专题01 有理数的运算（讲通）（教师版）.docx

专题01有理数的运算1 .有理数乘方及混合运算。2 .正确运用科学记数法及近似数和有效数字。3 .能合理、自觉运用有理数运算律进行简便运算。4,科学记数法中10的累指数特征；近似数概念的理解.，考点梳理一、有理数加法1 .有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值，互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。例 1、计算：(1)(-3)+(-9)(2)( - !)+ (+ 7)(3)( + 4)+(-3)3/ 、/ 、2002 ,(4) (-5.25) + 5 (5) (- ) + 0o200312002【答案】(1) -12(2) -(3) 1(4) -0.25(5)62003【归纳总结】进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零; 再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则.进行计算时，通常应该先确定“和” 的符号，再计算“和”的绝对值.2.有理数加法运算律：有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变.即加法交换律.有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不 变.即加法结合律(4 + )+ c = a + (/? + c).交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其 中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。例 2、(1) 38+ (-22) + (+62) + (-78).、 (111、(2)原式=1+ 24xI 3 o 1Z J=皿-8 + 3-2= 1 + (-7)_ 1 7【点睛】本题考查的是有理数的加减、乘除以及乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.3 厂-110. (2022广西南宁二中九年级三模)计算：-3=9x x5 610. (2022广西南宁二中九年级三模)计算：-3=9x x5 6 = -30-6=-36【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解本题的关键-x1 + (-2)2J-|-6| .【答案】-36【分析】先计算乘方、绝对值、乘法运算，再计算加减运算，即可得到结果.【详解】3-I解：-32'xl + (-2)2 卜6|3= _9+jx(l + 4)_6(2) (-8.25) +8.25+ (-0.25) + (-5.75) + (-7.5)【答案】(1) o (2) 0 (3) 4【归纳总结】对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别 结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。二、有理数减法1 .有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+ (-b)【特别提醒】这里的a、b表示任意有 理数进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号(是“+"，还是)o将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号由“，变为另一 个是减数的性质符号。今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中一个加数，求另一个 加数的运算。例 3、(1) 0-(-9)(2) (-25)-(-13)(3) 8.2(6.3)【答案】(1) 9(2) -12(3) 14.5.有理数加减混合运算(1)我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。把(-8) - (-10) + (-6) - (+4)统一成只有加法可写成(-8) + (+10) + (-6) + (-4) 像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，如上式可写成 -8+10-6-4这个式子仍看作和式，叫做代数和。按和式读做“负8,正10,负6负4的和、这时“+”“一,符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一.例 4、(1) (+6.1) (-4.3) + (-2.1) 5.1(0.5) (3) +6.75 5 42【答案】(1)3.2(2) 4【归纳总结】(1)有理数加减法混合运算的题目的步骤为: 减法转化成加法;省略加号括号；运用加法交换律(这里既交换乂结合，交换时应连同数字前的符号一起交换)；按有理数加法法则计算.(2)运算律：互为相反数放在一起同分母的放在一起能凑整的放在一起小数与小数放在一起，整数与正数放在一起(等等)三、有理数乘法.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同。相乘， 都得0.进行乘法运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先确定积的符号，再确定 积的绝对值.1 .倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。a (W0)的倒数是。没有倒数。a【特别提醒】(1)当a (a0)为整数时，倒数为La当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求；正数倒数为正，负数倒数为负；(4)倒数等于本身的数是1, -1；相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是非负数.几个有理数相乘的积的符号法则当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正.几个不等于。的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当 负因数有偶数个时，积为正.几个有理数相乘，有一个因数为0,积就为0.4,乘法运算律(和小学所学的乘法运算律一样)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即ab=ba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即 (ab)c=a(bc).乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相 加。即a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数)例5、计算：591(-3)x-x(-)x(-);65441(1) (-5)x6x(-)x-5 4,9【答案】(1)(2) 68四、有理数除法.有理数除法法则根据除法是乘法的逆运算，除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数 的倒数。也可以表示成=”!(。邦)b除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都得Oo1 .有理数加减乘除混合运算运算法则：有理数加减乘除混合运算，无括号时，“先乘除，后加减“，有括号时，先算括号 内的，同级运算，“从左到右”。12例 6、计算：-54x (2 ) : (4 ) X；429【答案】-6五、乘方1、概念：一般地，我们有：n个相同的因数。相乘，即记作 JJV个例如,2x2x2 = 23； (-2)(-2)(-2)(-2) = (-2)4.这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做事.在以中，。叫作 底数，n叫做指数，或读作。的n次方，/看作是。的n次方的结果时，也可读作 a的n次塞.2、结论：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数，。