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第二章平面解析几何几何2.5椭及其方程2.5.2 椭的几何性质知识梳理定义到两定点Fi,尸2的距离之和为定值2（2>|乃BI）的点的轨迹图形N1y1B2N2ry *鸿24L/K1AbFi °BlBit 0 /加X-Nt标准方程22+= l(a>b >0)a2 b222? +l(a> >0)a2 b2对称轴工轴，y轴；x轴，y轴；中心原点0 (0, 0)原点0 (0, 0)顶点3 0),(一小 0),(0, b) , (0, -b)(0, 孙 (0, -Cl),3,0), (一。，0)隹占 八、）、Fi(c, 0), F2(-c, 0)F1(O, -c), F2(0 , c)轴长与焦距长轴长2a,短轴长2h ,焦距2c长轴长2a,短轴长2b ,焦距2c离心率e = (0<e<l) ae = (0<e<l) a通径2b2a2b?aa, b,。关系a2 =b2 + c2常见考点121【答案】D【解析】D.【分析】 如图根据椭圆的性质可知，4尸居当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，耍椭圆上存在点 满足 =120° , ZF.AF2.A200 9 ZFAO.60° 9 即可，【详解】解：如图根据椭圆的性质可知，/隼明当点M在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点“，满足/4/乙=120。，那么/耳AJ.120。，4AQ.60。，sin/£AO =二.如，即北正, a 22又Ovevl,所以 2故椭圆离心率的取值范围是巧, _ /应选：D.考点五由离心率求参数或参数的范围22典例5.椭圆一二 +5=1的离心率为:，那么%的值为（） 氏+ 89213S、 13A. 4B. C. 4 或一;D. 4 或二444【答案】C【解析】【分析】根据焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得女的值.【详解】2当焦点在X轴上时; 左+ 8>9, %>1且/=人士2 = _1 = % = 4.ak + 84当焦点在V轴上时，0VZ + 8V9,8<,<1 且/=：=9一（ + 8）=-n- = 9. 少 944应选：C22变式5-1.椭圆= + = 1（q>%>0）的离心率为:，那么:=（） cr b-3 b8-9 4-3A.c.R.D.由离心率得再由/=/+，转化为% ab【详解】因为 = £ = ,口 = 所以8q2=9炉，所以3 a a2 3b 4应选：D.变式5-2.椭圆。:/+3=1(>0)的离心率为#,那么"的值为()A. !或4B. 7C. J或 2D. 1【答案】A【解析】【分析】分焦点在x轴和y轴上进行分类讨论，分别表示出以b、c,列出关于离心率的方程，即可求出几【详解】当椭圆。的焦点在轴上时，贝那么/=i, =，贝卜2 =4/=>，此时，椭圆C的离心率为e = £ = VI=?,解得 =:； 。24当椭圆。的焦点在y轴上时，那么八>i,那么储=,廿曰，那么02=储”2=_1,此时，椭圆。的离心率为e = $、口口 = £,解得 =4 因此，;或4. a n 24应选：A变式53.设e是椭圆<+ 4 = 1的离心率，且那么实数攵的取值范围是 k 4<2 ；(6、A.(0,3)B. 3, 3 JC.(0,2)D. (O,3)U(¥，+8、I 37【答案】D【解析】【详解】 当焦点在X轴时6 =3二小4k 2 ）、,+oo/jA-k （1 、当焦点在y轴时e =叁£林（0,3）,L 7所以实数攵的取值范围是（0,3川作,+8、 I 37应选：D.考点六由几何性质求椭方程典例6.中心在原点，焦点在坐标轴上,典例6.中心在原点，焦点在坐标轴上,A X2 2 iA. + / =14离心率为孝，且过点（2,0）的椭圆方程是（）B. 土+ 9=1 或/+2_ = 144D.二+ V =1 或 £ + = 14 .4 16【答案】D【解析】【分析】 讨论焦点在轴和y轴两种情况，根据计算即可得出结果.【详解】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为± +=1（。心0）,由离心率为更， a b2b1 = a2 -c2 =-a24o2 n2椭圆过点（2, 0）,.一r + r = l, .,./=4, .2=,a b，椭圆标准方程为 + y2=i4当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：（+=1416应选：D.