学年湘教版选择性必修第二册3.2.4离散型随机变量的方差作业练习.docx
2022-2023学年湘教版选择性必修第二册离散型随机变量的方差作业练习一.单项选择（）.函数当%一，问时,假设广.恒成立,那么，的取值范围为（）A （f 0 B. （e，。）C.（T。 D. M）1 .一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果 摸出黑球记2分，摸出白球记T分，那么10次摸球所得总分数占的期望为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8w<1）=3.随机变量九满足&2（2,0，77 + 2J = l,且4 ,那么°（）的值为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 33 .随机变量X，y满足Y = aX+Z>,且。力为正数，假设。（X） = 2,Z）（y）= 8,那么。A. b = 2 b. ” = 4 c. a = 2 D. b = 4设。5（iaP）, 5 5（10,4）且e（4）<后心），那么 p 4 是。（。）<。仁）的 oA.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题（）. 一射手对靶射击，直到第一次中靶为止.他每次射击中靶的概率是0.9,他有3颗弹 子，射击结束后尚余子弹数目4的数学期望“4=.4 .袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5,从袋中随机抽取3只，假设以4表示取 到球中的最大号码，那么4的数学期望是.8.X的分布列X101p5i36E(Y)= -且y = X+3,3 ,那么。二 9,随机变量X的取值为1. 2,，（X=°）= °2, DX=0.4,那么EX =三.解答题（）10 .甲.乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛.每轮 34竞赛由甲.乙各答一道题目，甲每轮答对的概率为乙每轮答对的概率为二.在每 轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；（2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率.11 .某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，假设其在 两轮比赛中均胜出，那么视为赢得比赛，在第一轮比赛中，甲.乙.丙胜出的概率分432j 25别为二，4 , 3 .在第二轮比赛中，甲.乙.丙胜出的概率分别为万，3 , 6 .甲.乙.丙 三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲.乙.丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）假设甲.乙.丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.312.甲乙两人进行投篮比赛，每轮比赛由甲乙各投一次，甲投中的概率为乙投中的概率为5.每轮投篮比赛中，甲乙投中与否互不影响，按以下情况计分：都投中或者 都不中双方都记0分；一方投中，而另一方未中，投中者得1分，未中者得T分；假设有 人积2分，那么此人获胜且比赛停止.（1）比赛三轮后，甲积1分的概率是多少？（2）假设比赛至多进行五轮，问乙能获胜的概率是多少？参考答案与试题解析.【答案】A【解析】分析：求函数导数后可知导函数为1'+"）上的增函数，根据a分类讨论，求M的最小值即可求解.详解:,/(x) = exl -inxcvc+aa g R) ./=©Jxel +oo） /'（x） = ex 1a当山J时，工单调递增，八。焉=/"）= 一假设时,所以一。）在虫转）时单调递增，/（盼之/（1）= 1恒成立，（2）假设。时，/'=一。°,由/（X）单调递增知，存在%1,使得/（%。）= °,故 xe【L%o）时，八%）。，当 %£（%o，+8）时,广 0,所以/（%）在 c 口，%。）时单调递减，所以/（/） "） = 1,即在'I，”）上存在%。 1使得/（/） 1 ,所以。时不满足题意.综上，应选：A【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根 据最值是否满足不小1,判断a所取范围，属于中档题.1 .【答案】A【解析】设10次摸球出现黑球的次数为X ,求出“（X）,计算出总分数，再求总分数 的期望.（22X B 10,£E（X）= 10x-=4详解：设10次摸球出现黑球的次数为X ,那么I 3人5,所得总分数“2X+。-X）x（-l） = 3X-1。，所以用9 = 3E（X）TO = 2,应选：A.【点睛】此题考查随机变量服从二项分布的期望公式，要熟练掌握.2 .【答案】C3,=ns 、 PCD = 【解析】因为随机变量彳满足伏2,），4,31 （ n 1P（W） = l_p2= p 二 % = 2XjX 1-所以有4,即 2.那么 2 1 2）2, = 1 2J 期=4/=2 ， 应选：c.4 .【答案】C【解析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.详解：由方差的性质可得，D(Y) = D(aX+b) = a2D(X),因为。(X) = 2,D(Y) = 8,所以8 = 2巴又a为正数，所以" = 2.应选：C.【点睛】此题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.5 .【答案】D【解析】根据二项分布的期望和方差公式，可知E(O)= 1°P,"=1°g，那么E(4)<E($)等价于 lOpvlOq ,即 P<q ,并且P), 。=1%(1-9),那么。<。©)等价于 10p(l-p)10q(l-9) 即 ”(1-9),分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得.详解：由题得， (4)p, 口,.石(。)石(女)，.JOpviOg,即p<a,D) = 10p(l-p)*) = 10g( j)9，1PQ>充 分 性，假设4,那么。(。)。偌2)= 1。(1一 p)t%(1f) = io(pf)i(P+9) 9.p+g? 2jpq 1.l_(p + q)V0,p-q<。,二。-即。>*),那么充分性不成立； 必要性，假设.<叫),那么 10(P-9)l-(P+9)<。,.p-g<0, gp p+q<；p+q?2屈，' 2屈1,即那么必要性不成立, 所以"I是°信卜力值)的既不充分也不必要条件.应选：D.【点睛】此题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.6 .【答案】1.89【解析】由题意可知4 =再分别求对应的概率，根据公式求数学期望.详解：由题意可知4 =当=1表示第_次没有击中，第二次射击中靶，尸偌=1)= 0*0-9 = 0.。9当& = 2表示第一次射击中靶，P(J = 2) = 09,当自二°表示前两次都没有击中，第三次可中可不中，尸(J = °) = 01x0.1 = 0.01那么= 0x0.01+ 1x0.09 + 2x0.9 = 1.89故答案为：1用9【点睛】此题考查离散型随机变量的数学期望，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于基础 题型，此题的关键是弄清楚变量表示的随机事件，并正确写出概率.97.