4．1指数习题与解答.docx
第四章指数函数与对数函数(1) 以下各式的值：(1)n(-8)3； (2) J(10)2 ； (3) (3-)4 ; (4) W叫2 .a-b.a>b【答案】(1) -8； (2) 10； (3)不3； (4) <7 .b-a.a<o【解析】分析利用根式的性质逐一对(1)(2) (3) (4)中各式化简即可.【详解】(1) #(8)3 =8；(-10)2 =|-10| = 10；(2) 小(3-兀)，=3 乃=兀-3 ,n (a-b,a>b(3) J(。叫=i=0aa<b-【点睛】此题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.216 -2.求值：oj； (-)4X 8127 【答案】4；O【解析】【分析】根据指数的运算法那么：("")"=#""求值，注意运算过程中应用8 = 23、1 A ，八4-=-简化运算81221 2【详解】时="=2'=22=4(更产=(2产=(2尸卫81338【点睛】此题考查了指数运算；运用指数运算法那么(优="化简求值3.用分数指数幕的形式表示以下各式(其中a>0)：1 3 75【详解】（1）原式 ClCL2 3 57（2）原式一丁 Ct C4（3）原式 _312 T12_ 一 y - y2 11 1（4）原式=（_6）后65=-6a【点睛】此题考查指数幕的运算法那么，同底指数幕的乘法和除法运算，关键在于熟练掌握运算法那么准确求解.17 .如果在某种细菌培养过程中，细菌每10根血分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1/2, 1个这种细菌可以分裂成 个.【答案】64【解析】【分析】一个小时分裂6次，根据分裂规那么，即可求解.【详解】由题：细菌每10 山分裂1次（1个分裂成2个）, 经过1可分裂6次，可分裂成26 = 64 （个）.故答案为：64【点睛】此题考查利用指数累的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问 题转化为纯数学问题., 、 _, ,1、3m-In ,. （1） 1（F =2,10 =3,求 10 的值；(2)B=3,求"的值. ax + ax【答案】（1）处；（2）二 33【解析】【分析】（1）根据指数基运算法那么将原式转化为10T .10即可求值;（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.3 m【详解】（1）原式=10彳+10二(10"j+3 = 2=¥；a2A - axcf x + a2xax + ax_ 2x i . _,-2xci 1 + a_ 2x i . _,-2xci 1 + a【点睛】此题考查根据指数幕的运算法那么求代数式的值，利用整体代换，涉及因式 分解.19.求以下各式的值：（1） +（2） a2+a-2.Cl I Cl - J【答案】（1） 7； （2） 47.【解析】【分析】（1）对等式3两边同时平方即可得解； Cl I CI - J（2）根据（1）对 +=7两边同时平方即可得解.【详解】（1），两边平方得 + 2 + 4-=9.。+ 7=7. Cl I CI - J（2）由（1）知q + qT=7,两边平方得4+2 + Q-2 =49,/./+。-2 =47.【点睛】此题考查与指数幕运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.20 .从盛有LL纯酒精的容器中倒出然后用水填满；再倒出:二，又用水填 33满（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？（2）连续进行次，容器中的纯酒精还剩下多少？32【答案】二。）；-L.243【解析】【分析】2(1)每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的彳，根据比例关系即可求解；2(2)结合第(1)问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的彳，即可得解.2?【详解】(1)倒出1次后还剩加满水后浓度为9 2倒出2次后还剩=3 39 2倒出2次后还剩=3 3倒出3次后逐剩(,、3倒出4次后还剩-<2?倒出5次后还剩-一 (2 V(L),加满水后浓度为一.7(L),加满水后浓度为一(3 J42X=3(1<3，2、(£),加满水后浓度为一.13 J2X=332=。)243(2)由(1)知，连续进行了 次，容器中的线酒精还剩下-L.【点睛】此题考查利用指数性质解实际应用题，关键在于建立恰当的函数模型求 解.21 . (1)当 =1, 2, 3, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 时，用计算工具(1、 计算1 + -(1、 计算1 + -的值;(2)当越来越大时,1+-/1、1+- 的底数越来越小，而指数越来越大，那么I 2是否也会越来越大？有没有最大值？【答案】(1)见解析；(2)是，没有.【解析】【分析】(1)利用计算器依次计算求值；(2)根据(1)的计算结果分析，|+：”越来越大，没有最大值.