专题03 排队问题（解析版）.docx

专题3排队问题例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A. 1440 种B. 960 种C. 720 种D. 480 种【解析】可分3步.第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有6=20种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A：=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有& =2种排法最后，三步方法数相乘，共有20 x 24 x 2 = 960种排法故选：B.例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A. CXB. C；展C. C湾D. CX【解析】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，为 4故选：C.例3. 10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）（1） C；6B. CXc.D.【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C；种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A；,【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有用种情况,将这个整体与5名男生全排列，有用种情况，则女生必须排在一起的排法有£可种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有用种情况，则甲必须站在排头有2用种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有用用种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有鼠种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有A；种情况，则甲、乙两人不相邻有或种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有4种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有g履种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有£种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有星种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有66种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有国种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有反种情况，将男生、女生整体全排列，有用种情况， 则男生在一起，女生也在一起，有月用反种不同排法;(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况,将剩下的6人全排列，有那种情况，则第3和第6个排男生，有父可种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有4；种情况，将剩下的6人全排列，有4种情况，甲乙不能排在前3位，有6星种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有父种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有四种情况， 则女生两旁必须有男生，有£国种不同排法.例21.已知有7名同学排队照相：(1)若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？(6)若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：(1)若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有闻=5040种方法.(2)若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排,方法有用=576种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排,方法有种，故共有576 + 576 = 1152种方法.(3)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好,5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有&6A：=960种.（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空, 插入3名女生，有封=144种的排法.（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有A16=1440种，而所有的方法有q =5040种，故两端不能都排男生的排法有5040-1440 = 3600种.（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有9=720种不同的排法.7例22.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2） 丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有4： =24种；（3） 丁不能排在中间，先排丁有C： =4种排法，然后其他任意排有父=24种，所以丁不能排在中间共有4x24 = 96种；（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有=2,其他任意排列有用=6种，所以丙、丁必须排在两端共有2x6 = 12种；（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有=6种，其他任意排列有=6种，所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6x6 = 36种；（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，甲在排尾，其他任意排列有尺=24种,甲不在排尾，甲有C； =3种，然后乙有C； =3种，其他任意排列有A； =6种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有24 + 3x3x6 = 78种.例23.7位同学站一排.（1）站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？（10）甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？（11）甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排，（1）站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是种；（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排, 故排法种数是魔种；（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法 种数是66种；（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有醴种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第 一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5x5x6；(5)甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共A；种，将其看作一个元素与另五个元素全排 列,有4种，故共有用用种；(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有&种；(7)甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共 有£ x耳种；(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插 入隔开的五个空档中，故共有种；(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人 相邻的排法种数，共有种；(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别 插入另外四个元素隔开的空档中，故共有种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的, 所以共有,4种排法.2 7例24. 6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？甲、乙必须站在排头或排尾甲、乙.丙三人相邻甲、乙、丙三人互不相邻甲不在排头，乙不在排尾若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.【解析】甲、乙必须站在排头或排尾，则有用曷=48种不同排法；甲、乙、丙三人相邻，则有父转=144种不同排法； 甲、乙、丙三人互不相邻，则有用尺=144种不同排法;甲不在排头，乙不在排尾，则有£-26+阂=264种不同排法；6个人站成一排，有屋种，甲在左端的有反种，甲和乙相邻的有可否种，甲既在左端也和乙相邻的有所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有4 -6+A： =384种.例25. (1) 一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?(2) 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？【解析】(1)先将3人(用x表示)与4张空椅子(用口表示)排列如图小口口乂口口乂)，这时共占据了 7张椅子，还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位，如图中箭头所示(JxLUDxLUDxJ),即从4个空当中选2个插入，有C：种插法；二是2张插入同一个空位，有C：种插法，再考虑3人可交换有6种方法，所以，共有用(C：+C：) = 60 (种),(2)可先让4人坐在4个位置上，有种排法，再让2个“元素”(一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”)插入4个人形成的5个“空当”之间，有用种插法，所以所求的坐法数为尺6 =480.例26. 6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【解析】6个人排有魔种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C；=35种插法，故空位不相邻的坐法有星端=25200种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A7种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有用片=30240种.(3) 4个空位至多有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有C；种坐法；4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C；C；种坐法;4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C；种坐法.综合上述，应有婕(。；+&。；+。；)= 115920种坐法.不同的调整方法有c；M，故选：B.例4.在数字1, 2, 3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A. 6B. 12C. 24D. 18【解析】在数字1, 2, 3与符号”五个元素的所有全排列中，先排列1, 2, 3,有可=6种排法，再将“ +”两个符号插入，有A；=2种方法，共有12种方法，故选：B.例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须 连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）A.B.