陕西省西安市周至县2022届高三下学期理数三模试卷解析版.docx

高三下学期理数三模试卷一、单项选择题1 .设集合 4 = (xx > 1), B = (x-l<x< 5,那么 4 C B =()A. 1, 5)B. (-1, 1C. (1, 5)D. (-1, 1)【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】【解答】由题意，集合力=xx > 1,= x| - 1 < x < 5,根据集合交集的运算，可得4 nB = x|l Wx v 5 = 1, 5).故答案为：A.【分析】由集合的交集运算即可求解。2 .复数z满足z(l-i) = 23那么|z + i| =()A. y2B. x/5c. /IoD. 13【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】lhz(l - i) = 2i = z =吕=(搂湍)=i(l + 0 = -1 +力所以 |z + i| = |-l + i + i| = |-l + 2i|= (-1)2 + 22 =遮，故答案为：B【分析】由复数的乘除运算得到z,再由模长公式即可求解。3 .己知向量而=(4, -4),阮=(-3, m),而=(一1, m),假设4 C, D三点共线，那么巾=()A. 2B. 1C. -2-V6D. -2 + V6【答案】A【知识点】向星的共线定理【解析】【解答】因为南=(4, -4). FC= (-3, m)»所以前=荏+就=(1,巾-4)，因为4 C,。三点共线，所以，故答案为：A【分析】由三点共线得到命=4元），由向量坐标列出方程，即可求解。4 .函数f（x） = xln|x|的图象大致是（）【知识点】函数的图象【解析】【解答】函数f（x） = xlnW|那么/（一切=一#川一刈=一式旧引=一/。），即/（%）为奇函数，所以结合图像可排除B.当XT +8时，/（X）-> +00,结合图像可排除C.当x = 0.01 时，/（0.01） = 0.01xln|0.01|<0,结合图像可排除 A.综上可知，D为正确选项故答案为:：D【分析】结合函数的奇偶性，以及XT+8时，r（x） T+8和/（0.01） < 0即可求解。5 .从一批零件中抽取80个，测量其宜径（单位：mm ）,将所得数据分为9组：5.31,5.33） .33,5.35）,，5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图，那么在被抽取的零件中, 直径落在区间5.43,5.47）内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B【知识点】频率分布直方图：用样本的频率分布估计总体分布【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间5.43,5.47）之间的零件频率为：（6.25 + 5.00） x 0.02 = 0.225 , 那么区间5.43,5.47)内零件的个数为：80 x 0.225 = 18 .故答案为：B.【分析】根据直方图确定直径落在区间543,5.47)之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和2g,将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的外表积为( )1 . (6 + 26)万B. (6 - 2V3)rrC. 2f3nD. 67r【答案】A【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】如下图，在直角中，AC = 25/3, BC = 2,可得A3 =b不彳瓦至=4，可得。=需=遍，即旋转体的底面圆的半径为r =百，所以该旋转体的外表积为：S = nr - AC + nr - BC = n y/3 x 2>/3 + n V3 x 2 = (6 + 2x/3)zr.故答案为：A.【分析】由直角48C,可求AB,进而求得OC,再由圆锥侧面积公式即可求解。7 .设函数f(x) = acosx + bsin% (a, b为常数)，那么“ab = 0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】当a = 0, b*0时，/(x) = bsinx, f(x)为奇函数，即充分性不成立：当/。)为偶函数时，/(-x) = f(x)对任意的x恒成立，."./(-X)= acos(x) + bsin(-x) = acosx - bsinx即qcosx + bsinx = acosx - bsinx ,得bsinx = 0对任意的成立，从而b = 0.即ab = 0,即必要性成立：从而“。力=0”是为偶函数''的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】由a = 0, b工。时，得/(%) = bsinx,可判断充分性不成立；再由/'(X)为偶函数，得到bsinx = 0即b=O,说明必要性成立，即可求解。8 .