专题11双曲线及其性质（知识梳理专题过关）（原卷版）.docx

专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点片,居的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于旧玛I）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为M用或=2a（0<2a<|EW）注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当2a =旧用时，点的轨迹是以"和用为端点的两条射线；当加=0时，点的轨迹是线段片鸟的 垂直平分线.（3） 2。>闺用时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：条件是否成立：要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/，/的值），注意/+2=。2的应用.知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质44. （2022江西上饶高二期末（文）已知双曲线的焦距为2gJ居为其左右两个焦 点，直线/经过点（0力）且与渐近线平行，若/上存在第一象限的点。满足中用-俨用=助，则双曲线。离心 率的取值范围为（）标准方程0一与=1(。>0,>0) a' b'V2 X22T- = l(«>0,Z?>0) a b-图形4历.， a焦点坐标耳(-c,0), >(c,0)耳(0,-c), 6(0©对称性关于x,），轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标4（-。,0），4（。,0）A (0,a), 4(0,-a)范围实轴、虚轴实轴长为2，虚轴长为2%A. （l,x/2）B.（立G）C. （1,73）D. （&收）考点7：双曲线的简单几何性质问题.（多选题）（2022河北衡水市第二中学高二期中）已知曲线C： /加+.y2 = l,则（）A.若6=>0,贝I曲线C是圆，其半径为6b.若6则曲线c是椭圆，其焦点在y轴上C.若曲线C过点（-夜,6）,卜半,则C是双曲线D.若3 = 0,则曲线C不表示任何图形45 .（多选题）（2022江苏连云港高二期中）关于乂y的方程 +上方川（其中切2*6）表示的曲线 nr + 2 6 一 厂可能是OA.焦点在y轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在X轴上的双曲线D.长釉长为4夜的椭圆46 .（多选题）（2022河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程二+上_ = 1所表示的曲线为C,则下 3T r-1面四个选项中正确的是（）A.若则曲线C为椭圆B.若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2</<3C.若曲线C为双曲线，则/>3或2<1D.曲线。可能是圆.48.（多选题）（2022云南罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线C:-E- +上 =1,则（）2 + m 4-tnA.当? = 2时，则C的焦点是川夜,0）,川-也0）B.当，=6时，则C的渐近线方程为），= ±；xC.当。表示双曲线时，则加的取值范围为?<-2D.存在“，使C表示圆49 .（多选题）（2022江苏江苏高二期中）已知双曲线C： -/ = 1,则（）3A.双曲线C的焦距为4B.双曲线。的两条渐近线方程为：y = ±-x3C.双曲线C的离心率为竽D.双曲线C有且仅有两条过点。（L0）的切线.（多选题）（2022黑龙江哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为V-二=1,则下列说法正确 3的是（）A.该曲线两顶点的距离为26B.该曲线与双曲线），2-5=1有相同的渐近线C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D.该曲线与直线/： y = x/3（x-2）,有且仅有一个公共点（2022上海市新场中学高二期中）当必0时，方程加一"=所表示的曲线是（）A.焦点在x轴的椭圆B.焦点在x轴的双曲线C.焦点在轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线考点8：利用第一定义求解轨迹（2022河南濮阳一高高二期中（理）若双曲线C的方程为三-二=1,记双曲线C的左、右顶点为人 45B.弦PQJ_x轴，记直线以与直线03交点为其轨迹为曲线兀则曲线厂的离心率为.51. （2022吉林白城-中高二期中）己知“8。的两个顶点A 8分别为椭圆V+5/= 5的左焦点和右焦点, 且三个内角A, B,。满足关系式sin B-sin A = gsinC.