【答案】-2【解析】分别分析最大号码为3, 4, 5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可.详解：所有可能的情况一共有或=1°种，其中最大号码为3的情况一共有仁=1种；其中最大号码为4的情况一共有0； =3种；其中最大号码为5的情况一共有0： =6种；c 1 / 3 u 6 3 + 12 + 30 9上3x + 4x + 5x =一故的数学期望是101010102.9故答案为：2【点睛】此题主要考查了排列组合解决数学期望的问题，根据题意分析所有可能的情况再利用数 学期望公式求解即可.属于中等题型.8.【答案】4【解析】求出£（X）,根据丫 =奴+3可得月（X）与的关系，即可求解.QE(X) = (-l)x- + Ox- + lx- = - 详解：2363且X+3,. £(y)= a£(X) + 3 = *解得”4,故答案为：4【点睛】此题主要考查了离散型随机变量的期望，期望的性质，考查了基本运算的能力，属于容 易题.9 .【答案】1【解析】设尸（X = 2）= %,可得出P（X=1） = °.8 x,可求出£X的表达式，利用方差公式可求出X的值，即可求出 网 的值.详解：设P(X=2)= "，其中0"«0.8,可得出尸(X=l) = 0-8%,EX =0x0.2 + lx(0.8-x) + 2x = x+0.8OX = (x + 0.8)2 X0.2 + (x o 2)2 x(O.8-) + (x-1.2)2 xx = 0.41 = 0.2,斛荷 ,因此，欣=0.2+0.8 = 1故答案为：1.【点睛】此题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解 能力，属于中等题.321.【答案】（1）（2）&50【解析】分析：（1）两轮中答对一道题的情形为：第一种情况：甲第一轮答对1题，第二轮答错1题；第二种情况：甲第一轮答错1题，第二轮答对1题；然后，根据以上情况，列式求解即可（2）答对三道题目的情况有：第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题；第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题；然后，根据以上情况，列式求解即可详解：（1）设4表示甲每轮答错1道题目的事件，片表示甲每轮答对1道题目的事件，那么p（4）= ! p（a）= ：4,4 ,两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题，故概率为3p = p（4）p（4）+ p（A）p（4）= dO.（2）设A:表示甲答对8。表示乙每轮答错1道题目的事件，用表示乙每轮答对1道题目 的事件，那么“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有:第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题：第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题：96211=所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为5。25 50【点睛】解题关键在于把情况进行分类，通过分情况再列相关式子求解即可，难度属于中档题11 .【答案】（1）派丙参赛赢得比赛的可能性最大；（2）【解析】分析：（1）设“甲赢得比赛”为事件A, “乙赢得比赛”为事件B, “丙赢得 比赛”为事件C,利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派丙参 赛赢得比赛的可能性最大.（2）设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D,利用相互独立事件概率乘法公式和 互斥事件概率加法公式能求出恰有两人赢得比赛的概率.详解：设“甲赢得比赛”为事件A,“乙赢得比赛”为事件B,“丙赢得比赛”为事件C,P(A)= x = 那么52P(B)3 2 1=-X=4 3 2p(c) =因为P（O > P（B）> P（A）,所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大.（2 ）设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件D ,那么P(D) = P(ABC)+ P(ABC)+ P(ABC)= |x|xl + |xlx| + |xlx| = ll【点睛】方法点睛：相互独立事件的概率用乘法公式，互斥事件的概率用加法公式.12.【答案】（1）忌；（2）黑.2562【解析】分析：（1）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式即可求解； （2）比赛至多进行五轮乙能获胜，包含两轮获胜乙获胜，三轮获胜乙获胜，四轮获胜乙 获胜，五轮获胜乙获胜，利用互斥事件和相互独立事件分别求得各概率，最后相加即可.P（ A） = -x =-详解：（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A,其概率为4 2 8,3 1111x+ x=甲积0分记为事件B,其概率为P(B) =4 2 4 2-2,甲积-1分记为事件C,其概率为甲积-1分记为事件C,其概率为P(C)= X =V 7 4 2三轮比赛后，甲积1分记为事件D,那么P (D) =P (ABB + BAB+BBA+CAA+ACA)=P ( ABB ) + P ( BAB ) + P ( BBA ) + P ( CAA ) + P ( ACA )3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 3 3 1 381=_x x|x X + X XF X X 十 X X =一 822 282 228 888 888 256 .综上：假设比赛至多进行五轮，那么乙能获胜的概率是64 64 2" 210 2 1 1 x =(2)乙两轮获胜记为事件E,那么P (E) =P (CO = 8 8 64.乙三轮获胜记为事件 F,那么 P (F) =P (BCC+CBC) =P (BCC) +P (CBC)111111 1X X 十 X X =一= 288 828 64.乙四轮获胜记为事件G,那么P (G) =P (BBCC+BCBC+CBBC+ACCC + CACC) =P (BBCC) +P (BCBC) +P (CBBC) +P (ACCC) +P (CACC)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 27x x-x - + x-x x-4-x x X- + -X-X-X-4-X-X-X -= 2 2882828822888888888 2口.乙五轮获胜记为事件H,那么 P (H) =P (BBBCC+BBCBC+BCBBC+CBBBC + BACCC+BCACC+ABCCC+CBACC+ACBCC+ CABCC+ACCBC+CACBC) .【点睛】方法点睛：求概率的常用方法：先定性（古典概型.几何概型.独立事件概率.互斥事 件概率.独立重复试验概率.条件概率），再定量（代公式求解）.
