3.3 第1课时.docx
第三章3.3第1课时基础巩固一、选择题221 .双曲线靠一器=1的焦距为（）JL U 乙A. 32B. 4/2C. 373D. 473答案D解析c2=a2+b2=10+2 = 12,则 2c=4/，故选 D.2.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA| - |PB|=3,。为AB的中点，则|P0|的最小值A.A.C. 2D. 4升/答案B/解析如图，以AB为x轴，AB中点0为坐标原点建系.，|PA| a o b 7 _|pb|=3；.P点轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.由图知|P0|最短为*3.在方程mx2my2=n中，若mnO,则方程的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线答案D22解析方程nix?my2=n可化为：工一工=1, n n m m二方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.4.已知明、F2为双曲线C： x?-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PFd =2|PF2|,则cosNF】PF2=（） D.答案C解析本题考查双曲线定义.由| PFJ =21PF21及| PFJ | PF21 =2明知| PF2| =22l4、历 2+ 2、历 242 3，|PFi|=4镜，而 |FR|=4,二由余弦定理知 cosNF】PF2=-乂4小/平225 .过双曲线方一=1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为（） <5 TCB. 43D. 873答案C解析Va2=3, 1?=4,（?=7,，c=小,该直线方程为x=<7,由卜=小y-?=1得y'与，零弦长为挛2.设P为双曲线x2-=l上的一点，艮，F2是该双曲线的两个焦点，若|PR| 一 |PF21=3 2,则aPFR JL乙的面积为（）A. 6小B. 12C. 123D. 24答案B解析由双曲线定义知I |PF1| |PF2| |=2又一|PFi| |PF2|=3 2, A|PFi|=6, |PF2|=4,由双曲线方程知 1=1, b2=12, Ac2=13, A|FiF2|=2c=2/13,由 |PR12+ |PF2|2=|F1F212得 PFi±PF2,.SAPFiF2=1|PFi| |PF2|=|x6X4 = 12.乙乙二、填空题27.双曲线卷一x2=l的两个焦点坐标是.答案（0, ±小）解析a2=2, b2=l, c?=3, c=±4，又焦点在y轴上.228.若方程占一出 =1表示双曲线，则实数k的取值范围是.k-3 k十 3答案k>3或k<3解析当k-3>0 k+3>0 ,即k>3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当k3<0 k+3<0 ,即k<一3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.所以若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<-3.总结反思错解中得到k>3的结果是不完整的，这是由于对双曲线标准方程理解不深刻，误认为该方程22仅表示焦点在X轴上的双曲线，遗漏了焦点在y轴上的情况,事实上,若方程工一工=1表示双曲线，则应有PQ>0.p q三、解答题229.求与双曲线金一：=1共焦点，且过点（3镜，2）的双曲线方程.解析由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为济；一名=1. 16k 4十k由于点（3镜，2）在所求的双曲线上，什± 184_1从而有16 - k 4+kL整理，得 k2+10k56=0, ；.k=4 或 k= 14.又 16-k>0, 4+k>0, A-4<k<16.22从而得k=4.故所求双曲线的方程为±一卷=1.1Z o2210.若Fl、F2是双曲线看一2=1的两个焦点，P在双曲线上，且|PFj |PF2|=32,求NF1PF2的大小. y 10解析由双曲线的对称性，可设点P在第一象限,由双曲线的方程，知a=3, b=4, Ac=5.由双曲线的定义，#|PFi|-|PF2|=2a=6.上式两边平方，得 |PFF+|PF212=36+2 |PFi| IPF21 =36+64=100,由余弦定理，得cosZFiPF2=cosZFiPF2=|PFJ2+|PF2|2一|F1F2|2 2|PF1| |PF2|100-100= 2|PF1| |PF2|=0*A ZFiPF2=90° .总结反思在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点.另外，还经 常结合I iPFj-lPFal |=2a,运用平方的方法，建立它与|PF1|PF?|的联系，请同学们多加注意.能力提升=一、选择题1.