高数上册知识点复习资料重点.docx

高等数学上册知识点二 函数与极限(一)函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;4、 函数的连续性与间断点；函数/(幻在 / 连续lim /(x) = /(x0)Ho间断点r第一类：左右极限均存在.(可去间断点、跳跃间断点)工第二类：左右极限、至少有一个不存在.(无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. (二)极限1、定义1)数列极限：lim = « <=> Vi* > 0, BN g N, Vh > N, xn -a<£2)函数极限：lim/(x) = Ao V£>0,皿>0, Vx,当0>|x-即<6时，|/(x)-Kf孙左极限：/(xj)= lim /(x)右极限：/(玉；)=lim f(x)i.Gxf 片lim /(x) = A 存在 o f(x) = /(Xo)Xf %2、极限存在准则1)夹逼准则：1) yn < xn < zn ( n > /?()2) lim yn - lim zn - a 1 >lim xn = aXCHRJW>002)单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1)定义：若lima =0则称为无穷小量；若lim a = 8则称为无穷大量.2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Thl a po0 = a + o(a);Th2包存在，则Iim2 = lini2 (无穷小代换)a'a a'4、求极限的方法1)单调有界准则；2)夹逼准则；3)极限运算准则及函数连续性；1 14)两个重要极限：a) = b) lim(l+尤尸=lim(l+与,=ex->0 Xx->0XT” x5)无穷小代换：(x>0)a) x - sin x - tan x - arcsinx - arctan,v b) i-cosx-x22c) e,-1X, ( ax -1 - xln a ) d) ln(l + x) - x ( logw(l + x) ) e) (1 + x)a -1 - ax In a二、导数与微分 (一)导数1、 定义：/(%)= lim /(X)一 -飞)1X。X-XQ左导数：/'(%)= lim f(x)_/(x。)，右导数：.(%)=lim /-八/) XT.G X-XoXTX： X-Xo函数在X。点可导O f：(X() = £(%)几何意义：/'(.")为曲线)，=/(幻在点(Xuj(x。)处的切线的斜率.2、 可导与连续的关系：3、 求导的方法1) 导数定义：2)基本公式；3)四则运算；4)复合函数求导(链式法则);5)隐函数求导数；6)参数方程求导；7)对数求导法.4、 高阶导数定义：心=幺也 2) Leibniz公式：(少0=之 dx2 dxdx)(二)微分1) 定义：)，= /(/ +Ax)-/(.%) = AAx + o(Ax),其中 A 与 Ax 无关.2) 可微与可导的关系：可微=> 可导，且由，= /'(/)© = /'(%)公 三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、 Rolle定理：若函数/(X)满足：1)/(x)eCk,Z7j； 2) f(x) g D(a,b) ； 3) f(a) = f(h)；则"£ (a,圾使f'© = 0.2、 Lagrange中值定理：若函数/(x)满足：1)f(x)eCa,b； 2) f(x) e D(a,b)；则* £(,力)，使=/")(-).3、 Cauchy中值定理：若函数/(幻，尸(无)满足：1、 /(x),F(x) e Cf«,/?； 2) f(x),F(x)eD(a,b)； 3)9(幻 w 0,x w (a,。)贝归S (a,b),使徵；臂=需F(b)-F(a) F ©(二)洛必达法则(三)Taylor公式(四)单调性及极值1、单调性判别法：f(x)GCla,bt /*)£。(4份，则若广。)>0,则/单调增加；则若八幻<0,则/（x）单调减少.2、 极值及其判定定理:a）必要条件：/3）在X。可导，若项）为/*）的极值点，则八x0） = 0.b）第一充分条件：/（用在X。的邻域内可导，且八%） = 0,则若当时，当 1玉）时，r（x）vO，则多）为极大值点;若当工 与时，/'（幻0，当时，/'（x）0, 则与为极小值点；若在用的两侧广不变号，则工。不是极值点.c）第二充分条件：/（幻在不）处二阶可导，且/'（/）=0, /"（%）工0，则若/（见）0,则X。为极大值点；若/*。）0，则与为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1） /（X）在区间/上连续，若可“，£/,/（土土乜）3123。，则称/（X）在区间/上的图形是 22凹的；若Vw /,"*）；，），则称/（幻在区间/上的图形是凸的.2）判定定理：/（x）在S，勿上连续，在（。,份上有一阶、二阶导数，则a）若V/ £ （,»,/"*） 0,则/（x）在a.b上的图形是凹的；b）若/）J（x）0,则/（X）在出向上的图形是凸的.3）拐点：设y = /（x）在区间，上连续，项）是/（x）的内点，如果曲线y = /（x）经过点（%，/（/）时， 曲线的凹凸性改变了，则称点（%,/（%）为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线铅直渐近线：lim/（x） = 8,则x = 为一条铅直渐近线； XT。