的任何次累都是0.补充：两个数互为相反数，偶次幕相等，奇次幕互为相反数。3、有理数混合运算的运算顺序如下：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运 算。例 7、(1) -2+2x(-4)2-1 xI 4J-1 xI 4J(3、 x89+ I 2)【答案】(1) 30(2) 0(3) -8 4、科学记数法把大于10的数记成4X10。的形式(其中。是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种记 数法叫做科学记数法.与10的幕相乘的数a ，必须是大于等于1且小于10,这是科学记数法的规定。5、近似数和有效数字在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数。例如，如果统计的班上生日在10月 份的同学的人数是8,则8这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不也不多，一个也不 少。如果量得的语文课本的宽度为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察 是不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非 常接近的数，这样的数叫近似数。在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙 现在年龄约为200亿年，长江长约6300千米，这些都是近似数。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示.例如，书上的约有500人参加会议，500 是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13.从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits).综合训练L (2022.湖北)下列各式结果是负数的是()A. (1)B. (I)，C. (一1)°D. 1【答案】D【分析】直接利用负整数指数幕的性质、零指数嘉的性质、有理数的乘方运算化简得出答案.【详解】解：A. -(-1) = 1,故此选项不合题意；B. (-1)4=1,故此选项不合题意；(-1)°=1,故此选项不合题意；C. 1=1,故此选项符合题意.故选D（2022.陕西西安市.西北工业大学附属中学九年级其他模拟）“让所有人远离饥饿”是杂交 水稻之父袁隆平毕生的追求.如今，全世界有一亿五千万公顷的稻田，其中七千五百万稻田 是杂交稻.每年可为全世界多养活五亿人.其中数据“七千五百万”用科学记数法表示为（ ）A. 0.75xlO8B. 7.5xlO8C. 7.5xlO7D. 75xl06【答案】C【分析】将七千五百万写成xlO（lV|a|V10, 为整数）即可.【详解】解：七千五百万二75000000=7.5x107.故选C.【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成。xl0（1<间<10, 为整数）的形式，确定，和 的值是解答本题的关键.2. （2022.福建省同安第一中学九年级一模）3,表示的含义是（）A. 3 + 3 + 3 + 3B. 3x4C. 3x3x3x3D. 4x4x4【答案】C【分析】利用乘方的定义表示几个相同因数积的运算，即可得出答案.【详解】解：34=3x3x3x3.故选：C.【点睛】本题考查乘方的定义，掌握乘方的定义是解题关键.3. （2022.河南九年级一模）、/?两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（）个.®ab>0 a + b>0 a-b>0 a2 -b2 >0= -bA. 2【答案】AA. 2【答案】AB. 3C. 4D. 5【分析】根据题意可知b<OVm同回，所以可以判断出选项中每种情况的对错，根据对错个数选 出正确的个数即可.【详解】解：根据图形可得Q0，b<0,且同 <同，必<0,故本小题错误； +力v 0,故本小题错误；Q-b = a + (-b)>0,正确；a2-b2<0,故本小题错误；(§)b-i = 1-b9 正确，所以正确的有共2个.故选A.【点睛】本题考查了有理数的加减、乘除，数轴，绝对值等有关知识点，能够提炼关键信息并结合定 理是解决问题的关键.4. (2019河北中考模拟)计算(-2)必+ (-2)99所得的结果是()A. -2B. 2C. -2"D. 2"【答案】D 【分析】根据有理数的乘方的意义可知表示100个(-2)的乘积，所以，(_2)|。+(-2尸=(_2)x(-2尸+(-2-,再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可. 【详解】解:(-2严+ (-2)99 = (-2)x(-2)99+(2)99= (-2)+lx(-2)" =(-l)x(-2)99 二2" 故选：D.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序.5. (2022陕西师大附中)如果温度上升1记作+1C,那么温度下降5,应记作(A. +5B. +5C. -5D. +6E. -6【答案】B【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，直接得出 结论即可；【详解】如果温度上升记作+1,即初始温度为0,那么温度下降5c记作-5,故选：B.【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则 和它意义相反的就为负；6. (202。浙江)计算：(1) (-6)-(+15) + 4-(15)(2) -2x3-(-4)x2 + 3(2020.浙江)计算:(1) 11-18-12 + 19；(-36)xg + l-l;(3) 3 + 1222x(-3)-5；(4) -12+2015x xO-(-3).I 6；【答案】(1) 0； (2) -1； (3) -11； (4) 2.【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可.【详解】解：(1) 11-18-12 + 19=11 + 19-18-12=30-30=0；(2) (-36) x (I=(-36) x f (-36) x f (36) x = _ 4 - 6 + 9= -1 ；19 6 4J 96 V 4J(3) 3 + 1222x(-3)-5=3 + 124x(-3)-5=3-9-5=-11 ；(5 Y(4) -12+2015x 一一 x0 (3)= l+0 + 3=2. k 6 J【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键.有理数的运算法则是先 做乘方，再做乘除，最后做加减，在进行有理数的运算是可以运用运算律简化运算.7. (2020浙江七年级其他模拟)计算：( 1Y(1) 2 11 5 x 4- (2)I 5)3 8 12(要求简便方法计算)【答案】-21； (2)【分析】(1)先进行幕的运算，再算括号里面的，去括号应注意括号前的负号，再算加减.(1 1 1Y3 8 12J(2)除数和被除数同时乘24可得1+ 24X再算括号里的可得出答案.【详解】 解:(1)原式=-16- -11+1H-2) =-16-5二21；(4) I4 -(1 0x4)-；x(-2)2-6【答案】(1) -2； (2) 5； (3) 13； (4) 5【分析】(1)先把减变加，再按照有理数的加法法则运算；(2)先算乘法，再算加减；(3)利用乘法分配律计算；(4)先算乘方，再算括号里面的，再算乘除，最后算加减.【详解】解：(1)原式=(6) 15 + 4 + 15 = (6) + 4 + 15 15 = 2；(2)原工I = 6+8 + 3=5；313(3)原式=x(-24) x(-24) x(-24) = 9+4+18 = 13；864(4)原式=1 1+x(4 6) = -1-1x3x(-2)= 1 +6=5.【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是关键，灵活运用加法交换律、乘法分配律 可以简便计算.