(ix【详解】(1) 1 + - =2; 1 + -l 1J I 29_4(12.25; 1 + -l 3X 2.3704 ；、101+=1.110«25937; 1 +100；100=LOT00 P 2.7048；X KXX)1+1000J= l.OOlloo« 2.7169；10000= 1.000 10000 比2.7181;X KX KXX)1000007（2）由（1）知，当越来越大时，a+-的值也会越来越大，但没有最大值.= 1.0000r()(XKX)«2.7183.【点睛】此题考查利用计算机计算指数累的值，根据指数累的大小关系分析代数式 的变化趋势，和最值的情况，表达了根据有限的事实与类比无限的思想. .江；(2) 7-Q 【答案】（1） 与；（2） 【解析】 【分析】将根式化为分式指数塞,将根式化为分式指数塞,然后利用指数幕的运算律可将（1） （2）中的代数式表示为。的分数指数累的形式.【详解】（1） / .疗(2)(2)_OX。？【点睛】此题考查根式与指数幕的互化，同时也涉及了指数幕的运算律的应用，考 查计算能力，属于基础题.；(3)4.计算以下各式（式中字母均是正数）:(1) 2613b2 -6a2b3 + 一3a6b° ； (2)7722.【答案】(1) 4a； (2)(3) &i-a. n【解析】【分析】（1）利用指数累的运算性质化简计算即可,但需注意底数相同的项对应指数相加减;（2）利用指数幕的运算性质化简计算即可;（3）将根式化为分数指数幕，然后利用指数幕的运算性质化简即可.【详解】（1）2a3 b?-6<72Z?3 + -3a6 b°2a3 b?-6<72Z?3 + -3a6 b°=2x(-6) + (3)2|_523 6 - 4而)=4a .(2)_m4n3、8 8 /7 3、82 -3-m nm2几32 a1'3_j_+=3 2 _a2 2 =a6 a =右一【点睛】此题考查指数幕的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幕，考查计算能力，属于基础题.5,用根式的形式表示以下各式（。>。）：1332（1）（2） 7； （3）小；（4） 一“ CClsC4【答案】（1）八；（2） V7 ；（3）（4）1【解析】【分析】 利用分数指数幕的定义可将（1）（2） （3） （4）中的分数指数基化为根式的形式.【详解】,、 31_（2）a4 =；【点睛】此题考查将分数指数幕化为根式，熟悉分数指数幕的定义是解题的关键, 考查计算能力，属于基础题.6 .用分数指数累的形式表示以下各式：（1）（x0）；（2）鼻（m-孔,（m > 几）;（3）-yp （p > 0）； （4）【答案】（1） %3（%o）； （2） （zn-n）5 （m>n）；（3） p2 （p>o）;（4） a2 >o）-【解析】【分析】 利用分数指数累的定义可将（1）（2） （3） （4）中的根式化为分数指数基的形式.2【详解】（1）当x>0时，M了 =/；5 - 2 +6 - 2P（2）当机,时， >0,那么，（祖"）4 =（2 尸；（3）当>°时，(4)当0时，* = ' = & 2 =Q2.a1【点睛】此题考查将根式化为分数指数幕，熟悉分数指数幕的定义是解题的关键, 考查计算能力，属于基础题.7 .计算以下各式:1,112、1 1 I (1)(2) 26x3gx姮；(3) 5"一(4) 2% -x3-2% 3 VvCt-/71.1x【答案】(1)|;(2) 18； (3)(4)【分析】(1)利用指数幕的运算性质化简计算即可；(2)将各数化为2和3的指数累，利用指数累的运算性质化简计算即可;(3)利用指数幕的运算性质化简计算即可；(4)利用指数塞的运算性质化简计算即可.【详解】(1)1 2V3x3VT5xV12 = 2x32x3x - '12,_ _1 1 1，+1 1+1+1+1(4) 2x 3(4) 2x 3( 1 二、X3 -2x 3_2=X 3 3 4% 3 3="X= 2x3ix3x35x2"x2x3 =2-x3r=2x32 =18 ；【点睛】此题考查利用指数幕的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数 指数累，考查计算能力，属于基础题.8.计算以下各式：(2)712兀aa 3 Q不,【答案】(1) 64m3;(2) 1.【解析】【分析】(1)将根式化为分数指数幕，利用指数幕的运算性质化简计算即可；(2)利用指数幕的运算性质化简计算即可.( 苴丫召L 走2八【详解】(1)原式= 2 - m 2= 2vx2 - m 2 ' = 26m3 = 64m3 ；(2)原式”红专一。一1. Ct Ct JL【点睛】此题考查利用指数基的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数 指数累，考查计算能力，属于基础题.9 .利用计算工具，探究以下实数指数幕的变化规律：(1)%取负实数，使得|%|的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势；(2) %取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的-(xwR) 的值，观察变化趋势.