基本不等式及其应用含解析.docx

7.2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1 .基本不等式:而 < 学基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.(3)其中字称为正数a,b的算术平均数,GF称为正数a,b的几何平均数.2 .利用基本不等式求最值已知 x>0,>0,如果积呼是定值p,那么当且仅当 时,x+y有最值是2 G(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时冲有最值是亍(简记:和定积最大).4常用结论(1)次+按22的a£R),当且仅当a-b时取等号.(2)必忘(早)2(4力£R),当且仅当a=b时取等号.(3卢竽 > (早?乃金阳,当且仅当a=b时取等号.(41+ 12(力£ R,且a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.考点自诊1 .判断下列结论是否正确，正确的画甘'，错误的画“x».(1)当。巳0/20时，字 > 而.()两个不等式4b。2ab与4 > 发成立的条件是相同的.()(3)函数的最小值是2.()函数,/(x)=sinx+4的最小值为2.()(5)x>0且,y>0是2+%2的充要条件.() y 尤2 .若>0力>0,就=2,贝Ia+2b的最小值为()A.2V2B.4C.4V2D.63 .(2020北京海淀期中,4)设q,"£R,且"<0.则()a 11Af4.（2020山东淄博4月模拟,14）已知且a3。+6=0,则2。+吃的最小值为85.（2020北京陈经纶中学摸底,14）设工0,）0/+2产2,则孙的最大值为关键能力学案突破利用基本不等式证明不等式【例1】（2020黑龙江哈尔滨香坊区期末）已知。0力0,c0,且+0+c=l,求证:9 >1 - C + 1 -b + lHa n-Z4思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?解题心得利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能 直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不 等式的条件;若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条 件中含有1时,要注意1的代换.另外，解题中要时刻注意等号能否取到.对点训练1已知0力O/+b=l,求证:（1 +£） （1 + 1）9.利用基本不等式求最值（多考向探究）考向1求不含等式条件的最值问题【例2】若光0,则函数yr+的最小值为（）A.V2+1B.V2-1C.V2 + 1D.V2-1（2）+与的最小值为.sinz0 cos,6（3）已知0<xvl,则x（3-3x）取得最大值时x的值为（）考向2求含有等式条件的最值问题【例3】（1）（2020江西名校大联考，理11）若入0,户1,且满足2%+产1,贝心手 +鼻的最小V2+V2+C.2V2D.1 + V2（2）（2020天津河北线上测试,15）已知。>0力0,且工+黄1,则二+ 二的最小值 Cl uCL-1 D-1为.对点训练2（1）（2020江苏联考）已知x>0,y>0,则 * +崇勺最小值为11P（2020天津/4）已知 心0力>0,且 必=1,则止+缶的最小值为 4乙 lj ex I u考点考点基本不等式的实 际应用【例4】（2020广东高州一中月考）某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成 已知土地使用权费为6 000元用2,材料工程费在建造第一层时为500元Ai。,以后每增加一层费 用增加30元/n?.（每一层的建筑面积都相同）（1）若把楼盘的楼房设计成x层，平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;（2）若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元，求楼房设计层数最少为多少层？（3）应把楼盘的楼房设计成多少层，才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低？思著|应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么？需注意什么事项？解题心得1 .利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中 的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.2 .在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到，则可利用函数单调性求解.3 .在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.对点训练3（2020福建期末联考）某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8 万瓶.（1）据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2 000瓶，要使月总利润不低于原来 的月总利润（月总利润二月销售总收入-月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x（x216）元,并投入苧（x-16）万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.要点归纳小结1 .应用基本不等式求最值的常用方法有：（1）若直接满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式.（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平 方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整 体代换法等.2 .