（1）求线段A8的长度；（2）求顶点C的轨迹方程.52. （2022全国高二专题练习）如图所示，己知定圆A： （x+5）2 + y2 =1,定圆工：（x-5）2 + y2 = 16 ,动 圆M与定圆入，工都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.53. （2022福建厦门一中高二期中）己知动|员1加与圆&：。+ 4）2 +），2=4外切与圆6：5-4）2 +、2=4内切， 则动圆圆心M的轨迹C的方程为.54. （2022上海市新场中学高二期中）已知两点A（-3,0）,3（3,0）,若|力-俨可=±4,那么尸点的轨迹方程 是(2022吉林一中高二期中)若动圆过定点A (-3,0)且和定圆C： (x-3)2+)，2=4外切，则动圆圆心/)的 轨迹方程是.55. (2022广东深圳市宝安中学(集团)高二期中)已知点M(-3,0),N(3,0),5(安中动圆C与直线MN相 切于点4,过M，'与圆。相切的两直线相交于点P，则点尸的轨迹方程为OA. x2- = l(x>l)B. x2- = l(x<-l)88C. x2 + = l(x>0)D. x2 = l(x> 1)810(2022江苏省镇江中学高二期中)动圆历与圆G： (x+4)2+y2 = l,圆G： x2 + /-8x + 7 = 0,都外 切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.上+ 丁=1 B. V 上= C. x2- = l(x>l) D. x2- = l(x<-l)151515'15 v 7(2022新疆博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中)动点P到点M(1，O)及点M3,0)的距离之差为2, 则点尸的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D. 一条射线(2022江西景德镇一中高二期中(理)己知定圆£：工2 +),2 + 0才+ 24 = 0,定圆鸟：/十2 T=0 ,动圆圆M与定圆£、居都内切，则动圆M的圆心的轨迹方程为()A. - = l(x>0) B. - = 1U<O) C. -21 = |(yo)D. - = 14 214 214 21,4 21(2022浙江效实中学高二期中)与圆(x + 2>+)，2=2外切，且与圆W 9 一公二。内切的圆的圆心在()A.抛物线上B.圆上C.双曲线的一支上D.椭圆上(2022天津河西高二期中)与圆f+丁 = |及圆y +),28x+12 = 0都外切的圆的圆心在()A.椭圆上B.双曲线的一支上C.线段上D.圆上考点9：双曲线的渐近线(2022全国高二期中)以双曲-)，2=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为.4(2022陕西汉中高二期末(理)己知双曲线二-)，2=1(。>0)的渐近线与圆f+(y-2)2=l相切，则。= cr()A. 1B.乎C. 3D. V322159. （2022湖南高二期末）若双曲线C：5f = l（a>0,>0）的离心率为6,则直线x 与两条渐近线 围成的三角形的面积为（）A. 4及B. 4C. 2拒D. &60. （2022北京市十一学校高二期末）椭圆G：h+反=|与双曲线C?： £-=1的离心率之积为1，则 43a b双曲线G的两条渐近线的倾斜角分别为（）冗 兀兀 兀，冗 5冗_ it 2nA _, B. , 一C.D. ，663366332261. （2022河南新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理）已知双曲线土亲-igO,6>0）的左，右焦点 分别为小K，若双曲线的左支上存在一点尸，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点。，且归身=3怩。|, 则双曲线的渐近线方程为（）3423A. y = ? XB. y = ±-xC. y = +xD. y = ±-x2262. （2022河南封丘一中高二期末（文）已知点网4a,0）是双曲线。千珠=1m>0力>0）的右焦点, 过尸作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为例，若。“尸（点。为坐标原点）的面积为8,则。的实轴 长为（）A. 8B. 6GC. 6D. 4>/3263. （2022福建三明高二期中）双曲线Y-E = l的右顶点到渐近线的距离为（）4A.正B.侦C. 1D. 255考点10:共焦点的椭圆与双曲线222264. （2022全国高二期末）已知椭圆二+与=1与双曲线二-二=1 （机>0, >0）具有相同a b-m n焦点B、尸2,尸是它们的一个交点，且记椭圆与双曲线的离心率分别为e/、C2,则的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5222265. （2022全国高二课时练习）已知椭圆。|：W+当=1（4>04>0）与双曲线。