【答案】(1) %取负实数，使得国的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2、趋向于0, 值见解析；(3) %取正实数，使得的值逐渐增大，当了的值趋向于无穷大时，W 的值趋向于0,值见解析.【解析】【分析】(1)分别取 的值一1、2、一3、7、-5、一6、-7、- 10、12、-15、L ,利 用计算器计算出对应的2、的值，列出表格，即可得出规律；(2)分别取的值1、2、3、4、5、6、7、10、12、15、L ,利用计算器计(1算出对应的-的值，列出表格，即可得出规律.【详解】(1)由此可以看出，取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2、趋向于X1-2-3-45-6-7-10-12-15 2X0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.000980.0002440.0000305 0；（2）由此可以看出，%取正实数，使得的值逐渐增大，当%的值趋向于无穷大时，X1234567101215 Y0.0.0.10.060.0310.0150.00780.0000.0000.000052525252562512598244305 的值趋向于0.【点睛】此题考查指数累的值的变化规律，计算时可充分利用表格的形式将数据呈 现出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10 .求以下各式的值： Vioo7； <2) #(0.1)5 ； (3) 正 4)2 ; (4) 0(% 4 .【答案】(1) 100； (2) -0.1； (3) 4 "；(4) U - yl.【解析】【分析】(1)根据偶次根式运算法那么可得；(2)根据奇数次根式化简运算可得；(3)根据偶次根式化简法那么，考虑%-4<0即可得解；(4)根据偶次根式化简法那么，考虑-，符号不确定，加绝对值即可得解.【详解】(1) /w=ioo；（2） %（-0.1）5 =-0.1；（3）J（7一4）2 二|一4|=4一；（4） «-丫）6 =|x_y|.【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号.一、选择题11.设。>0,那么以下运算中正确的选项是（）.4 3232 _2_A, a3a =a B +C. a3a 3 =q D.储），=【答案】D【解析】【分析】利用幕的运算性质一一计算即可.【详解】根据幕的运算性质可得：4 34 325辽、n34 - z,3+4 牛 a'故 A 冕庆；2212/一§小wa”故B错误；222 2、=3一§ =° = iw（r 故c错误；i ）（公）4=加、故D正确.应选：D.12.设>0, m, 是正整数，且>1,那么以下各式痂；。°=1；-9 1a n =-j=正确的个数是（）V dA. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】利用指数幕的运算性质即可得出.【详解】解：>（）,办是正整数，且>1,显然。°=1，正确,- 1/ a " = -f正确，应选：A.2一3'2一中最大的数是:二、填空题13.在【答案】-【解析】11 _11【分析】可看出（-尸。，且#=2"然后根据指数函数y = 2"的单调性即可得 出最大的数.111 _1【详解】解：（7尸。，（，）7222 220, 22.最大的数是（工丫.（1V1故答案为：-0.按从小到大的顺序，可将2君,3应小有,2,重新排列为 （可用计算工【答案】2耳3应2兀君【解析】【分析】利用计算器算出每个指数基的值，即可进行比拟.【详解】利用计算器26 =3.32,3拉=4.73,万君=12.93,2"=8.82，所以2、" 3也 2" 苕.故答案为：2后3应【点睛】此题考查指数幕的大小比拟，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性 处理.14 .用分数指数塞表示以下各式（式中字母均为正数）：(1)；(2)r ； (3)a(ym)5【答案】(1) 1； (2)(3) 1.【解析】【分析】(1)(1)将根式化为分数指数事形式再进行计算;(2)将根式化为分数指数累形式再进行计算;(3)(2)原式=【详解】(1)原式=2a )i21=/3a11d11；(1 ry a2y!a_-a2 ；1 ! _!_(3)原式二丝?孚m6 m41 1+-+=m2 3【点睛】此题考查根式与分数指数塞的化简计算,熟练掌握运算法那么，准确化简求分别将分子分母的根式化简为分数指数幕的形式，进行计算求解.值.15 .计算以下各式(式中字母均为正数):、1 3 7(1 ) 3q4q12 ；(2)(13 12xy “<7(4) 44 3 J2。3b1 3【答案】(1) J； (2)京；(3) x4-9 ； (4) -6a-【解析】【分析】(1)(1)同底指数幕相乘，底数不变，指数相加;(2)(3)根据指数幕运算法那么求值;(4)根据指数基的运算法那么求值即可.2 3 5根据指数幕运算法那么得3+丁小 化简即可;