变式6-1.椭圆。：E+1=1（。人0）的左右焦点分别为"，尸2,离心率为如，过B的直线/ a- b3交。与A, B两点，假设4的周长为46,那么。的方程为（）A x2y2D x2 2 1尤2 y?x2 y232312 812 4【答案】B【解析】【分析】 由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得。=6,再根据离心率求参数进而求得从=1,即可写出 椭圆方程.【详解】 由题设，IABI + IA印=|5刊| + |3"=2,且|45|=|你1 + 1%I,所以州8的周长为|Ag| + |A用+ |帙| + |防|=44 = 46,即八6,又e = ?邛，可得cS那么”=i,丫2 综上,C的方程为， 应选：B 变式62.焦点在x轴上的椭圆的离心率为它的长轴长等于圆C /+产21i5 = o的半径，那么椭圆的标准方程是O22B. += 14392D.。J42B. += 14392D.。J42a. + = 143C. + = 142【答案】B【解析】【分析】 根据椭圆的离心率公式，结合配方法进行求解即可.【详解】圆 C：（工一1）2+丁2=16,. 2=4,即 4 = 2.由 6 = £ = ； = ： = ；1,22而 =/_/=4一1 = 3,所以椭圆的标准方程是：工+匕=1, 43应选：B一21变式63 椭圆CJ +与=1（"匕0）的离心率为二，A，4分别为C的左、右顶点，3为。的 a b3上顶点.假设瓯砥=-1,那么。的方程为（）A. +18J116B- f4=i92C.三+匕=132【答案】B 【解析】 【分析】 根据离心率及瓯砒=-1,解得关于片万的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率6- = Ji-4 ,解得2=：,。=，二 a a2 399A，4分别为C的左右顶点，那么A(-1,0),4(。,0),5为上顶点,所以卜(0力).所以瓯=(%b),砥=(Q,加，因为瓯砥=TQ所以-4+02=7,将/代入，解得/=9/2=8,故椭圆的方程为总+1=1.应选：B.练习练习一椭练习一椭的焦点、焦距22/1 .椭圆;+上=1的一个焦点坐标为f，o ，那么=() 3Pp)A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】由条件可得P>。，=3p, H = p , c = T，由关系/=/+/可求p值. 【详解】2 2,椭圆方程为：+ = 1，3P Pp>0,=1的一个焦点坐标为f，。，c = g 又/=/+。2, 乙3 p = p +P2p = 8,应选：D.222.以下选项中，与椭吟+与口有相同焦点的椭圆是()A.C.22上+ = 116 8%2 9 + = 124B.D.%29+ =18622二 十 二二184【答案】B【解析】【分析】 求出椭圆的半焦距，得焦点坐标，再判断各选项.【详解】 由题意椭圆方程得/ =4-2 = 2, c = 6,焦点为(±3,0),c中椭圆焦点在轴，显然不合题意，A中椭圆的。2=16-8 = 8工2,不合题意，B中椭圆的=8-6 = 2 , c = >/2 f焦点为(±0,0),满足题意，D中椭圆的02=8 4 = 4。2,不合题意.应选：B.3 .椭圆2d+3y2=6的焦距是()A. 275B. V5C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】将椭圆化成标准式，即可求解.【详解】由2/+3y2 = 6得5 + 5 = 1，所以焦距为2c = 2x行三=2.应选：D.椭圆工+ 1 = 1的焦距等于2,那么实数小的值为() m 4A. 3或5B. 8C. 2石或2gD. Ji号或JT7【答案】A【解析】【分析】对椭圆焦点的位置进行分类讨论，结合。、b.。三者的关系可求得用的值.【详解】假设椭圆的焦点在X轴上，那么/=m，b2 =4,贝Ij 2c = 2102 b? = 21m-4 = 2，解得加=5；假设椭圆的焦点在 > 轴上，那么/=4, h2 =m,贝1J 2c = 2ja2b2 = 2科4一加=2,解得加=3.综上所述，机=3或5.应选：A.练习二椭的顶点、轴长.椭圆证+外? =12的左顶点为A ,上顶点为B,那么|明=()A.上B. 2C. 4D.方【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出可求得|4研的值.【详解】22由 3x?