2七一年=1（4>。也>0）a； 4a； b；有相同的焦点耳、6，P点是曲线C1与的一个公共点，分别是C1和C?的离心率，若尸耳_1_2入，则4e：+e；的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. U5222（2022江苏南通市海门实验学校高二期中）已知双曲线。:马-5 = 1（>0力>0）满足2 =好，且与椭圆 a b-a 2二+=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（）12 3A. -1 = 1B. - = 14 58 10C. - = 1D.工工=15 44 374. （2022吉林延边二中高二期中（理）若椭圆+ = 1和双曲线二-亡=1的共同焦点为F2, P是 25 1645两曲线的一个交点，则cosNPE的值为.离心率CVe = - = . + (e>) a V a'渐近线方程令鼻一斗 =0n y = ±", a" lra焦点到渐近线的距离为令»°=户土?' 焦点到渐近线的距离为力点和双曲线的位置关系厂/ b2>1,点（%,%）在双曲线内 （含焦点部分）=1，点（/，%）在双曲线上<1,点（%,先）在双曲线外V X2 <病b2> 1,点（%o，%）在双曲线内 （含焦点部分）=1,点（%,九）在双曲线上< 1,点（%, y0 ）在双曲线外共焦点的双曲线方程22a' +k h- -k2*>VX"/ 2 , ,2、a- +k b -k共渐近线的双曲线方程225T = 60) a b22斗一二=%(4 = 0)a" b切线方程= 1,（%,九）为切点 a， b.H-誓=1，（6为）为切点 a o切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为尸换成），“便得.切点弦所在直线方程警-萼= 1,（七,），。）为双曲线 a- b"夕卜一点差-苦=1,（毛,）为双曲线外一点 a b点（小,为）为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为4（内,凹），倒，了2），&A8 = A 则弦长|4却=Jl + 公_引=J1+表.|y _乃|伏*0）,1% -即=>/（% +x2）2 -4x2 =音，其中是消“y"后关于“X”的一元二次方程的 “一”系数.通径通径（过焦点且垂直于写工的弦）是同支中的最短弦，其长为更 a焦点三角形双曲线上一点P(f，No)与两焦点耳,6构成的APFR成为焦点三角形，设N.尸玛=6,归用=, |尸.| = &，则8S”1-2 rr2Fy O1 FXc1. 0 sin夕i b3)b|,焦点在H由上S-尹一 .0 'I闯，焦点在掰上2焦点三角形中一般要用到的关系是|P/-|-|P| = 2«(2«>2c)5A叼2二尸/促周sinP6忻外=|p用2 +附一2|p用|叫COS“次等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等釉双曲线=4 =方0离心率6 =夜=两渐近线互相垂直o渐近线方程为y = =方程可设为f -/ = A(2 * 0).【专题过关】【考点目录】考点1:双曲线的定义与标准方程考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1. （2022江西科技学院附属中学高二期中（理）已知O为坐标原点，设B分别是双曲线/一/=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点B作/尸，尸2的平分线的垂线，垂足为“，则|。，|=（）A. 1B. 2C. 4D. y（2022黑龙江铁人中学高二期中）双曲线5 工=1 （«>0）的左、右两个焦点分别是£与乙，焦距 cr 12为8； M是双曲线左支上的一点，且|峭|=5,则|M国的值为（）A. 1B. 9C. 1 或9D. 9或 132. （2022天津耀华中学高二期中）与椭圆C：A + t = 1共焦点且过点0,6）的双曲线的标准方程为（）A.工2_2_ = B. y-2,r =13-C.D. 21-x2 = 1223（2022河北高二期中）已知双曲线W-1 = 1的左、右焦点分别为"，F-。为坐标原点，归周= 10, a b点M是双曲线左支上的一点，若|0切=77/，4|M£| 二 3|M段，则双曲线的标准方程是（）A,上上印 4 214. （2022北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为爪0,3）,鸟（0,-3）,尸是双曲线上一点且|百卜归司=4,则双曲线的标准方程为（）5. （2022广西钦州一中高二期中（文）已知平面内两定点4（-3,0）,玛（3,0）,下列条件中满足动点/）的轨迹为双曲线的是OA.附|-|尸&=±7C. |尸国-|尸玛卜±4轨迹为双曲线的是OA.