抛物线%2 = 2py(p>0)上一点力(右，3)，F为其焦点，立线AF交抛物线的准线于点B.且线段4B的中点为F,那么与 =()A. ±3B. +2x2C. +3V3D. ±2遮【答案】D【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质【解析】【解答】抛物线N = 2py(p > 0)的焦点为F(0,分 准线方程为y = -5，设点8(m，-1),由题意可得_g + 3 = p，解得p = 2,所以抛物线的方程为* = 4y,所以，扉=4 x 3 = 12,解得%。= ±2百. 故答案为：D.【分析】设点BQ，一务，由条件可得 p ,即可得的p,进而可求解。9 .在_幻6展开式中，以下说法错误的选项是()A.常数项为-160B.第5项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为I【答案】B【知识点】二项式定理：二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为77+1 = C瑟)6f (-幻= 26T(-1)。旷-6,Ill2r-6 = O,得r = 3,所以常数项为2?(- 德=一160, A符合题意；由通项公式可得r为偶数时，系数才有可能取到最大值，由71 = 192广4, 73 = 240%-2,禽=60必，后，可知第3项的系数最大，B不符合题意:展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，C符合题意：令第=1，得Qo + ai+。2 + “+。6 = (2-1)6 = 1，所有项的系数和为I, D符合题意： 故答案为：B.【分析】由通项公式7；+1 = 26-(一1)七衣2-6可判断ABC,令X=I,可判断D.10. 2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，平安返回地球中国征服 太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式4u = %ln第，其中av 为火箭的速度增量，%为喷流相对于火箭的速度，和7nl分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未 来，假设人类设计的某火箭“到达5公里/秒言，从100提高到600,那么速度增量Ab增加的百分比约为()(参考数据：In2 Ho.7, ln3 « 1.1. In5 kl.6A. 15%B. 30%C. 35%D. 39%【答案】D【知识点】对数的运算性质【解析】【解答】由题意，当箫=100时，速度的增量为% = 51nl00；当用=200时，速度的增量为 v2 = 51n600 = 5lnl00 + 51n6,av2_ 51nl00+5ln6-51nl00 _ In6 _ In2+ln312ao/枕以 =5TH100= IH100 = 2(ln2+ln5) "-故答案为：D.【分析】由题意分别可求4=51nl00, av2 = 51nl00 + 51n6,再计算丝就匕即可求解。11 .“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见丁中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷卜.中的“物不知数响 题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的 问题：将1到2022这2022个白然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一 个数歹IJ 14 , 29 , 44 那么该数列的项数为()A. 132B. 133C. 134D. 135【答案】C【知识点】等差数列；等差数列的通项公式【解析】【解答】由题意得：新数列14, 29, 44,是首项为14,公差为15的等差数列，设新数列为恤,那么通项公式为% = 14 + 15(n-l) = 15n-l,令 15n 1W 2022,解得：n W 13碍，因为"WN',所以这个数列的项数为134.故答案为：C【分析】由题意可确定新数列为等差数列，即可求通项公式Qn = 15-1,再由15n-l £ 2022,即可求解。12 .假设对任意的小，x2 G (m, +oo),且与右，都有叫寓竺1V 2成立,那么实数m的最小值是A. 1B. eC. e-2D. e-x【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由右，x2 G （m, +8）, Hxi < x2,可得42-打>0，那么汕咨也1V 2等价于小也4一 x2lnxj < 2（x2 一 勺），x2-xlH|Ix1lnx2 + 2x1 < x2lnx + 2x?,所以（Inx2 + 2） < x2（nx + 2）,故 1n?+2 < lnl+2t x2 X1令人幻=喈，贝行（、2）</（与），因为不>必>m，所以f（x）在（m, +8）上为单调递减函数，乂由/（%）=二笠土<0,解得所以mN,所以实数m的最小值为故答案为：D.