn=Xn Xn 4.i 个窄曲边梯形(=1.2.A 的近似值.即n经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段.把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每个小区间Xi4.Xi上任取一点匕.以Xi4.Xi为底、f()为高的窄矩形近似替代第n).把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A sf(巴1)&1+f(巴2)&2+*+f(n)Axn=迟 f GQx-im求曲边梯形的面积的精确值：.所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄形面积 A 的精确值.因此.要求曲边梯形面积 A 的精确值.只需无限地增加分点.使每个小曲边 梯形的宽度趋于零记-二 max.lxi.-xn.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令n0，所以曲边梯形的面积为A=lim f(J.：Xi一-0y2.变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度 v 印(t)是时间间隔TiT2上 t 的连续函数.且 v(t)_O.计算在这 段时间内物体所经过的路程求近似路程：我们把时间间隔Ti.T2分成 n 个小的时间间隔.址i.在每个小的时间间隔成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔的距离近似为 AS=v(苗)孩.把物体在每一小的时间间隔间间隔TiT2内所经过的路程 S 的近似值，具体做法是：在时间间隔Ti.T2内任意插入若干个分点T1=t0:：ti:：t2把TiT2分成 n 个小段t0.ti.ti.t2.tn.tn.各小段时间的长依次为Lt i=t i-t 0 Lt 2 t 2-t i.:t n t n t n相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为LSiLS2LSn.t ntn=T2.S.Ati内.物体运动看.先内某点i的速度 V(.i).物体在时间间隔.址i内运动iti 内运动的距离加起来作为物体在时在时间间隔ti.ti上任取一个时刻.i(ti J：j：ti).以.i时刻的速度 v(，i)来代替ti/.ti上各 个时刻的速度.得到部分路程Si的近似值.即心 Si=v(Ei)0i(i=1.2.，n),于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程nS 的近似值.即S：二 v(i).：tii A求精确值：记二 max t1,t2tn.当.-0 时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS=lim、v(.j)：tj,0 i d设函数 y 斗(x)在区间a b上非负、连续，求直线 x=a、x=b、y=0及曲线 y 寸(x)所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点 a 次o：xi：x2：xn,：xn=b把区间a b分成 n 个小区间xo.xi.xi.x2.x2决3,.xn4.Xn记血 mn(i=1.2 厂*n).(2)任取iXi 4Xi以Xi 4刈为底的小曲边梯形的面积可近似为所求曲边梯形面积A 的近似值为f()细(i=.2,n)nA八f(i)：Xi.(3)记-max二 xi二 X2n二 xn.所以曲边梯形面积的精确值为A=limf()x,FT y设物体作直线运动.已知速度 v 二 v(t)是时间间隔T1T2上 t 的连续函数.且 v(t)_0.计算在这段时间内物体所经过的路程S.(1)用分点 Ti4o：tv：t：tnd：tT2把时间间隔T1T2分成 n 个小时间段 to.tltl问，Ftn.tn.记 Ati=titi_J(i=1.2*n).任取.itiJti在时间段titi内物体所经过的路程可近似为v(.i)-：ti(iH.2、n)所求路程 S 的近似值为nS八v(i)：tii生(3)记-=max.毛.屯，人 tn.所求路程的精确值为nS=li叫v(J：ti,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括述定积分的定义，定义 设函数 f(x)在a b上有界.在a b中任意插入若干个分点a 之0：X1:：x2：:：Xn 4:：Xn=b把区间a b分成 n 个小区间X0.X1.X1.x2.Xn J.Xn.各小段区间的长依次为LX1次1Xo=X2%X1f(匕)&(i=.2y n).并作出和n.就抽象出下LXn*XnM.在每个小区间Xi JXi上任取一个点i(XiJ i:Xi).作函数值 f(1)与小区间长度.乂的乘积s，f(i/Xi.i d记，=max：X.：X2xn.如果不论对a b怎样分法.也不论在小区间XiT.Xi上点i怎样取法.