附|-|尸&=±7D. |尸国-|尸玛卜±4B. |班|-|尸周=±6E. |呐,-I尸用=±66. （2022福建南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4, 0）, （4, 0）为焦点，且过点（3,厉）的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10,双曲线的渐近线方程为x±2y = 0,求双曲线的方程.7. （2022黑龙江,大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点分别为（0,-6）, （0,6）,且经过点4-5,6）；（2）经过点（3,府），（-4,-276）；考点2：双曲线方程的充要条件（多选题）（2022全国高二期中）已知曲线= 1.则（）A.若加>心0,则C是椭圆B.若/=>（）,则。是圆C.若小<0,则C是双曲线D.若?=0, >0,则。是两条直线10. （2022河南高二期中（文）己知AeR,则“2< A <3"是“方程上匚=1表示双曲线”的（） 6-k k-2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2022吉林辽源市HI家炳高级中学校高二期中（理）是"方程+反=1表示的曲线为双曲线” m 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题（2022安徽淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知石、尸2是等轴双曲线C：/y2=的左、右焦点，13. （2022上海金山高二期中）已知6、入分别为双曲线5-点P在。上，/月鸟=60 ,则归/讣|尸图等于.=1（>0,。>0）的左、右焦点，若点入到该双曲线的渐近线的距离为2,点/,在双曲线上，且PK=60。，则三角形片户鸟的面积为.14.（多选题）（2022湖南省汨罗市第二中学高二期中）已知点。是双曲线氏的右支上一点， 169行为双曲线E的左、右焦点，的面枳为20,则下列说法正确的是（）Of）QAA.点P的横坐标为胃B.的周长为中C.“尸居小于£D. 居的内切圆半径为13415. （2022四川间中中学高二期中（文）已知与鸟为双曲线C：工一二=1的两个焦点，P,。为。上16 4关于坐标原点对称的两点，且仍。=归段，则四边形为7工的面积为.16. （2022广东江门市第二中学高二期中）双曲线f-E = l上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么 64 16点?与另一个焦点的距离等于.17. （2022新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理）已知双曲线二-=1的左、右焦点分别为K， 45sin /PF F已点。是双曲线左支上一点且|尸制+|?国=8,则”.oil1 1 /7718. （2022天津市咸水沽第二中学高二期中）己知，尸2分别是双曲线三-二=1的左、右焦点，力8是过点 9 16写的一条弦（4 8均在双曲线的左支上），若aAB写的周长为30,则|人团=.19. （2022吉林白城一中高二期中）双曲线】-4=1的两个焦点为品工,点尸在双曲线上，若丽朋= 9160,则点P到x轴的距离为.20. （2022上海市崇明中学高二期中）己知双曲线§-4 = 1的两个焦点分别为"、F2, P为双曲线上一点，16 9且/白产工=',则的面积为.22（2022江苏高二专题练习）双曲线3-1=1（。力0）过焦点匕的弦力以力、8两点在同一支上且长为如 另一焦点为居,则aABJ的周长为（）.A. 4aB. 4amC. 4a + 2?D. 4a2m（2022新疆乌鲁木齐101中学高二期中（文）设乃是双曲线又一斗=1的左、右焦点，P为双曲 46线上一点，且|。国二3|尸可，则的面积等于（）A. 6B. 12C. 6MD. 3/10r2 ,2（2022辽宁大连高二期中）已知K，入分别是双曲线匕-乙=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的9 16点，且球;/鸟=32则月P6的面积为（）A. 8B. 40C. 16D. 8G考点4：双曲线上两点距离的最值问题（2022上海中学东校高二期末）过椭圆工+ 工 =1（9）右焦点尸的圆与圆O：f+ 丁=4外切，该圆 m m - 9直径/Q的端点。的轨迹记为曲线C,若尸为曲线C上的一动点，则长度最小值为（）A. 0B. gC. ID. 221. （2022安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理）已知片,用分别是双曲线-），=的左、右焦点，p 4 -为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若P6入内切圆圆心为/,则圆心/到圆/ +（>-1）2 = 1上任意一点的距离最小值为（）A. 2A. 2B. x/5-lC. 1D. 5/5-222（2022T01中学高二期末）双曲线C：土-匕=1的右焦点为尸，点。在椭圆C的一条渐近线上.。