【新教材精创】7.3.2离散型随机变量的方差 导学案- .docx
离散型随机变量的方差学习目标.通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义1 .会求离散型随机变量的方差、标准差.2 .会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.重点难点重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.知识税理L离散型随机变量取值的方差一般地，假设离散型随机变量X的概率分布列为:XX1X2 Xi X nPP1P2 Pi P n那么称 O(X) = (xEX)2 月 + + (七EX)2p, + (x EX)2" = Z(Xj £X)2p,为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称o(X)= 再为随机变量X的标准差。2、离散型随机变量。的期望与方差的性质名词数学期望方差定义E化尸& P +1 +-+& P 112 2n n222D&尸熔-E p +g-E | P+.+R -E p 1122nn性质(l)E(a)=a(a 为常数)(2)E(*)=aE0(a和 (3)E(a4+b尸aE0+b(a,b 为常数，且时0)(l)D(a)=O(a 为常数)2(2)D(a)=a D©(a加)2(3)D(a1+b尸a D©(a,b 为常数，且 aRO)数学 意义E©是一个常数,它反映了随机 变量取值的平均水平，亦称均值D©)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳 定与波动、集中与离散的程度学习过程一、问题探究随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋 势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们 还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.探究1:从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击 中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度？问题1 .某人射击10次，所得环数分别是：122,2,3,3,4；那么所得的平均环数是多少？问题2.某人射击10次，所得环数分别是:1,2,223,3,4；那么这组数据的方差是多少？问题3：方差的计算可以简化吗？问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？二、典例解析例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。方差的计算方法2方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X的均值比拟好计算的情况下，运用关系式222D(X)=E(X )-£(X)不失为一种比拟实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX+b)=a 0(X)(存0).跟踪训练1的分布列为(1)求”的方差及标准差；设 y=2E(),求 r>(n010205060P1325115215115例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示:收益X/元-102概率0.10.30.6表1表2收益X/元012概率0.30.40.3（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤L比拟均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2 .在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.3 .下结论.依据均值和方差做出结论.跟踪训练2.A、8两个投资工程的利润率分别为随机变量Xi和X2,根据市场分析，X和X2的分布 列分别为Xi2%8%12%P0.20.50.3Xi2%8%12%P0.20.50.3%25%10%P0.80.2求：（1）在A、5两个工程上各投资100万元，H和匕分别表示投资工程A和B所获得的利润，求 方差万H）和万差）;根据得到的结论，对于投资者有什么建议?达标检测.给出以下四个命题：离散型随机变量X的均值E(X)反映了 X取值的平均值；离散型随机变量X的方差。(出反映了 X取值的平均水平；离散型随机变量X的均值E(X)反映了 X取值的平均水平；离散型随机变量X的方差。(反映了 X取值偏离于均值的平均程度.那么正确命题应该是()A. B.C D.1 .把下面X的分布列填写完整：并完成问题其中 p£(O,l),那么 £(X)=, Z)(X)=.X01PP3,离散型随机变量X的分布列如下表.假设E(X)=O,D(X) = 1,=,b=.X-1012Pabc1124.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下，甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区:Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.课堂卜结参考答案:知识梳理学习过程 一、问题探究探究 1： E(X)= 8 ;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。表1P 0.090.240.320.280.07表2射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分 别是X和Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。探究2：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值 的“偏差平方的平均值”来实现的，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的 “偏差平方的平均值”来度量呢？、- 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4问题L X=1014c 3 c 2 彳 1 -=lx i-2xi-3x i-4x =210101010X1234p410310210110问题2.? = (1- 2)2 +(1-2)2 + (1-2)2 +(1-2)2 +(2-2)2+(2 2)2+(2 2+(3 2+(3 2y+ (4 2f=1 (% x)? + , + (七-X) + , +- X)? n479/ = x(1-2)2 3+ x(2-2)2+ x(3-2)2 +101010反映这组数据相对于平均值的集中程度的量x10(4 2因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:102O(x)= Z(' 8)P(X =，) = 1 . 16,1D(X) X1.077; z=6 102。(丫)= Z (z- 8) P(Y = i) = 0.92, x 0.959;z=6因为D(Y)D(X)(等价地，VD(Y)<Vd(X),所以随机变量丫的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。问题3: D(X) = 2之式/£褥)20=- 2E(X)%i + (E(X)2)pi = (E(X)2i=l1=1问题4：离散型随机变量X加上一个常数。，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=D(X)而离散型随机变量X乘以一个常数，其方差变为原方差的。倍，即D(qX)=D(X)2因此，Dmx+A)=4 D(x).二、典例解析例1:解：随机变量X的分布列为P(X = k) = g k = 123456因为E(X) = , 62211E(X ) = (1<2 x -) = -(l2 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)所以 i=lD(X) =i=l35122X152X15跟踪训练 1 W：(l)VE(/)=0xi+10x-4-20x-4-50x-+60x-=16, 35151515E(Y)=OxO.3+1 x0.4+2x0.3=1.因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为2222D(X)=(-1) xO.l+O xO.3+2 xO.6-1.1 =1.29,2222D(Y)=O xO.3+1 xO.4+2 xO.3-1 =0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。跟踪训练2.解：(1)题目可知，投资工程A和8所获得的利润力和匕的分布列为:Ki2812P0.20.50.3y2510P0.80.2所以£(；) = 2x02 + 8x0.5 + 12x03 = 8；。(毛)=(2-8)2 x0.2 + (8-8)2 x0.5 + (12-8)2 x0.3 = 12双为)= 5x0.8 + 10x0.2 = 6；。(n)=(5 6)2 x0.8 +(10 6)2x02 = 4解：(2)由可知E(X)>E(%),说明投资A工程比投资3工程期望收益要高；同时。(乂 )>。(匕)，说明投资A工程比投资3工程的实际收益相对于期望收益的平均波动要 更大.因此，对于追求稳定的投资者，投资3工程更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承当 风险的投资者，投资A工程更合适.达标检测. D1 .解析：而由分布列的性质有p+x=l, x=l-pa X) = 0x(l-p)+lxp=p,22D(X) = (0p) 切+(1p)p=p(l-p).答案：1-p； p； p(l-p).解析:由题矢口 6Z4-/74-C=,-(2+c4-=0,l2Xfl+l2Xc+22X=1, 12612解得二力=；. 124答案卷;3 .解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)=0x0.3 + lx0.3+2x0.2+3x0.2=1.3,2222D(X)=(0-1.3) x0.3+(l-1.3) xO.3+(2-1.3) x0.2+(3-1.3) x。2=1.21.乙保护区的违规次数y的数学期望和方差为E(y)=OxO.l +1 x0.5+2x0.4=1.3,222D(y)=(0-1.3) XO.1+(M.3) x0.5+(2-1.3) x0.4=0.41.因为E(X)=E(r)Q(X)>D(。所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理 水平比甲高.。(牛)=(0 16)2 x 工+(1 o-16)2 X-+(2O-16)2 X+(50-16)23515+(60/6)2x=384,，二8 否(2); y=2E("),，Q(y)=O(2-£()=22Z)()=4x384=l 536.例2：解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1 )x0.1 +0x0.3+2x0.6= 1.1,