只要当0 时.和 S 总趋于确定的极限 I.这时我们称这个极限 I 为函数 f(X)在区间a.b上 的定积分.记作jf(x)dx.即jf(x)dx=lim 瓦 f(耳)纠，0 i 4其中 f(x)叫做被积函数f(x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限.a b叫做积分区间,定义 设函数 f(x)在a b上有界.用分点 aao：xi：X2：:xn_j：xn=b 把a.b分成 n 个小区间x0.Xi.Xi凶.Xn.Xn.记&i 承iXi(i=1.2,n).任：Xi.Xi(i=1.2n)作和nf(i，Xi.i 4记-maxxiLX2的分法和 1 的取法无关bLXn.如果当，j 0 时n上述和式的极限存在且极限值与区间a bb则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的定积分.记作f(x)dx.f(x)dx=lim aJ0 i吕根据定积分的定义.曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为S 二；2v(t)dt.说明A=af(x)dx.T1(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关.而与积分变量的记法无关.即：f(x)dx 二：f(t)dt 二：f(u)du，n(2)和二 f(i)：Xi通常称为 f(x)的积分和.如果函数 f(x)在a b上的定积分存在.我们就说 f(x)在区间a b上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时f(x)在a b上可积呢？定理 1 1 设 f(x)在区间a b上连续.则 f(x)在a b上可积定理 2 2 设 f(x)在区间a b上有界.且只有有限个间断点.则 f(x)在a b上可积 定积分的几何意义：在区间a b上.当 f(x)_0 时.积分：f(x)dx 在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线 x=a、x=b 与X 轴所围成的曲边梯形的面积-当 f(x)J0 时.由曲线 y=f(x)、两条直线 x=a、x=b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值nJ0i 1 9#nf(x)dx=lim f(J X-lim 7 -f(J=x=-：-f(x)dx当 f(x)既取得正值又取得负值时.函数 f(x)的图形某些部分在X 轴的上方.而其它部分在 X 轴的下方，如果我们对面积赋以正负号.在 x 轴上方的图形面积赋以正号.在 x 轴下方的图形面积 赋以负号.则在一般情形下.定积分bf(x)dx 的几何意义为：它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两 条直线 X、x=b 之间的各部分面积的代数和例 1.利用定义计算定积分20 x dx,，用定积分的定义计算定积分解 把区间0.1分成 n 等份.分点为和小区间长度为x=(1.2*,n1).=1(i=1.2,n).nnnnn2瓦)纠咗纠迈 G)21i 1i=1讣 活1 n(n 1)(2n 14i(1)(2)n4.取 4=討=1.2.,n).作积分和因为计20 x dx TimJ f(i)%=linmi(1 i)(2存1.利定积分的几何意义求积分例 2 用定积分的几何意义求0(1-x)dx,解：函数 y=1v 在区间0.1上的定积分是以 y=1-X 为曲边.以区间0.1为底的曲边梯形的面 积,因为以 y=1以0(1-x)dlxVl2,为曲边.以区间0.1为底的曲边梯形是一直角三角形.其底边长及高均为 1.所三、定积分的性质两点规定：(1)当 a=b 时.ff(x)dx=0.当 a 法时.ff(x)dx=-(f(x)dx.性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和ff(x)_g(x)dx 二ff(x)dxfg(x)dx.(差)即bn/.J i 4证明:af(x)-g(x)dx rlimj f(J_g(i)，xnn-0 i A=lim 二f(JLX二 lim 二g(dxjDi 4：二：f(x)dx_：g(x)dx.性质 2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面bbkf(x)dx=kJf(x)dx.这是因为fkf(x)dx=ljm 瓦 kf(U)xi=kimf G)Axi=k f(x)dx“性质 如果将积分区间分成两部分和即：f(x)dx 二：f(x)dx：f(x)dx.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式：f(x)dx=af(x)dx：f(x)dx成立，例如.当 abc 时.由于af(x)dx=：f(x)dx：f(x)dx.