为坐标42原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为亚2B.双曲线亡-=1与双曲线C的渐近线相同42C.若PO工PF,则PR9的面积为正D.归日的最小值为&27. （2022北京八中高二期中）已知定点4、8,且陷=4,动点尸满足|知|尸和=3,则陷|的最小值是（）1 37A. -B. -C. -D. 52 22考点5：双曲线上两线段的和差最值问题（2022湖南长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C产-若=|的左焦点和右焦点分别是"，户厂 点力是C右支上的一点，则M用+8而q的最小值为.28. （2022黑龙江鸡西市第一中学校高二期中）。是双曲线工-工=1的右支上一点，M、N分别是圆 45"+3）2 + 丁 =2 和（3）2 + >2 =上的点，则|PM |PN|的最大值为.29. （2022黑龙江哈九中高二期中）已知双曲线的方程为x2-1 = i,如图所示，点八卜6,0）, H是圆/+卜_石）：上的点，点。为其圆心，点M在双曲线的右支上，则网的最小值为30. （2022北京高二期中）已知点A（-2,0）, 以2,0）, C（3,VTT）,动点M到4的距离比到8的距离多2, 则动点M到B,。两点的距离之和的最小值为.31. （2022湖南嘉禾县第一中学高二阶段练习）过双曲线21 = 的右支上的一点尸分别向圆8C：（x + 3）2 + V=4和圆G：Q-3）2 + y2=i作切线，切点分别为忆N,则I PM一| PN的最小值为（）A. 8B. 9C. 10D. 1132. （2022四川省江油市第一中学而二期中（文）已知跖 人为双曲线C:二-工=1（4>0）的左、右焦点， 6r 16点A在双曲线的右支上，点尸（7,2）是平面内一定点.若对任意实数加,直线4i + 3y +， =。与双曲线C的渐近 线平行，则|"| 十 |A闾的最小值为（）A. 2x/37-6B. 10-375C. 8-后（2022吉林市田家炳高级中学高二期中）设厂是双曲线工=1的左焦点，A（i,4）, P是双曲线右支 4 12'上的动点,则|尸产|+陷的最小值为OA. 5B. 5 + 473C. 7D. 933. （2022江西南昌高二期中（理）设P（x,），）是双曲线-q = 1的右支上的点，则代数式 y/x2 +y2-2y+l - Jx2 + y2-6x+9 的最小值为（）A. 屈B. 2x/5-V10 C. MY D. 75 + 76-3考点6：离心率的值及取值范围2234. （2022广东汕头市潮南区陈店实验学校高二阶段练习）已知石，外,是双曲线。：一二二1 a b的两个焦点，若点P为椭圆。2：£ + 4 = 1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，鸟取最小值，则椭 a- b圆G离心率的取值范围为（）A.A.B.c.D.35. （2022四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文）已知人，鸟是双曲线£一" = 1 （。>0, b>0） 的左、右焦点，点耳关于渐近线的对称点恰好落在以尼为圆心，|。段为半径的圆上，则该双曲线的离心率A. y2B. 73C. 2D. 73 + 136. （2022福建泉州市城东中学高二期中）已知双曲线C:二-探=1（。>0力>0）的右顶点为A,若以点A为 a- h-圆心，以为半径的圆与。的一条渐近线交于M, N两点，且丽=2两，则。的离心率为（）A. -B.赤C.巫D.如332（2022江西省万载中学高二阶段练习（理）已知双曲线两条渐近线的夹角为60。，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 述C. 2或/D.；或立332222（2022福建厦门外国语学校高二期末）如图所示，耳,K是双曲线C：二与=1（>0, >0）的左、 a' b'右焦点，过6的直线与C的左、右两支分别交于4 B两点.若|A8|：忸6|：恒6| = 3：4：5,则双曲线的离心率为（）A. 2715C. >/13D. 7341.（2022广东汕头而二期末）已知双曲线与7_21（4、。均为正数）的两条渐近线与直线x = -l围成的三角形的面积为打，则双曲线的离心率为（）A. 76B. 75C. 23D. 242. （2022湖北啷州市教学研究室高二期末）已知6，F?分别是双曲线C:，-W = 13>°力>°）的左、右焦 cC o点，以6行为直径的圆与双曲线。有一个交点夕，设PK5的面积为S,若（|?甲+|P入=12S,则双曲线C的离心率为（）A. 2B.当C. V2D. 27222（2022安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线C:，. = igO力0）的两个焦点分别为"（-a。），6亿0），”是双曲线。上一点，若MF；.mR = O, OMOF=c2f则双曲线C的离心率为（）B. 73 + 1C. V2D. 72 + 1