10.2 事件的相互独立性、概率与频率 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(教师版).docx

事件的相互独立性、概率与频率知识剖析1事件的相互独立性独立事件对任意两个事件A与如果PQ4B) = P(/)P(B)成立，则我们称事件4与事件B相互独立，简称独立.九个事件独立几个事件，两两独立时，等式P(4i424i) = P(/i)P(/2)PMU)成立.2频率与概率频率的稳定性一般地，随着试验次数九的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(4)会逐渐稳定于事 件4发生的概率PQ4),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(4)估计概率P(4).案例 我扔骰子前3次都是6,那第4次投出骰子是6的可能性有多大呢？理性分析，应该是g因为第4次投骰 6子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前300次都是6,那第301次是6的可能性又有多大呢？此时，频率 的稳定性会告诉你第301次是6的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输 的原因了么！案例 估值亦值.(可百度下“用概率计算圆周率兀”)(2)随机模拟蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法.经典例题【题型一】概率与频率【典题1】下列说法中，正确的是( )A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B.做几次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率”就是事件的概率 nC.频率是不能脱离几次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D.任意事件4发生的概率PQ4)总满足0 V P(A) < 1.【解析】根据题意，依次分析选项：对于4由概率与频率的关系，A正确；对于8,概率是频率的稳定值，B错误；对于C,由概率与频率的关系，C正确；对于。，任意事件4发生的概率率PQ4)总满足04尸4 1,。错误;故选：AC.【点拨】正确理解概率与频率之间的关系.【题型二】独立事件【典题1已知事件48,且PQ4) = 0.4, P(B) = 0.2,则下列结论正确的是()A.如果B c 4 那么P(4UB) = 0.4, PQ4B) = 0.2B.如果/与8互斥，那么PQ4UB) = 0.6, P(AB) = 0C.如果4与B相互独立，那么PQ4UB) = 0.6, PQ4B) = 0D.如果4与5相互独立，那么P(3月)=0.48, (WB) = 0.12【解析】事件4 B,且1(4) = 0.4, P= 0.2,对于4 若 5 =则P(4UB) = PQ4) = 0.4, PQ4B) = P(B) = 0.2,故/正确；对于若4与B互斥，则PQ4UB) = PQ4) + P(B) = 0.6, P(4B) = 0,故8正确；对于C,若4与8相互独立，则PQ4B) = PQ4)尸(B) = 0.08,PQ4UB) = PQ4) + P(B) - P(ZB) = 0.4 + 0.2 - 0.08 - 0.52,故C错误；对于。，若“与B相互独立，则P(才与)= P(4)P(月)= 0.6x0.8 = 0.48,P(lB) = P(4)P(B) = 0.6 x 0.2 = 0.12,故。正确.故选：ABD.【点拨】可借助“ezui图理解事件之间包含、和事件与积事件；事件的互斥与事件的独立要作好区别：事 件4、8互斥，说明两个事件不可能同时发生；而事件4、8相互独立，是指两个事件发生互不影响.【典题2】三个元件TV T2, T3正常工作的概率分别为p £且是互相独立的.将它们中某两个元件并 联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是.TiT.【解析】记A正常工作为事件4 &正常工作为事件B，记久正常工作为事件C， 则PQ4)=2 ,P(B) = P(C)=j；电路不发生故障，即71正常工作且72 ,73至少有一个正常工作，72、73不发生故障即72、73至少有一个正常工作的概率A = (I3)(1 -)=!|，(淘汰法)所以整个电路不发生故障的概率为P = P(Z) x Pi = ： x提=高 21632故答案为：1【点拨】遇到“至少”“至多”之类的字眼，可考虑用淘汰法.【典题3】校运动会招聘志愿者，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率是|,甲、乙两人都不能被录用的概率为之，丙、乙两人都能被录用的概率为3且三人是否录用相互独立. 12o(1)求乙、丙两人各自能被录用的概率；(2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率.【解析】(1)设乙、丙能被录用的概率分别为, y,3-4 1-2 - - % y1，乙、丙能被录用的概率分别为：，彳2(2)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为/、B、C,9Q1则P(A)=W，P(B)=4, P(C)=2，且4、B、C相互独立，三人至少有两人能被录用包括4BC、ABC. ABC. 48不四种彼此互斥的情况，(理 解题意，明确所求概率对应事件包含的“小事件”)则其概率为 P(ABC + ABC + ABC + ABC) = P(ABC) + P(ABC)+ P(4 万 C) + PABC)2 3 1 . 1 3 1 . 2 1 1 . 2 3 117= 3X4X2 + 3X4X2 + 3X4X2 + 3X4X2 = 24-【典题4】某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当t = 0时甲在地，乙在8地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为P(t),则P(2)=；P=-B【解析】给每个景区编号，记t时刻，第k(k = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9,10)个景点路径条数为/(/C ")，则(k，“满足以下条件：/(I=/(2 ,t-l)+/(3 ,t-l)+/(4 ,t-l)+/(5 ,t-l)/(2 ,t) =/(l ,t-l)+/(3 ,t-l)+/(6 ,t-l),/(3 ,t) =/(l ,t-l)+/(3 ,t-l)+/(5 ,t-l)+/(8 ,t-l)f(4 ") =/(l ,t-l)+/(3 ,t-l)+/(5 ,t-l)+/(8 ,t-l)/(5 ,t) =/(l ,t-l)+/(4 ,t-l)+/(9 八一 1),f(6 ,t)=f(2 ,l)+/(7 ,l)+/(10 -1),“7 ,t) =/(3 ,t l)+f(6 3一1)+/(8 ,t-l)+/(10 ,t-l)/(8)=/(4-l)+f(7-1)(9 ,t-l)+/(10 /一1),f(9 =/(5。- l)+/(8 ,t-l)+/(10 ,t-l),/(IO ")=/(6 "-1)+/(7 "-1)+/(8 "-1)+/(9 "-1),图象对称，P(2)=P(2)=349C 40, .11, .122 x x F 4 X x F 4 X x =141414141414P(3) = 2.x4 一 72 , .84F 4 x x F 4 x x =525252525229338故答案为：总29338巩固练习1 ()下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故3、。不正确.频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确.