圆锥曲线复习题及答案.docx
圆锥曲线复习题1.已知双曲线C：l（a>0, b>0）的离心率为手，且该双曲线经过点P（遮，?）.（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为力，心的两条直线八，/2均经过点。（2, 1）,且直线八，/2与双曲线 。分别交于4S两点（4 B异于点、Q）,若片+依=1，试判断直线力4是否经过定点， 若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）由离心率及隐含条件可得。2=3射，/=2序，得到双曲线方程为三一二2匕2匕21.把点尸的坐标代入求解儿 即可得到双曲线C的方程；（2）当直线48的斜率不存在时，点力，4关于x轴对称，A （刈，/），B （刈，-vo）, 由总+2=1，得xo=O,不符合题意，故直线力的斜率存在.不妨设直线力的方程为y =kx+t,代入双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用|+依=1及根与系数的关系可得Z= 1或Z= 1 - 2k.再把/代入直线AB的方程，即可得到直线AB过定点.【解答】解：（I）由离心率为£ =渔,且俗=1+上,得,2=3序，£=2层, a 2%2 y2即双曲线方程为= - B = 1.2b2 b2B31又点p（V5, 丁）在双曲线。上，一天= 1,解得层=1，J=2,x2双曲线。的方程为三y2 = 1.（2）当直线48的斜率不存在时，点4 8关于x轴对称，设 4 （xo，vo）, B （xo，-用），则由小2L得" + ”=1, %（）-2 Xq-2即二=1,解得xo=O,不符合题意，故直线的斜率存在. xq-2x2不妨设直线48的方程为代入号一丁 = 1,整理得（2必-1） ?+4to+2?+2=0 （2必-1#0）, A>0.设力（xi> y）, B（X2，>2），则与 + 小=4kt2产+2由 ki+kz= I，得*1 = 1, 即%-242-2kxi+t-1 k犯 + 亡-1工1-2初一2整理得(2k - 1) xX2+ ( / - 2k+ ) (xi+x2) - 4/=0,A(2/c- 1)A(2/c- 1)2d+22k2-1+ (t-2/c + l)-(-4t =0,整理得：P+ (2/c-2) t- +2k=0,即(/-I) 2k - I) =0,当，=1时，直线的方程为y=Ax+l,经过定点(0, 1)；当7=1-2%时，直线/出的方程为(x-2) +1,经过定点0(2, 1),不符合题意. 综上，直线力8过定点()，I).【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查逻辑思 维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题.x2 V2一 V3.如图，椭圆。：区+至=l(a>b>0)的一个顶点为夕(0, - 1),离心率为3.八，h 是过点P且互相垂直的两条直线，其中，八交圆C2：，+/=4于力，B两点,/2交椭圆 Ci于另一点。.(I )求椭圆Cl的方程；(II)求48。面积取最大值时，直线/|的方程.【分析】(I)利用椭I员I的一个顶点求出b的值，由离心率得到。和c的关系，结合? =a2-b2,求出m b,即可得到椭圆的标准方程；(II)由题意，设直线八，/2的方程，利用点到直线的距离公式求出直线人被圆，+/= 4所载的弦48的长，联立直线/2与抛物线，得到韦达定理，利用弦长公式求出|DP|,然 后求出48。的面积，利用基本不等式求解最值，即可得到答案.【解答】解：(I )因为椭圆的一个顶点为尸()，-1),则Q1,乂离心率为巡，则=, 2 a 2 结合。2=。2-62,解得 q=2, b=l,所以椭圆的方程是3+ y2 = 1;(H)因为直线且都过点产(0，-1)，则设宜线 /| ： y=kx - 1,即 h - y - 1 =(),直线力：y = -tX - l=>x + /cy + k = 0,故圆心(0, 0)到直线八的距离为弓二、 Jl+必所以直线h被圆/+f=4所截的弦J1+必(x + ky + k = 0联立方程组无2=> k2x2 + 4x2 + Bkx = 0,(彳+丁 = 1所以玄+ Xp = 光- ¥+4故 |DP|= (1+p)故 |DP|= (1+p)92 - .2 ,.(必+4) k +4所以 Sm8d=发力团 |DP|二：x所以 Sm8d=发力团 |DP|二：x323216 r3=T332J4k2+3+二 4x814/+3 4/c2+3+13当且仅当，钝2 + 3 = , 13 =3=k = 土孚时等号成立, 322此时直线/i的方程为y = +x-l.【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与圆的位置关系的运用，直线与椭圆位 置关系的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关 系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法 进行研究，属于中档题.%2 y2.设P是椭圆C： + 77 =1 (a>b>0)上异于长轴顶点4,42的任意一点，过?作C az bz的切线与分别过出，怒的切线交于8|,仍两点.已知|力弘2|=4,椭圆C的离心率为去(1)求椭圆C的方程;（2）以与&为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点; 如果不过定点，说明理由.【分析】（1）由|由42|=4,椭圆C的离心率为右列方程组，解得。，力，c，进而可得答 案.（2）设尸（加，和），设过P的椭圆的切线为j，=Ax+6,联立直线与椭圆的方程，令1 =0,得女与/）之间的关系，求出B点坐标，再计算M%iM方2=0,解得答案.（|i4ii42| = 2q = 4【解答】解：（1）由题可知c 1，le = a = 2解得 4 = 2, c= I ,所以 a2=b2+c2=3,%2 y 2所以C的方程为丁 + =1.43（2）设尸（出，和），由于尸是异于长轴顶点小，血的任意一点，故切线斜率存在.y = kx + b设过尸的椭圆的切线为丫=h+方，联立方程/ y2 , 匕+专=1得（3+4必）x2+mx+4b2 - 12=0, = （8祐）2-4 （3+4必）（4b2- 12） =0,仅 o = kx0 + b结合y 2 ，解得过户点的切线方程为产一寥 +白 43由于分别过小，血的切线分别为x=-2, x=2,解得81，&的坐标为81 （ -2,竺出），Bi （2,史0包）， 2yo2yoq 星 1 I rr -、 ri T6 + 3X0k-6 - 3%（）、在 x 轴上取点 M（3 0）,则MB1 = （ - 2 -）, MB2 = （-2+3 -）,2yo2yo所以=尸4+售字=户1,当尸±1 时，=0,所以，以为直径的圆过x轴上的定点为Q （ - 1, 0）,尸2 3, 0）.【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力， 属于中档题.第5页共5页