于是有 f(x)dx=af(x)dx jf(x)dx=f f(x)dx+f f(x)dx,性质性质5 5 如果在区间a b上 f(x)-0.则4 4 如果在区间a b上 f(x)三 1 则 fldx=fdx=b-a,f(x)dx _0(a:b).推论1 1如果在区间a.b上 f(x)_g(x)则：f(x)dx E：g(x)dx(a：b).这是因为 g(x)-f(x)_0.从而：g(x)dx-：f(x)dx=g(x)-f(x)dx_O.所以bbaf(x)dx zag(x)dx,推论 2 2|:f(x)dx|/|f(x)|dx(a：b),这是因为 _|f(x)|f(x)|f(x)|.所以j|f(x)|dxwff(x)dx 訂|f(x)|dx.|af(x)dxa|f(x)|dx|.性质 6 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a b上的最大值及最小值.则m(ba)乞af(x)dx 兰 M(b a)(ab),证明 因为 m_f(x)_M.所以,mdx 兰 j f(x)dx 兰 fM d x.从而m(b-a)兰 f f(x)dx EM(b a),性质 7(7(定积分中值定理)如果函数 f(x)在闭区间a b上连续.则在积分区间a.b上至少 存在一个点.使下式成立：f(x)dx=f()(b-a).bb这个公式叫做积分中值公式门：f(x)dxEMm(b-a证明由性质 6各项除以 b得(b-a).m 兰-f f(x)dxEM.b-aa再由连续函数的介值定理.在a b上至少存在一点.使?f(x)dx.baa于是两端乘以 b得中值公式f()积分中值公式的几何解释：应注意：不论 ab.积分中值公式都成立 5 5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在 t 时刻所经过的路程为S(t).速度为 v=v(t)=S(t)(v(t)_O).则在时间间隔T2内物体所经过的路程S 可表示为S(T2)-S(TI)及；2v(t)dt.即Jv(t)dt=S(T2)-S(TI).T1上式表明.速度函数 v(t)在区间T1T2上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间TiT2上的增 量，这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间a.b上连续.并且设 x 为a.b上的一点我们把函数 f(x)在部分区间a.x 上的定积分:f(x)dx称为积分上限的函数，它是区间a b上的函数.记为G(x)二：f(x)dx.或:(x)=：f(t)dt.定理 1 1 如果函数 f(x)在区间a b上连续.则函数G(x)=：f(x)dx在a b上具有导数.并且它的导数为(x)=亠ff(t)dt=f(x)(a 致b).dxa简要证明若 x：=(a.b).取LX使 x7x：=(a.b),=(xix)-(x)=f址 f(t)dt-ff(t)dt=ff(t)dt+也 f(t)dt _f(t)dtxf(t)dt=f().xf()x应用积分中值定理.有其中在 x 与 x：=x 之间.x 0 时x，于是巳叫亍二叭Tm f(x)，(x)(x)=f(a)若x=b.取匚 x0.则同理可证定理 2 2 如果函数 f(x)在区间a b上连续.则函数(X)=：f(x)dx就是 f(x)在a b 上的一个原函数，定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿-莱布尼茨公式定理 3 3 如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间a b上的一个原函数.则:f(x)dx=F(b)-F(a).此公式称为牛顿-莱布尼茨公式.也称为微积分基本公式这是因为 F(x)和(x)=f(t)dt 都是 f(x)的原函数.所以存在常数 C.使F(x)-：(x)V(C 为某一常数).由 F(a)-(a)=C 及:平 a)=0.得 C=F(a)F(x)G(x)二 F(a).由 F(b)(b)二 F(a).得:(b)丰(b)F(a).即f(x)dx=F(b)-F(a),，.另一方面初步地揭示了积分学证明：已知函数 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数.又根据定理 2.积分上限函数G(x)=：f(t)dt也是 f(x)的一个原函数，于是有一常数 C.使F(x)-：(x)(axJD).当 x=a 时.有 F(a)_G(a)=C.而:(a)=0.所以 C=F(a).当 x=b 时.F(b)_G(b)=F(a).所以:：(b)扌(b)_F(a).即:f(x)dx=F(b)-F(a).为了方便起见.可把 F(b)-F(a)记成F(x)b.于是:f(x)dx=F(x)b,=F(b)-F(a).进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例 1.计算0 x2dx.解：由于 1x3是 x2的一个原函数.