+4y2 =2 得土 + 匕=1 ,所以/ =4方=3 ,所以 = 2,/? = g, 43所以 4一2,0),3(0,6),所以 | A51=5(-2)2 + (-西=币.应选：D226.椭圆U + J = l的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为().16 4A. 8, 4, （±2退,0） B. 8, 4, （0,±2）C. 4, 2, （±2&,0） D. 4, 2, （0,±2扬【答案】A【解析】【分析】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.【详解】22在椭圆 C：7 + 2-=1 中，a = 4,b = 2,c = Ja2 b2 = 2/316422所以椭圆C：V + ? = 1的长轴长为2 = 8、短轴长为21,焦点坐标为（±2后0）应选：A7.椭圆/+中产=1（加0）的焦点在丁轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么加=（）A. 2B,；C. -D. 424【答案】C【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.【详解】将椭圆/ + my2 = l（m 0）化为标准形式为无2+ f = K加 °）,m因为椭圆f+my2=i的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以、口 = 2,V m解得加二，应选：C.228.椭圆C: 土 +匕=1（加。）的长轴长与短轴长之差为2,那么。的焦距为（）9 mA. V7B. 275C. 277D. 2亚或2手【答案】D【解析】【分析】分椭圆的焦点在轴上和在y轴上分别得出。力，根据条件先求出加，再求焦距.【详解】当C焦点在x轴上，此时。= 3,Z? = V,贝Ij6 - 2A/ = 2,解得加=4此时焦距为 2c = 2y1 a2-b2 = 2a/5当。的焦点在y轴上，此时 = Vi,b = 3,那么2/ - 6 = 2,解得/% = 16此时C的焦距为2，n 9=2，7 ；,应选：D.练习三求椭的离心率29.椭圆。：£ +/=1（。>6>0）的左，右焦点分别为大，尸2,为。上一点，尸耳_1耳工，皿=看, 那么椭圆。的离心率为（）A. B. C. D. y2 222【答案】A【解析】pp n由题意可得：tan/P/y；=S =与，所以"_人2 _6,化简即可得解.叫 3 五二五二号【详解】由题意可得：tan/P/；= =乎，叫 3£所以旦=b? = >/3，得。=V3c ,2c 2ac 3所以e，=电. a 3应选：A.【点睛】此题考查了椭圆离心率的计算，考查了椭圆通径长，属于基础题.2210.椭圆2 =的左右焦点分别为耳工，点P在椭圆上，轴，且AP4耳是等a b腰直角三角形，那么该椭圆的离心率为A. B.C. 2-及D. 72-12【答案】D【解析】【分析】h2依题意可知z周=? = 2°,结合化简后可求得离心率.【详解】由于也j轴，且AP耳鸟是等腰直角三角形，所以归闾=忻闾,即工= 2c,即 JU = 2c,/2i2. aa两边除以“得。2+2-1 = 0,解得e = &-1,应选D.【点睛】本小题考查椭圆的几何性质，考查等腰直角三角形的几何性质，考查椭圆离心率的求法.解题的关 键是通过阅读题目，得到一个方程，然后结合q2="+c2,将得到的方程转化为离心率的形式，然 后解方程可求得离心率的值,考查了分析和求解问题的能力，属于基础题.11.椭圆C的左、右焦点分别为耳，6,直线A8过耳与该椭圆交于A, 3两点，当/2AB为【答案】B正三角形时,A. B4该椭圆的离心率为（）B. C. D.332【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】 设正三角形F2AB的边长为2,22设椭圆的标准方程为：=+与=1（"匕0）,设左、右焦点分别为耳（-c，0"（c，0）, a b设3耳=工，那么有46二加一不， 由椭圆的定义可知：BF'+BF2 =2anx +m=2a ,考点一椭圆的焦点、焦距22典例L椭圆+工=1的一个焦点坐标为(。，-1),那么实数根的值为() 3 -mA. 2B. 4C. -4D. -2【答案】C【解析】【分析】 由焦点坐标得到一机_3 = 1,求解即可.【详解】 根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有一帆-3 = 1,解得加=4应选：C.