1、 水平渐近线：lim/（x） = ，则），二 为一条水平渐近线； .V002、 斜渐近线：lim = 3 Um/（x）-履=%存在，则y = Ax+为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、 原函数：在区间/上，若函数尸（X）可导，且尸（幻=/（幻，则Rx）称为/（X）的一个原函数.2、 不定积分：在区间/上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在区间/上的不定积分.3、 基本积分表（P188, 13个公式）；4、 性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：J/l_0（x）J”（x）dx=e（x）2、第二类换元法（变量代换）：J f （x）clx = |j_1（） （三）分部积分法：wv-|vdu2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.（四）有理函数积分：1、“拆”;五、定积分（一）概念与性质：1、 定义：J f（x）dx = lim Z2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数/*）在区间团,加上连续，则送向，使J"（x）dx =/«）（ 4）（平均值:（平均值:pbfMdxJab-a(二)微积分基本公式(NL公式)1、变上限积分：设力，则，(x) = /(x)推广:今£：f出=一伙切夕(%)-f(x)dx=F(b)-F(a)a(三)换元法和分部积分1、 换元法：£/(x)dr =2、分部积分法：vdu(四)反常积分2、 无穷积分：I f(x)dx= lim f(x)dxt/f(x)dx= lim C f(x)dxt (x)dx = f° /(x)tZr + f(x)dx Jitf>4*00J 00/JlJ-ooJ -00Jo3、 瑕积分：C f(x)dx= lim C fxdx (a 为瑕点)，P f xdx = lim f f (x)dx (b 为瑕点)两个重要的反常积分:2)q<i(八。尸a(x-a)i, Ja (力-X)4+ 8,六、定积分的应用（一）平面图形的面积直角坐标：A = jf2(x)-fl(x)c/x1、 极坐标：A=gj,w；（，）_0：（e）k/e（二）体积1、 旋转体体积：a）曲边梯形y = /（幻/ = 4,工=,工轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：Vv = （7rf2xdxJab）曲边梯形），=/（用/ = / =加轴，绕、.轴旋转而成的旋转体的体积：匕=，2时（外公（柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体：V = A（x）dx（三）弧长1、直角坐标：$ = f J1 +/（向2、2、参数方程：$ = ”（，） *+"（，）3、极坐标：5 =。夕2）+”2）0 七、微分方程（一） 概念微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.1、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程g（y）dy = fxdx，两边积分 J g（y）dy = J f（x）dx（三）齐次型方程=（p（）, 设 =2， 贝!1包= +工业； 或虫=。（土）， 设 = 土， 则'= "+y变 dx xx dx dx dy yy dy ' dy（四） 一阶线性微分方程宗+ P（x）y =。），用常数变易法或用公式：户jQ（x）""x+C（五）可降阶的高阶微分方程1、y（"）= /（x），两边积分次；2、y" = /（X, /）（不显含有 y ）,令y，= ，则 y = p，；3、y = /（y,y'）（不显含有X）,令y' = ，则八虺 （六）线性微分方程解的结构1、%，必是齐次线性方程的解，则Gy + C2y2也是；2、月,先是齐次线性方程的线性无关的特解，则。/+。2乃是方程的通解；3、，=。/+。2% + ）为非齐次方程的通解，其中X，以为对应齐次方程的线性无关的解，）一非齐次方 程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：）， + ），' + /，= （）特征方程：r2 + pr + q = Ot特征根：rp r2特征根通 解实根0 R七y = C,er'x+ C2er2Xr -y = (Cl+C2x)er,xr. 2 = a±i/3 1，4,y = eax(C cos/3x-C2 sin /3x)（A） 常系数非齐次线性微分方程），" + 3，' +分=/。）0, 4不是特征根1、f（x） = ePm（x）t设特解y*=WQ,（x）,其中小卜木是一个单根2. 2是重根2、f （jv） = *（6（x）cosx+ R（x）sin cox）设特解 / = f *R：?（x）cos3t+ R；）（x）sin 5,0,丸+而不是特征根 其中,7z = max/, n, k=<1,2+而是特征根