【分析】转换不等式得到哼工< 智2,进而构造函数外幻=叵型，由单调性可得/（%）=普二1<0, 人2人1xX进而可求解。二、填空题.在等差数列0中,a3 + a6 + a9 = 39,设数列即的前n项和为右,那么S” =.【答案】143【知识点】等比数列的前n项和：等爰数列的性质【解析】【解答】:a +。6 +的=3。6 = 39,那么。6 = 13：.Sn = lla6 = 143故答案为：143.【分析】由等差数列的性质求得。6 = 13,再由等差数列前n项和性质即可求解。13 .双曲线导_力正=1（0m12）渐近线的斜率为匕且d>2,那么m的取值范围是.【答案】（0, 4）【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意，双曲线烂一字_=1（0小12），那么。2 =巾，b2 = 12-m , m INm 、'故(0<m<12),故标% > 2,解得m < 4 ,故0 v m v 4 ,故答案为：(0, 4)【分析】由双曲线性质可得/=与a,再由公>2.即可求解。14 .假设函数y = sin(2sr +货的图像向右平移专个单位长度后与函数y = cos(2®x +的图象重合，那么3的一个 可能的值为：【答案】(答案不唯一)【知识点】函数y=Asin (u)x+4)的图象变换【解析】【解答】解：将函数y = sin(2sr +电的图像向右'经纬个单位长度后，得到函数y = sin2o)(x -) + = sin(2cox -詈 + ,) = sin(2a)x 一等一年)+ 刍=cos(2cox 一詈一5)的图像，即y = cos(2a>x 一竿一分与函数y = cos(2wx +5的图像重合，即一尊I =kEZ,J b 4所以co = 6k k E Z,4故答案为：一(答案不唯一).【分析】由函数图象平移可得y = cos(2Mt-詈-9 结合y = cos(2s + »两图像重合可得一等-*l + 2kn,进而可求解。15 .如图，在正方体488-48心。1中，点F是棱上的一个动点，平面8FD1交棱CG于点E,那么以下正 确说法的序号是.存在点F使得力£ |平面BED#；存在点F使得由。|平面BED/；对于任意的点F,都有EF18D；对于任意的点F三棱锥E -尸0%的体积均不变.【答案】【知识点】棱柱、极锥、棱台的体积：空间中直线与直线之间的位更关系：空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】当点F为/Mi的中点,此时点E为CG的中点,此时连接EF,可得:4G IIEP, 因为&G U平面BE'。/, EF u BED, 所以力ig |平面BED/,正确；连接BO。8m，因为且8当=。5，所以四边形B81QD为平行四边形，所以BDi，相交，因为8/u平面BED/,所以不存在点F使得SO平面beDiF,错误连接 AC, BD,那么 AC_LBD, 乂力，平面 ABCD, BD u平面 ABCD,所以/!4 1BD.因为4711 n AC = A,所以BD_L平面/MiGC,因为EF u平面/UGC，所以BD_LEF,正确：连接 DF, EF, ED,那么无论点F在力送的何处，都有腌"m是定值，为正方形面积的一半，又高等于CD, 故体积也为定值，为正方体体积的春正确.故答案为：【分析】当点F为/14的中点，此时点E为CG的中点，即可判断 ；连接8劣，8国，可得四边形。为平行四边形，即可判断不存在点F使得团。|平面BE。/,错误：连接AC, BD,可判断/I&IBD,进一步可得BD_L平面/MC】C,即可判断正确：连接DF, EF, ED,可判断SadfD =*。1。力。是定值，且为正方形面积的一半，又高等于CD,故体 积也为定值，即可判断正确.三、解答题.在 ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B. C 的对边，2ccos8 += 3a.(I)求 C；(2)假设c = 2,求 ABC面积的最大值【答案】(1)解：由己知及正弦定理得2sinCcos8 + V3sinF = 2sin4，'2sinCcosF + V3sin5 = 2sin(B + C) = 2sinFcosC + 2cosSsinC.*«sinB(V3 2cosC) = 0.'.'0 < B < n, .sinB * 0.,*' cosC =孚，0 V C V jt，.'C =不(2)解：由(1)知C = * 又c = 2,由余弦定理得4 = a2 + b2 - 2abcos, oa2 + b2 y/3ab = 4.V a2 + h2 > 2ab，：.2ab->/3ab<4：.ab < 8 + 4V3.当且仅当a = b =+ 4代时取等号 ,aabc 2absinC = 2 x 2ab W 彳 x (8 + 43) = 2 + V3-/. ABC面积的最大值为2 4- x/3.【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理；余弦定理【解折】【分析】 由正弦定理化简可得sinB(百-2cosC) = 0,即可求解:(2)由(I)结合余弦定理可得。