变式1-L以下与椭圆UJ +)'22?a 厂 V 1A. = 159B.9522x y H10 5=1焦点相同的椭圆是()=122c. Z+匕=19422D.二 +匕=110 6【答案】D【解析】【分析】 由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走"，椭圆C的焦点在X轴上，且c2=/_b2=9-5 = 4,得出椭圆。的焦点坐标为：(±2。，依次判断各个选项即可.【详解】由题意得，椭圆。中=9,/=5, /=/一/=4即焦点坐标为(2,。)和(2,0)；对于A选项，椭圆焦点在V轴上,不满足题意;对于B选项，椭圆焦点在1轴上,对于B选项，椭圆焦点在1轴上,a2 =10 9 b2 = 5 9 c2 =a2-b2 =5 > 不满足题意;对于C选项，椭圆焦点在光轴上,对于C选项，椭圆焦点在光轴上,片=9, /=4, /=片一 =5不满足题意;对于D选项，椭圆焦点在x轴上,a2 = 10 9 b2 = 6 9 c1 = a2 b2 = 4 5 1 两足题意;故答案为：D.变式1-2.椭圆+曰=1(加4)的焦距为2,那么，"的值为()A. 3【答案】CA. 3【答案】CB. 4C. 5D. 6AF + AF2 =2a m x + m = 2a ,解得：m = ay x =a33在中，由余弦定理可知：月q=BF； + BF； - 2BF» BF2 cos3 , j J2212.椭圆E:云2212.椭圆E:云应选：B= Ka>h>0）的左顶点和上顶点分别为A 3 ,假设A5的垂直平分线过E的下顶V2c 3点C,那么E的离心率为（）A. B.2 3【答案】A【解析】【分析】 根据题干条件得到|4。|=忸4,进而列出方程，求出=血，进而求出离心率.【详解】 由题可知A（-q,0）,3（0M，C（0,-。），因为A3的垂直平分线过£的下顶点C,所以|4。|=忸。|,那么J/2=2b，解得：a = 6b，所以E的禺心率e =，l应选：A练习四椭练习四椭的离心率的取值范，v213.小尸2分别是椭圆5+ 3 = 1（。>八0）的左，右焦点，假设椭圆上存在点P,使/耳尸6=90。, a b那么椭圆的离心率e的取值范围为（）【答案】B【解析】【分析】根据题意得出以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，即V。，从而结合k+/=/,即可求 出椭圆离心率e的取值范围.【详解】因为椭圆上存在点P,使/耳尸鸟=90。，所以以原点为圆心以。为半径的圆与椭圆有交点，即小,所以又因为/= 所以即/<2/,又因为0<evl,所以正<e<l, 2所以椭圆的离心率e的取值范围为¥/）.应选：B.2214.椭圆C:二十=1（4>>0）,点A , 3是长轴的两个端点， a bZAPB = UO°,那么该椭圆的离心率的取值范围是（）A.制B.例c- K4（闻【答案】A【解析】【分析】由尸在上顶点时，65最大，进而得到ZAPO26。，由台省求解.【详解】如图：当P在上顶点时，NAP3最大，此时/AP32120。，假设椭圆上存在点P,使得那么 ZAPO > 60°,所以 tan ZAPO > tan 600 = 6，即 石，a2>3h a2>3（a2-c2） b所以 242 43c2,那么工库ci 3所以椭圆的离心率的取值范围是如,1）,应选：A15.椭圆。：= 十 =1（>人>0）, M , a" b- N分别为椭圆。的左、右顶点，假设在椭圆。上存在一点H,（1 使得-亍。，那么椭圆。的离心率e的取值范围为（）贝IJ女,k =业=KMH KNH 2X。+ Q Xq Cl Xq -22/1即T = /一16 - ：,0 ,即aV 2 J又因为0<e<l,所以ee(#.应选：A.2216.圆G： 2 + £ = 的圆G的两条切线互相垂直,a" '7b （ 22 ;=” 7。）= /1 Y-。Xq _ Q _Cl y 2 /F；）.>0>0）与圆G： Y+y2=，假设在椭圆C1上存在点尸，使得过点尸所作那么椭圆G的离心率的取值范围是O设”（的），代入椭圆的方程，A- （°4） B.（。用【答案】C【解析】【分析】利切得。“5。，转化为2孝,C- 2口. 2 .代入离心率公式求解即可.【详解】【答案】A【解析】【分析】7 2/1/1设”（%为）,得到第=1（2_4，结合/原八Q，得到-0，结合离心率的定义,a v 7I 2 / 1 ）即可求解.【详解】 22由题意，椭圆 C：二+ 二=1（。”0）,可得 M（。,。），N（a,o）, cr b解：假设在椭圆。