用C.D. &四£【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有用种放法，再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有反种方法，故不同的陈列法有用禺6种，故选：D.例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻， 则不同排法的种数是（）A. 360B. 288C. 216D. 96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有用=432种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有2xC；&A；& =144种，不同的排列方法共有432-144 = 288种故选：B.例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的任一排列以7中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种.A. 576B. 720C. 864D. 1152【解析】根据题意，先排1、5、7,有用=6种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有用=24种情况，3不能放在6 的两边，有5种排法，则此时有24x5 = 120种不同的排法，3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6 一起排在4个空位中，有A：=12种情况，则此时有2x12 = 24种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有120 + 24 = 144种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6x144 = 864种；故选：C.例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人 的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A. 168B. 20160C. 840D. 560【解析】从后排8人中选2人共C；种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，.6x5则不同调整方法的种数是C；£=840.故选：C.例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾 救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4歹!J,且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有（）A. 36 种B. 108 种C. 216 种D. 720 种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有c；c；,再将两组分别按要求排序，各有A；种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有=720种.故选：D.例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A中A：A：=576,3 中 =720,C 中&" + 3硕=1440 ,O 中父 6 =1440.综上可得：8正确.故选：CD.例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个.（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有闻种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有4；种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列" ,根据分步计数原理得到这种数字的总数有用& =576 ,故答案为：576.例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1)甲站正中间的排法有8! 种,甲不站在正中间的排法有 种.(2)甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种.(3)甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有 种，丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有 种.(4)甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种.(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种.(6)女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种.(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有 种.(8)甲乙之间有且只有4人的排法有 种.【解析】(1)甲站正中间的排法有8!,甲不站在正中间的排法有8x8 !;(2)甲、乙相邻的排法有2x8!,甲乙丙三人在一起的排法有6x7 !；(3)甲站在乙前的排法有9 !,甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有9!,丙在甲乙之 26间(不要求一定相邻)的排法有19!;3(4)甲乙不站两头的排法有用用；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9! -2x8! +7!；(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5 ! x4!；(6)女生互不相邻的排法有5!男女相间的排法有5! x4!；(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有9! -2x8! x2 + 2x7 !；(8)甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法.2x#x4!.故答案为：(1)8!, 8x8 ! (2) 2x8 !, 6x7 ! (3) -9 !, -9-9 !;263(4)用用；9! -2x8 ! +7 !； (5) 2x5 ! x4 !； (6) 5! x星，5! x4 ! x2(7) 9! -2x8 ! x2 + 2x7 !; (8) 2xA；x4!.例13.古代“五行”学说认为；“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火， 火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法 有10种(结果用数值表示).【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5x2x1x1x1 = 10故答案为10例14.从集合P, Q, R, S与0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中各任取2个元素排成一排（字母和 数字均不能重复）、每排中字母。和数字。至多只能出现一个的不同排法种数是5832 .（用数字作答）、 【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有每排中字母。和数字。都出现有符合题意不同排法种数是 C：C；A：=5832.故答案为：5832例15.从集合O, P, Q, R, S与0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中各任取2个元素排成一排（字 母和数字均不能重复）.每排中字母O,。和数字。至多只能出现一个的不同排法种数是一 8424.（用数 字作答）.【解析】由题意知每排中字母O, Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O,有=3x36x24（2）这三个元素只选Q同理有3x36x24（3）这三个元素只选0有父=3x9x24（4）这三个元素OQ 0都不选 有=3x36x24根据分类计数原理将（1）（2） （3） （4）力口起来3x36x24 + 3x36x24 + 3x9x24 + 3x36x24 = 8424 故答案为：8424例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）.一35 一【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有履种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有用种方法；剩下的一套全排列，有A：种方法；概率为：骂&=J_,尺 35故答案为：±, 35例17.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？(5)甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】(1)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共 有六个元素，排成一排有星种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有6种不同的排 法,因此共有其用=4 320种不同的排法.(2)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位 置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有反种不同的排法，对 于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有星种方法，因此共有£4 =14 400种不同的排法.(3)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有&种排法，对于其中的任意一种排 法，其余六位都有星种排法，所以共有方 婕=14 400种不同的排法.(4)三个女生和五个男生排成一排有4种排法，从中扣去两端都是女生的排法星 种，就能得到两端不 都是女生的排法种数，因此共有履-A；4=36 000种不同的排法.(5)甲必须在乙的右边即为所有排列的玄，因此共有履点=20 160种不同的排法.例18.三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排,故有用耳=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了 6个空中，插入3名女生，故有=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有无£=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中,任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有6=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，=720种例19.三个女生和四个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有种情况，再将其与4名男生进行全排列，有&种情况，则共有=720种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有用种情况,则共有A：封=1440种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有2C：种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有用种情况，则共有2C： x 6 = 1440种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有用种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有用父种站法,则共有4 -=4320种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有C；=20种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有用种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有2国=420种排法.例20.现有8个人（5男3女）站成一排.（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？（10）女生两旁必须有男生，有多少种不同排法?