所以3fx2dx=-x30=113-103=-,030 33#3dx3例 2 计算.d-d?，解 由于 arctan x 是的一个原函数.所以=arctanx0，证明函数 F(x)二 在(0.；)内为单调增加函数证明：dx0X：tf(t)dt:f(t)dttf(t)dtxf(x=)堆0Xf(t)dt=f(x).故(:f(t)dt)2,xf(x)0(0 xf(t)dt)2f(t)dtf(x)0tf(t)dt f(x)0(xt)f(t)dt F(x)=按假设.当 0do 时 f(t)0.(x-t)f(t)0.所以；f(t)dt 0；(xt)f(t)dt 0.exdtosx例 7.求 lim解：这是一个零比零型未定式由罗必达法则.limx)0cosx22os xdt-1edtsin xe os1lim-=lim22x2xx 0 xx0_2e1dt提示设(x)=fe*dt从而 F(x)0(x0).这就证明了 F(x)在(0.：)内为单调增加函数叢广丹琵则(cosx)=e4-20sx)吧(u)裳 4(-sinx)7nx 5,35,3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数 f(x)在区间a b上连续.函数 x=(t)满足条件：(:)a.(2)：(t)在:.-(或:)上具有连续导数.且其值域不越出a b.则有:f(x)dx 二f：(t)dt.这个公式叫做定积分的换元公式证明，由假设知 f(x)在区间a b上是连续.因而是可积的 f(t)在区间:(或.:)上也是连续的.因而是可积的.假设 F(x)是 f(x)的一个原函数.则:f(x)dx 二 F(b)-F(a).另-方面.因为F(t)丰(t)(t)二 f (t)(t).所以 F(t)是 f：(t)(t)的一个原函数.一从而.f(t)b(t)dt=F f-)-F G)二 F(b)-F(a).因此:f(x)dx=f(t)(t)dt.例 1 计算 la2-x2dx(a0),解0、a2 _x2dx”叭 jacost acostdt二 a202 cos2tdt=号02(1 cos2t)dta2“12t in 2t=4a12o提示、a2 _x2=,a2 _a2sin2t=acostdx=a cos t 当 x=0 时 t=0例 2 计算02 cos5xsinxdx,解令 t=cos x.则225255250 cos xsin xdx-0 cos xd cosx令cosxzzt提示当 xn 时 t当 x=2 时 H或2 cos55 5xsin xdx2 cos5 xd cosx-cos6x|?-Icos6-cos6-,60 6 2 6 6例 3 计算0 lsin3x-sin5xdx,33Tf-解0in3x-sin5 xdx=sin2 x|cosx|dx二3-3=02 sin2 xcosxdx-.二 sin2 xcosxdx2二 2 sin2 xdsin x-sin2 xd sinx22525-n2二fsin2x0卡50sin2x?*-(-25)255提示、sin3x-sin5x psin3x(1-sin2 x)二 sin。x|cosx|在0，2】上|cos x|=cos x 在,二上|cos x|-cos x例 4 计算当 x=a 时严亠13字 tdt=1t2 3)dt=13t3t|=1(7+9)_(1+3)2232提示t2 _ix 2dxtdt当 x=0 时 t=1当 x=4 时 t=3证明：若 f(x)在a a上连续且为偶函数.则aa(x)dx=2f(x)dx,证明f(x)dx因为 f(x)dx=f(x)dx+0f(x)dx._：f(_t)dtH0f(-t)dt=：f(-x)dx.所以:f(x)dx=；f(-x)dx0f(x)dx=：f(-X)f(x)dx 二：2f(x)dx=20f(x)dx.讨论若 f(x)在v.a上连续且为奇函数.问a f(x)dx=？提示 若 f(x)为奇函数.则 f(-X)f(x)=0.从而:f(x)dx=of(_x)f(x)dx=0.例 6 若 f(x)在0.1上连续.证明(1)02 f(sin x)dx=02 f(cosx)dx(2)0 xf(sin x)dx0 f(sinx)dx.证明(i)令 x 二刁-t.则0 f(sin x)dx=：fsin(t)dt22兀兀仃二0 fsin(-t)dt 二0 f(cosx)dx.令 x-t.则0 xf(sinx)dx-(二-t)fsin(二-t)dt=0(二-t)f sin(二t)dt=0(二Y)f(sint)dt=:0f(sint)dt-0tf(sint)dt=n 0f(sinxjdxOxf(sinx)dx.xe 公 x_O计算1 f(x_2)dx,解设 x-2=t.则1f(x2)d-1f(t)d 1rC1os|dtjedt122t,0r1_L*11/二tane 丄0=tanq-q提示 设 x_2 二 t贝 U dxdt当 x=1 时 t-_1 当 x=4 时 t=2二、分部积分法设函数 u(x)、v(x)在区间a b上具有连续导数 u(x)、v(x).