上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，设切点为A, 由乙4。0(45。即 sin乙4P04 sin 45即空也a 2那么/=1_与<_1,& e<a2 22应选：C.练习五由离心率求参数或参数的范17.焦点在x轴上的椭圆工十1=1离心率为正，那么实数?等于() m 42A. 2B. 8C. 4 + 2夜D. 2V2【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程分析可得4 =而，b = 2,那么° =而)，进而由椭圆的离心率公式e = £ = 1,解得加的值. a 2【详解】由题意，W a - m , b = 2 ,那么 c =一4 ,所以椭圆的离心率e = £ =亚= =解得加=8.a 7m 2应选：B.r2 v2118.椭圆j +4T = 1的离心率为：，那么攵的值为() 9 4 k34949A. -4B. 4C. T或一丁 D. 4或一不oo【答案】c【解析】【分析】求出Q的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于实数攵的等式，即可解得实数上的值. a-2人二2a-2 -o c -2e 为 因8 - 9 -z - 2b - Q 得 可-。假设椭圆的焦点在X轴上，那么£ =等=1解得 = T;a 99假设椭圆的焦点在>轴上，那么上=与=3 解得左=-¥ a- 4- 9849综上所述，左=7或O应选：c.19.椭圆x2+/j=l(b>0)的离心率为叫，那么b等于0A. 3B.c5D.33M10【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的离心率，列出关系式转化求解即可.【详解】椭圆x2+/ =l(b>0)的离心率为噜，可得后=偿解得bj 应选B.【点睛】此题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.20.椭圆Y+冲2=1的离心率/(J, 1),那么实数根的取值范围是33A.(0, -B. +8)3434c.(0,+8)D. 1U1,-)rr【答案】C【解析】【分析】由椭圆离心率的范围可得与的范围，再分别讨论椭圆的焦点在X轴和y轴两种情况求解即可. a【详解】椭圆/+相2=1的标准方程为' +1-1 m又;el，14当椭圆的焦点在x轴上时，/=1, 8= ,那么机工； m313当椭圆的焦点在y轴上时，=嬴 =,那么0加“所以实数机的取值范围是(0,+8).应选C.【点睛】此题主要考查了由椭圆的离心率求参数范围，注意讨论椭圆的焦点在哪个轴上，属于易错题型.练习六由几何性质求椭方程21.焦点在y轴上，长轴长为io,离心率为1的椭圆的标准方程为()B.B.100 64a.工+Ji 100 64D.【答案】D【解析】【分析】 根据长轴长算出。后，由离心率可得C的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】c 3因为长轴长为10,故长半轴长。=5,因为e = £ =所以半焦距。=3,a 5故=25 9 = 16,22又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为3+±=1,25 16应选：D22.焦点在1轴上的椭圆的离心率为它的长轴长等于圆C： f + y2_2%_i5 = 0的直径，那么椭圆的标准方程是O22a % y ia.+= 14322a % y ia.+= 14322B.三+，16 12D- SB【答案】B【解析】【分析】求得圆。的半径,求得圆。的半径,由此求得。，结合椭圆离心率求得由此求得。2,进而求得椭圆的标准方程.【详解】22依题意可设椭圆的标准方程为5+与半焦距为C, a" b由/ + )2 2315 = 0=由-1)2 + /=16,半径为 4,故有2a = 8=>q = 4,又e = £ =二 :.c = 2, a 2"片一片/ 4二22所以椭圆的标准方程为J+2=L16 12应选：B22.椭圆。:=十七=1(4% >0)的右焦点为尸，椭圆上的两点P、Q关于原点对称，假设1月尸1 + 1。用= a" b6,且椭圆。的离心率为;，那么椭圆。的方程为()A X2 / _D %2 y2 1 G 九2 /x2y2A. 十 = IB. f - = 1C. 卜二=1D. f - = 19 8326493【答案】A【解析】【分析】 根据椭圆的定义与对称性可得。=3,再根据离心率为:可得 =8,进而得出椭圆方程【详解】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得IPEI + IQ尸1=20 = 6,。