故选：C.2(*)气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是()A.茂名市明天将有80%的地区降雨B.茂名市明天将有80%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定要淋雨D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大【答案】D【解析】茂名市明天降雨的概率是80%的含义是：茂名市明天降雨的可能性达80%,二。正确,故选：D.3(*)下列说法正确的是()频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；概率就是频率.A.B.C.D.【答案】C【解析】在第四个说法中，概率就是频率是错误的，故答案中只要包含就是错误的,故只有A,。不包含，而A和。的区别在于对不对，每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数，这个说法是正确的, 故选：C.4（）抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P2, G，则下列判断中错误的是（）A. P=P?=P、 B.勺 + 6=勺 C. + 鸟 + 勺=1 D.6=2片=26【答案】A【解析】抛掷两枚硬币，记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为鸟，鸟,1, 4 2 21, 4 2 21111xF X 2 2 2 2.6 =。4，故A错误；+6=勺，故5正确； + 2 + 6=1,故C正确；勺=2=2乙，故。正确.5(*)(多选题)已知事件A, 3相互独立，且P(A) = L p(b)= L 则( ) 32_?-12- -1A. P(A) = -B. P(AB) = C. P(A + 3) = D. P(AB + AB) = -333-2【答案】AC【解析】事件A，3相互独立，且P(A) = L P(B) = -9 32_i o对于 A, P(A) = l-P(A) = l- = -,故 4 正确； 3 3对于 3, P(AB) = P (A) P(B) = 1 x (1 -1) = 1 ,故 3 错误;对于C, P(A + B) = P(A)+P(B)-P(B) = - + i-xl = -,故C正确；3 2 3 2 3对于。，P(ABAB) = P(AB)- P(AB)-P(ABAB) = -x-x-x-x-x- = -,故。错误.3 2 3 2 3 2 3 2 9故选：AC.6（*）（多选题）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则下列结论正确的为（）A.两人都中靶的概率为0.72B.恰好有一人中靶的概率为0.18C.两人都脱靶的概率为0.14D.恰好有一人脱靶的概率为0.26【答案】AD【解析】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，设事件A表示“甲中靶”，事件3表示“乙中靶”，则P(A) = 0.8,尸(B) = 0.9,对于A,两人都中靶的概率为P(A3) = P(A)尸(B) = 0.8x0.9 = 0.72,故A正确；对于恰好有一人中靶的概率为：P(AB + AB) = (1 _ 0.8) x 0.9 + 0.8 x(l- 0.9) = 0.26 ,故 3 错误;对于C,两人都脱靶的概率为：P(AB) = (1 - 0.8)(l- 0.9) = 0.02 ,故 C 错误；对于Q,恰好有一人中靶的概率为：P(AB + AB) = (1 - 0.8) x 0.9 + 0.8 x(l-0.9) = 0.26 ,故 D 正确.故选：AD.7.(十)打靶时，A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都 中靶的概率是.【答案】K乙kJ【解析】A每打10次可中靶8次，3每打10次可中靶7次乂中靶的概率是* = 3, 3中靶的概率是工， 10 510A和3是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是3义工=四， 5 10 25&.()从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为工，1, 1, 一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为234【答案】: 4【解析】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分 别为工，234一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为：P = x-x(l )+ x(l )x + (1 )x-x =.2 3423 42 3 4 4火)甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为:，P且彼此射击互不影响，现在三人射 234击该目标各一次，则目标被击中的概率为.(用数字作答)【答案】I4*【解析】目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，故目标被击中的概率是=p故答案为：3 1()()排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为|,前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是.【答案】考2【解析】,排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为J,前2局中乙队以2： 0领先，最后乙队获胜的概率：P=g + |'xg +(|")2 X g =另.“()如图，元件4。= 1, 2, 3, 4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在N之间通过的概率是.【答案】0.8829【解析】电流能通过从、儿，的概率为0.9x0.9 = 0.81,电流能通过人的概率为09故电流不能通过4、4，且也不能通过4的概率为(1-0.81)(1-0.9) = 0.019,故电流能通过系统4、4、A.3的概率为1-。,。19 = 0.981,而电流能通过A4的概率为0.9,故电流能在M , N之间通过的概率是(1-0.019)x0.9 = 0.8829 ,12 ()某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通 过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书 法”、"诗词，"理学'三个社团的概率依次为血、；、n,已知三个社团他都能进入的概率为2，至少进入一324个社团的概率为：且血九. 4求TH与九的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同 学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校 本选修课学分分数不低于4分的概率.【答案】(1)租=底九=；(2)： Z4o【解析】(1)由题意列出方程组，得(11-mn =324/IIl-(l-m)(l-1)(l-n) 解得瓶=”几=7m> n(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为获得样本等候课学分分数不低于4分为事件4则 P(XQ则 P(XQ1 - 4X2 - 3X1 - 2P 1_, = 1 - 4X 1 - 3X 1 - 2 =工商 =1 - 4X1 - 3X1 - 2 =PQ4) = P(X4) + P(X5)+ P(X6)= < + 或 + ,=也