2 +廿一国成=4,再结合基本不等式求得ab 48 +4通，即可求解。18.在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投第一次，假设一方命 中且另一方未命中，那么命中的一方本局比赛获胜，否那么为平局，甲、乙每次投篮命中的概率分别为和本 且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.(I)求I局投篮比赛，甲、乙平局的概率；(2)求I局投篮比赛，甲获胜的概率；(3)设共进行了 10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X,求X的数学期望E(X).【答案】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中，那么P(4) =1P(8)=/4-5-1fx+3-4X4-54-5-1fx+3-4X4-53-01 -2=2.1局投篮比赛，甲、乙平局的概率为：P(AB) + P(AB)=(2)解：1局投篮比赛，甲获胜的概率为： 431P(4B) = x(l-1)=1.(3)解：易知随机变量X=0, 1, 2, .10,由(2)的结果，易得P(X = k) = C|coG)k(l_3l°T(k = (),l, 2,10).，随机变量X服从二项分布，即X8(10, 1).，E(X) = 10x1 = 2.【知识点】互斥事件的概率加法公式：相互独立事件的概率乘法公式：二项分布与n次独立重复试脸的模型【解析】【分析】(1)设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中，可得PG4)=g,进而求得P(/1B) + P(而)即可：(2)由独立事件概率计算公式求解P(A万)即可；(3)易知随机变量X=0, 1, 2, .10,结合可知XB(10, 1).即可求解“19.如图，在梯形ABCD中AD = 4,四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将 ABE 沿BE折起到4PBE的位置，使得平面PBE_L平面BCDE,如图.(1)求证：OC_L平面PBE；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(】)证明：在图中四边形48CE为正方形，：.BE 1AC.有折费的特性知，在图中，BE 1OC,乂平面P8E 1平面BCDE,平面P8E n平面8CDE = BE,又。Cu平面8CDE,：.OC 1 平面PBE.(2)解：由(I)易知，OB, OC, OP两两垂直.如图，以O为原点，以OB, OC, OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴、建立空间直角坐标系，那么P(0, 0, V2)» B(y/2, 0, 0), C(0, VL 0), D(-2V2, VL 0).'-PB = (V2, 0, 一烟，PC = (0, V2, -V2), PD = (-2V2, V2, - V2).设一平向.PCD的法向量为沆=(x, y, z),那么喘即V2y - V2z = 02>/2x + >/2y V2z = 0令y = 1,那么x = 0, z = 1.平面PCD的一个法向量为沅=(0, 1, 1).cos(m.PB)=设直线PB与平面PCD所成角为仇'sin0 = |cos < m, > | = 1.故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为今【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）由8E14C,在图中，BE 1 0C,即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，求得PB方向向量及平面PCD法向量，代入夹角公式即可。20.椭圆C：今+ /=1（。>力>0）的离心率为名同短轴氏等于双曲线：的实轴长.（1）求椭圆C的标准方程：（2）假设力，8为椭圆C上关于原点。对称的两点，在圆D：炉+必=8上存在点p,使得P/IB为等边三角 形，求直线的方程.（e=£=旦【答案】（1）解：依题意有（七2 ,解得° = 2, c = V3.la2 = b2 + c2椭圆C的标准方程为9 + y2 = i（2）解：点P在阿D:2+y2 =（2鱼）2上，|0P| = 2企又PAB为等边三角形,且0为线段A8的中点，：.OP = V3OA，0A=-J当在线48的斜率不存在时，力，B为桶圆C的上下顶点，.|0川=1竽，不符合题意：当直线的斜率存在时，设4（勺，）,直线力8的方程为,=依y = kx,联立N 2信+ V = L解得二环,山二师0A = yjxl + yl - 2 k 尸-解得k = ±皑4k +1 J'直线48的方程为：y = ±x【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质：直线与圆锥曲线的关系e【解析】【分析】(1)由题意得，序=£ =在二2求解即可:=b2 + c2(2)由题意先得|0P| = 2n/L进而得到|0川=乎，再讨论 当直线的斜率不存在，当直为48的斜.2. . 