对于常数m、n, “mn>0”是“方程1）+.2=1的曲线是椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由mn>0,若m=n,则方程g2+”2=1表示 圆，故mn>0=/方程mx2+ny2=l表示椭圆，若mx2+ny2=l表示椭圆=mn>0,故原题为必要不充分条件，充分理 解椭圆的标准方程是解决问题的关键.2.已知点F1（一4,0）和F2（4,0）,曲线C上的动点P到Fi、F2距离之差为6,则曲线C的方程为（）22X V A 7-7=1衿=l(y>0)7_=l(x>0) y I答案解析由双曲线的定义知，点P的轨迹是以R、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：三y=l(x>0).3 .已知双曲线卷一卷=1的焦点为Fi、F2,点M在双曲线上，且MFx轴，则F1到直线F2M的距离为( ) o J答案C解析求出M点的坐标，写出直线MF2的方程，用点到直线的距离卡/公式求解.如图，由今一=1 知，Fi(-3, 0), F2(3, 0).设 M(3, yo),贝!I y。 , 5c =±乎，取 M(3,工直线MF2的方程为乎x+6y一=0,即x+2/6y3=0.A点用到直线MF2的距离为 -7I+24 5答案解析PR的中点坐标为(0, 2),4 .已知双曲线中心在原点且一个焦点为R(一4 0),点P位于该双曲线上，线段PR的中点坐标为(0,2) 则双曲线的方程是()P点坐标为(m，4), A2a=|PFi|-|PF2|=yj 5+5 N- 0-4 -yjM- 04= 64=2,.a=l 又,: c=# .b2= ()212=4,二、填空题5 .已知双曲线X?y2=l,点Fi、F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PFPF2,贝U |PFi| + |PFz|的 值为.答案273解析本题考查了双曲线的概念.-S：|PFi| =m, |PF2| =n,根据双曲线的定义及已知条件可得|mn| =2a=2, m2+n2=4c2=8, A2mn=4, (|PFi| + |PF2|)2= (m+n)2= (mn)2+4mn=12,，|PFi| + |PF2|=2 低充分利用PFPF2,将I IPF11 IPF21 I =2a,转化到| PF1| 十 | PF21是解决本题的关键.6 .若双曲线x?y=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是镜，则a+b=.答案|解析由条件知，|a2-b2=l'岩或彳 a+b = 7； ab=2或彳 a+b = 7； ab=2丁 a>0 且 a> I b I,，a+b=1.三、解答题动点，点Q在圆的点Q的轨迹方程.角形边长相等进行7 .已知C为圆(x+也¥+y2=4的圆心，点A(镜，0), P是圆上的 半径CP所在直线上，且前靠=0,律=2赢.当点P在圆上运动时，求 分析画出图形，由条件可得QM是AP的中垂线，先利用等腰三 转化，然后利用双曲线的定义即可求出点Q的轨迹方程.解析圆(x+也¥+y2=4的圆心为C(一镜，0),半径r=2.VMQ-AP=0, AP=2AM, AMQ1AP,点M是AP的中点，即QM是AP的中垂线，连接AQ,则|AQ| = |QP|.A| |QC|-|ffi| | = | |QC|-|QP| | = |CP|=r=2,又I语I =2镜2,根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(一也，0), A(镜，0)为焦点，实轴长为2的双曲 线，由c=也，a=l,得b?=l,因此点Q的轨迹方程为X?y2=l.总结反思(1)本题是一个常考的利用圆锥曲线定义求解圆锥曲线方程的例子，用定义法求轨迹的方法小 巧而精致，是近几年来高考的重点和热点.(2)在本题的解答过程中，我们要有解题的预见性，从C(一也，0), A (镜，0)两个点的对称性，我们应该 优先考虑到圆锥曲线的定义，所以思维的入手点，应该去尝试动点到两个定点的距离之和或者是距离之差的绝 对值，从而达到利用定义顺利解题的目的.2 22 28.已知椭圆当+V=l(ab0)与双曲线与一3=10, b20)有公共焦点F】、F2,设P是它们的一个交点.31 Di3,2 02(1)试用bi, b2表示F1PF2的面积;(2)当bi+b2=m(in>0)是常数时，求F1PF2的面积的最大值.解析 如图所示，令NF】PF2=8.所以 SZFFF2=5|PFj PF2 sin 0因 |FF2=2c,则 a；b；=a：+b：=c2.即 aia2=b?+b2.由椭圆、双曲线定义，得|PFi| + |PF2|=2ai, |PFi|-|PF2|=2a2(4|PFi|>|PF2|),所以 |PFi| =ai+a2, |PF2| =aia2,n |PFi| a?a2+|PF2|2-4c2C0S 2|PFi| |PF2|ai+a2 2+ ai-a2 2-2 a?bi 2 a：+b：=1(aia2) 2=bib2.(2)当bi+b2=m(m>0)为常数时八人一 /bi+bz、o mSZkFlPF2 = blb2 ( Q ) =7y 乙Tl所以FFF2面积的最大值为全