基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或 证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.3 .对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如。2+抉22"逆用就是府伍0力0）逆 22用就是他（早）2（。0乃0）变形有他（早）2 号!，痴平|（40力0）等,同时还要注意 “添""拆项技巧和公式等号成立的条件等.7.2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1 .(1)。>0 力 >0 Q)a=b.(l)x=y 小(2)x=y 大考点自诊L(l)d (2)x (3)x (4)x (5)x2.B 依题意,>0力0,所以a+2厄2,2ab.又。=2,所以乙+2厄2,2防=2=4,当且仅当 a=2,b=l时，取得等号.故选B.2 .D 取a=.2,b=-T代入选项A,B,C都不成立，因为""0,所以2>0白>。，且H £由基本不等 a b a b式，得”2味2.a b a b4.i由2+点=2+2-3"2V而=2中=2x2"2-2.当且仅当=-3"即q=3力=-1时,等号成±.当 仅 且 当 1 -7和时取最大值乙乙关键能力学案突破111 例 1 证明(1);。0,。0,。0,且 q+/?+c=1,- + £ + 一=a b c“("” +(£ +叽3+2 归1+2 /p+21=9.b b c a c y a b 7 b c 7 a c当且仅当a-b-c时，等号成立.1 - ID +1 - Q+ "(+Z?+c)=3+3 +C(1)('1)(11) = (±+上+。.1) (a+b+Cj ) (a+b+Cj a b cabcb+c q+c a+b, Ia b c2bc'2yac 2ab 8abc o =o. abcabc当且仅当a-b-c时上式等号成立.对点训练1证明(方法1)00力>0,。+匕=1,:1+L1+迫=2+2a a a同理，1+Q+*=)=5+2& + £)及+4=9，当且仅当2 = % a b即4=。=；时，等号成立. 乙(1+9(1 +汜 9,当且仅当。时，等号成立.乙1 +1 - I +1 - Q + 11一一1 +1 - I +1 - Q + 11一一= 1+ =1+.ab ab abVa.b 为正数,a+b=l,ab<(Y =；，当且仅当a=b=2时，等号成立.于是余4,亲8,当且仅当a=g时，等号成立.(1+9(1 +知+8=%当且仅当时，等号成立.例 2(1)B (2)9 (3)B (1)%>0,函数 y=x+六-Q+J+冷4g = & 今当且仅当工=学时取等号. 乙二函数y=x+Urr的最小值为企一;故选B. ，2%+12(2)|=()(si/e+cos2。) =1+4+ +U=为十 cos2gSin20 十 cos2g Sin KOS U 1 十今十siMg 十qsiMd /cos20 4sin20 八z>5+2 5- x=9.cosz0 7 sin，。 cosz0当且仅当cos2=2sin2时取得等号.因为0<x<l,所以x(3-3x)=3x(l-x)<3-+：%)_2=?.当且仅当产_工，即不二;时等号成立. Z4Z例3(1)B (2)4"+9=2%+$丐'1乏+册因为2r+y+l=2,所以；(2x+y +1)(工+ 1)=；( 3 +2+刍)>|(3 +2/),当且仅当小=刍,2x+y = 1时，等号成立, 2 J x y+12 x y+12x y+1'即尸2-&,尸2&-3时取得最小值5 + VI故选B.乙(2)因为。>0力>0,且卜工=1,得且b=- a ba-1所以 +=7 =+ -=白+4(。-1 巨2 1-4(q-1)=4, a-l b-1a-1 u -i a-17 a/ a-1a-1v当且仅当。言时，等号成立，因此,=+占的最小值为4. za-1b-1对点训练 2(1)472 (2)4 (1)由 xO,y>Ox+* + 竺二无+2=%+2之2 /x=4V2, x xy xy xy xy ' xy(2):公1,4£ + » 盘当且仅当x=2/,y=4时，等号成立.= + + ? + . = X! +°) + 令%。=»0,则原式a+aQ+五_t_2+河喜=2凤4.当且仅当尸二16,即t=4时，等号成立,此时工+=4.a例4解设每层的面积为zm1则该楼盘材料工程总费用为=500z+(500+30)z+(500+60)z+.+500+(x-l)x30z=zL500x+弯加0=2(15/+485幻, 乙则平均每平方米建筑面积的成本费为6000Z+P = 6000+15/+485%=485+陋+15X,XZXX故尸485+手+15x,x£N*.(2)依题意得y<1235>以陋+15烂750,所以炉50%+400或,解得109E40,所以楼层设计层数最少为10层.aoc 6000(3)产485+卜 15后485+26000xx 15%=1085,当且仅当咄=15%即尤=20时，等号成立，故应把楼房设计成20层才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.对点训练3解设每瓶定价为，元,依题意，有8«15)x0.2Q-10巨5x8,整理得己65%+750现 解得 15<Z<50.33沙-4-因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元.设每瓶定价为316)元月总利润为9则於8G能1 0.45% ,二-六。+4.5%-15卜521二5。-15 + 15)-0.45(x-15+15)454.5%-15卜52，张 一15)+黑+47.8£2j*15)|+47.8=46.3.当且仅当 i(x-l 5)=今|,即(x-15> =9, 4X-15所以x-15=3或15二-3(舍去)，所以=18.因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大,最大总利润为46.3万元