21kl率存在，设做必，尢)，直线48的方程为y = kx ,联立椭圆方程求得1=于"，"=或雷即可求解。21.函数/(%) =等，g(x) = -x2 + 2x + l.(1)求函数/(x)的单调区间和最值：(2)求证:当X V 1 时/(%) V g(x)；当x>l时，f(x) > g(x)；(3)假设存在必< X2,使得/(勺)=/(x2),证明必+必> 2.【答案】(1)解：./'(刈=逅涕m="倒， .当XVI时/(约>0,函数f(x)的单调递增区间为(一8, 1)；当%>1时f'a)vo,函数/(X)的单调递减区间为(1, +8).函数/(x)的最大值为"1) = 2,无最小值.(2)证明：设h(x) = /(x) - g(x) =+ xz - 2x - 1»那么 h'(x) =+ 2x-2 = 22?卜),> 0.当且仅当x = l时等号成立，函数h(x)单调递增，又h(l) = 0,当x V 1时，h(x) < 0,即/"(%) < g(x)，当x>l时,h(x) > 0,即/(x)>9(x).(3)证明：结合(1) (2)作出函数/1()=等，g(%) = + 2x+l的大致图象:当X T 8时，/(x) T CO；当X T +8时,/(%) T 0»令f (%) = /(肛)=m，那么。V ?九 V /(I) = 2.又.二次函数g(x)的图象开口向下，最大值为g(l) = 2,；存在#3 < x4,使得9(*3)= 9(%)=/(/) = f(x2y结合(2)的结论以及图象知V%1 <M <X2，函数g(x)的图象关于直线x = 1对称，x3 + x4 = 2,/.Xi + x2 > X3 + x4 = 2,【知识点】函数的单调性与导数的关系：利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)求出导函数f'(x) = 驾曰，由f(x)>0, f(x)<0即可得单调区间，即可求解；(2)构造%(口=等+ /一2工一1，求导得力(冷=至二增丝:1即可判断函数h(x)单调递增即可求解：(3)结合(1)(2)作出函数/'(%)=等，g(%) = / + 2x+l的大致图象，如图，结合(2)的结论以及图 象知右< X! < x4 <力，再由函数g(x)的图象关于直线x = 1对称，即可求证。22.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为：(t为参数).在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的极坐标方程为：p = 2cos8(I)求直线，的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)假设直线，与曲线。交于力，8两点，求以/1B为直径的圆的极坐标方程.【答案】(1)解：.直线的参数方程为：卜= i£' (C为参数)，(y=i+t直线I的普通方程为x + y - 2 = 0.曲线C的极坐标方程为：p = 2cos仇根据根据x = pcosd,X2 + y2 = p2,可得曲线C的直角坐标方程为/ + y2 2% = 0.(2)解.：联立解得x + y - 2 = 0,x2 + y2 - 2x = 0.x = 2, y = 0.= vTTI = V2. 48的中点坐标为1).以力B为直径的圈的直角坐标方程为(x -豕+ °, _ 1)2 = 1,即 / +y2 - 3x y + 2 = 0,x = pcosO, y = psind, x2 +y2 = p2,可得以AB为直径的圆的极坐标方程为p2 - 3pcos0 - psin® + 2 = 0【知识点】简单曲线的极坐标方程；由线的参数方程【解析】【分析】(1)消参可得，的普通方程为x + y-2 = 0.再由：=P；°sB；得曲线C的直角坐标方程为 x2 + y2 =，x2 + y2 - 2x = 0：(2)联立直线与咧的方程，求得A, B两点坐标，即可求解。23.函数/(幻=氏一2| + |2x-(I)求不等式/Xx) W 3的解集:(2)假设关于x的不等式/a)NQ2-Wa的解集为R，求实数Q的取值范围.【答案】(1)解：f(x) =3.不等式/(x) W3等价于3 - 3x, x V 4， 'x+ 1, 1<x < 2,3x -3, x > 2,-3x<3, fx+ 1 < 3,1或八x < 2 »(2 - x - ,或伊一 3 < 3, - I x>2.AO WW2不等式”X)W3的解集为0, 2.13 3x, x < /，x + 1, 1<x<2,当x3x -3, x > 2,.关于工的不等式/(%) > Q2 - £的解集为R等价于去-箕，A2a2 -5a-3<0,解得一扛 a < 3.实数Q的取值范围为-表3.【知识点】绝对值不等式：绝对值不等式的解法Jr J3 3x9 x < 2 1【解析】【分析】(1)去绝对值可得f(x) = r + l, 1<X<2, 分段求解即可:、3x 3, x > 2,由(1)求得%包=割题可转成Q5 .2-2Q>3 2即可求解。