由(uv)Wv u v 得 uv=uv-uv式两端在区间a.b上积分得所以xf(sin x)dx=f(sin x)dx,例 1 计算 jarcsin xdx,1 1 1解0 arcsin xdx=x arcsin x2-02xd arcsin xxdx三 112 2例 2 计算0e 滾 dx,vdx这就是定积分的分部积分公式分部积分过程：exdx=2ettdt=2 tdet=2 間 0 2 活水A=2e-込创0=2.-iin 为正偶数时F 貯(1)当当n 为大于 1 的正奇数时.In=设 In二01 2sinnxdx.证明1 2m T.2m-3.2m-5.3 1 二2m 2m 2m-2 2m-4 4 2 2证明由此得而 Io=02因此.it02sinnxdx=_02s in.nInnxdcosx12=-cos xs inX孑2cosxds in10 x.It-It二(n-1)02 cos2xsinn xdx 二(n 1)0(sinnx-sin”x)dxIE=(n-1)02sinn_2Itxdx-(n-1)02sinnxdx=(n-1)1n-2-(n-1)1nInI2m2m-1 2m 3 2m 5 3 1,2m 2m-2 2m-4 4 2協 鼻乩.2.2.4.2 I1 2m 1 2m-1 2m-35 3-n仃.itdx 右.h=02 sin xdx=1.2m弩2-3 2m-5 3 12m2m-2 2m-4 4i-2mI2m2 2m 42m 12m 1 2m T 2m3丁设 In二02sinn xdx（n 为正整数）.证明I由此得I1皿.竝二2m III 2m 1 2m-1 2m3 5 34 2证明In=02sinnxdx-02sinnJxdcosx=-cos xs innx0(n-1)j cos2 xs innxdx特别地因此=(n-1)02(sinn-sinn x)dxIE=(n-1)02 sinn xdx(n-1)02sinn xdx=(n-1)1n-2-(n-1)In.I.n-1|Inn In-2 I2m-2m-1 2m-3 2m-5.3 10 2m 2m-2 2m V 4 2I _ 2m 2m-2 2m _4 4 2I2m 1 _2m 1 2m1 2m3 5 3IV.ItItI。=o2dx=2.丨1二02sinxdx=1.I 2m-1 2m-3 2m-5 3 1 二2m一 2m 2m-2 2m-4 4 2 2III 二 2m 2m-2 2m-4 4 22m12m 1 2m1 2m3 5 3 5,45,4 反常积分、无穷限的反常积分定义 1 1 设函数 f(x)在区间a.)上连续.取 ba.如果极限limb 存在.则称此极限为函数f(x)在无穷区间a.)上的反常积分.记作 J f(x)dx 即1f(x)dx lim bfgdx,这时也称反常积分f(x)dx 收敛“如果上述极限不存在.函数 f(x)在无穷区间a.+)上的反常积分 af(x)dx 就没有意义时称反常积分a齐(x)dx 发散,类似地.设函数 f(x)在区间(二 b 上连续.如果极限lim：f(x)dx(a0）,0tetdt=tedt0：=计tde4t0-:）4 _ tePP1u）t1edt-：0PPlim 一tr P提示 lim te_pt1te_pt2 e_ptp$pplim lim 与=0t）：t）：:ept t）：pept/i例 3 讨论反常积分pdx（a0）的敛散性,X解 当 p=1 时.a乞pdx=Xdx=lnx严=亦，L xx#当 P1 时aJpdX=比 X1申 a1 _P：因此.当 P1 时.此反常积分收敛其值为育.当 PF 时.此反常积分发散xyI _p、无界函数的反常积分定义 2 设函数 f(x)在区间(a b上连续.而在点 a 的右邻域内无界.取0.如果极限lim f（x）dxt=a ta存在.则称此极限为函数 f(x)在(a.b上的反常积分.仍然记作 ff(x)dx.即f f 仪曲=严+f（x）dx.这时也称反常积分ff(x)dx 收敛,如果上述极限不存在.就称反常积分af(x)dx 发散，类似地.设函数 f(x)在区间a b)上连续.而在点 b 的左邻域内无界，取0.如果极限b-alimf(x)dx存在.则称此极限为函数 f(x)在a.b)上的反常积分.仍然记作bf(x)dx.即af(x)dx=maf(x)dx,这时也称反常积分ff(x)dx 收敛，如果上述极限不存在.就称反常积分 ff(x)dx 发散，设函数 f(x)在区间a b上除点 c(acc 1dx解 因为 lim22【二，.所以点 a 为被积函数的瑕点.xa一、a2-x21 r dx 珂 arcsinxalim arcsin-0=-1-=爰例 5 讨论反常积分、a2_x2dx的收敛性a0 xa-a 2解 函数 J-在区间_1.1上除外连续.且 lim Ax2T x2由于斗=亦 即反常积分.dx 发散.所以反常积分 4 dx 发散Xx令的敛例 6 讨论反常积分散性dx-1解当 q=1 时当当二In(x-a)b=；q1时:為司七(x a)-2：aq：1时：證胃吉(x a)1-钳二吉(b a)-2因此.当 q1 时.此反常积分收敛.其值为古(b-a)1円当q_i 时.此反常积分发散，1q