= 3由椭圆。的离心率为:得"2 一 ” =!33所以从=8应选：A?2区,离心率为，过尸2的直线交椭23 .椭圆C： £ +>0)的左、右焦点为例圆于A8两点,假设耳5的周长为4VL那么它的方程为()22D. 土+ 乙=112 42?a 厂 V 1A.+ = 13292B.三+汇=154【答案】B【解析】根据椭圆的定义,可得4。= 46，得a = 5再由离心率为正，求得c = l,进而得到从=4,即可求得椭圆的方程.【详解】因为道的周长为4vL根据椭圆的定义，可得4 = 46，即八0,又由离心率为今即/曦邛，所以一，那么22所以椭圆°的方程为三八应选：B.【解析】【分析】根据题意可得焦点在X轴上，且C = l,再根据/=b2+c2,即可得出答案.【详解】解：因为椭园+= l（m 4）,7714所以焦点在4轴上，又椭圆的焦距为2,所以c = l,所以，篦一4 = 1,解得机=5.应选：C.92变式13椭圆?白=1的焦距为班,那么加的值不可能为（）A. 1B. 7C. -1【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的焦距，分|对4, |曰4求解.【详解】由题知，c=6假设 M4,那么 2=W，/=4,所以W=7,即加=±7 ； 假设同4,那么/=4, b = n=,即加=±L 应选：D考点二椭的顶点、轴长典例2.=1（力0）的短轴长为8,且一个焦点是圆x2+ /一6x + 8 =。的圆心,那么该椭圆的左顶点为()C. (-4, 0)C. (-4, 0)D. (-5,0)A. (-2,0)B. (-3,0)【答案】D【解析】【分析】 根据椭圆的一个焦点是圆V+V6犬+ 8 =。的圆心，求得如再根据椭圆的短轴长为8求得。即可.【详解】 圆工2 十 p2一61+ 8 = 0的圆心是(3,0),所以椭圆* + 5 = 1(。/»0)的一个焦点是(3,0),即c=3, cr b22乂椭圆5 + =t = 1(q>>。)的短轴长为8,即。=4, a" b所以椭圆的长半轴长为。=病方=5， 所以椭圆的左顶点为(-5,0), 应选：D7、,2变式21.以椭圆2+2=1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是() 2j Io22A. +16r x2 c石+B. U9 1622D. 土 + 匕=116 25【答案】B【解析】【分析】 求出椭圆的两个焦点及短轴的两个端点坐标，确定出所求椭圆的长轴、短轴即可得解.【详解】椭圆卷+ 1 = 1的两个焦点片WO),耳(3,0),短轴的两个端点4(0,-4),当(0,4),2j Io那么以点耳(-3,0), F2(3,0)及B、(0,-4),%(0,4)为四个顶点的椭圆长轴长2a =| & |= 8 ,短轴长2b =|耳巴|= 6 ,其焦点在y轴上，中心在原点，方程为工+上=1, 9 1622所以所求的椭圆方程是：j + 3 = L 9 16应选：B变式22.连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，长轴长与短轴长之比为()A. 2B. 25/3C.273丁D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意可得a = 2c,再根据a,4c之间的关系，将6用。表示，从而可得出答案.【详解】解：因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以Q = 2c ,所以2 = 3°2 ,所以 /? = Gc ,1 ./r 2a a 2c 273汽又=-=7=,2b b &3所以长轴长与短轴长之比为RL3应选：C.变式2-3.椭圆f+股2=1的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的2倍，那么”的值为（）A. 2B. ；C. 4D. 64【答案】B【解析】【分析】根据条件列方程，化简求得力的值.【详解】依题意，方程f +冲2=1,表示焦点在y轴上的椭圆，/+匚11所以机0,1 ,故一1,0机1,只有B选项符合.-mma2=-9b2=l9由于长轴长是短轴长的2倍， m即 2a = 2x2b,a = 2b, a2 = 4b2, = 4 ,解得 m = ,m4应选：B考点三求椭圆的离心率22典例3.椭圆C:典例3.椭圆C:亍+£ = 1（"人0）的左、右焦点分别为片，K, p为椭圆。上一点，假设尸和的周长为18,长半轴长为5,那么椭圆。的离心率为（）.A. -B. 1C. |D.4535【答案】B【解析】【分析】因为。耳耳的周长为18,所以2a +2c = 18,结合题意可得。= 5,c = 4 ,代入离心率公式g = ±运算求 a解.【详解】 设焦距为2c.因为片鸟的周长为18,所以2 +2c = 18,所以+c=9.因为长半轴长为5,即。= 5,c = 4r 4所以椭圆。的离心率为=£=、 a 5应选：B.22变式3-1.点A, 5分别是椭圆+的右、上顶点，点。为椭圆。上一点P 向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点片，且A3OP,那么椭圆。的离心率为（）AA，4【答案】C【解析】【分析】h2根据题意可得4。，。），WO, b）, P（-°,幺），再根据丽/而列式求解即可 a【详解】b2由得：4。,。），B（0, b） , P（-c,） a A2所以 A5 = (")，OP = (-c,) a由 得：AB/OP h2所以一。= -b-c a所以b = c由 a2 =/+c由 a2 =/+c2 得:a = 2c所以e，a应选：C所以e，a应选：C显222变式3-L耳，鸟是椭圆C：a + 2 = im。）的两个焦点，P为c上一点,且。工=60。,PF=3PF2,那么C的离心率为（）A,亚2【答案】CB平DI【解析】【分析】 根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.【详解】22在椭圆c：5十=1（。0）中，由椭圆的定义可得归耳|+|年1 = 2许 cr b因为|*=3|明，所以愿吟附|广，在*谯中，周= 2°,由余弦定理得忻图2=|P£+|P周22归耳忖段cos/与夕鸟, 即小竽+ 2手苧所以，所以C的离心率 应选：C 变式3-3.椭圆C ：/ +方=1（ （）与圆G ：尤2 + 9 =飞-，过椭圆C1的顶点作圆G的两条切线，假设两切线互相垂直，那么椭圆G的离心率是（）B.手A.如3【答案】B【解析】【分析】 根据椭圆和圆的方程，结合图形，可判断出相切时，切线与坐标轴的夹角的大小，进而求解.【详解】由题意可知，假设两切线垂直，那么过椭圆的左右顶点作圆的切线.2两切线垂直，只需要NAPO = 45。,所以?=旦n8/=5/n8c2=3/ne = 5 I 2 J4应选：B考点四椭考点四椭的离心率的取值范22典例4.点A、3为椭圆£:二+ 1 = 1（。>>0）的长轴顶点，P为椭圆上一点，假设直线B4, PB a， b/32、_的斜率之积的范围为-彳，-£，那么椭圆E的离心率的取值范围是（）1 45）C.C.1 V3 4jTD.j_ J 4?3【答案】A【解析】【分析】根据椭圆性质%=-1结合离心率/=:=1-运算处理. cra cr【详解】由题得：kpA'kpB由题得：kpA'kpBb27/一1 £1 V329V应选：A.应选：A.变式4-1.椭圆CX2屋+22 = 1（。心0）的左、右顶点分别为A, 4,且以线段44为直径的圆与直线法-世+ 2必=（）相交，那么椭圆。的离心率的取值范围为（）A.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题设以线段AA2为直径的圆为Y + y2=",根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】,2ab 所以G 所以当<©<1. /,2ab 所以G 所以当<©<1. /由题设，以线段A4为直径的圆为/ + y2=",与直线+ 2必=。相交,2可得%之=3（6z2-c2）a2,即/一，又Ovevl,应选：B222变式42设1心分别为椭圆5+ * = 1（。0）的左、右焦点，假设在直线工=-幺（c为半焦距）上 a b-c存在点尸，使上国的长度恰好为椭圆的焦距，那么椭圆离心率的取值范围为（）A.A.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到|M耳,2c,得到2c,求得£之无，进而求得椭圆离心率的范围. ca 3【详解】22如下图，椭圆方=1,可得焦距剧= 2°,2因为在直线x =-幺上存在点P,使|尸耳|的长度恰好为椭圆的焦距， C可得M用2°,即G_cW2c,可得/3/,即SnL 解得正 ccr 3 a 3又因为椭圆的离心率一。,1）,所以一乌1）.应选：B.22变式4-3.小尸2是椭圆点+ * = 1（匕0）的左、右焦点，椭圆上一点M满足/平明=12（尸, 那么该椭圆离心率取值范围是（）