综合法和分析法 教学设计.docx
2. 2.1综合法和分析法【课标要求】1 . 了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法.2 .理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问 题.【核心扫描】1 .综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤.(重点)2 .综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题.(难点)0101KEQIANTANJIUXUEXI 挑战自我：点点落实挑战自我：点点落实课前探究学习自学导引1 .直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接 推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明.常用的直接证明方法有综 合法和分析法.2 .综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.(2)框图表示：用夕表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，。表示所要 证明的结论，则综合法可用框图表示为：P-Q1 ) Q1 =(?2) )Q产。3 .分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.(2)框图表示：用0表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：(QupJ -HPi)匡鹏)得到一个明显 成立的条件想一想：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一 步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推 理中的“猜想”.名师点睛1 .综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结 论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列 的中间推理，最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.综合法的证明步骤用符号表示是：（已知）3£今今月（结论）2 .分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问 题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看 需知，逐步靠拢已知.分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只 需证明，即，因此，只需证明，因为成立，所以，结论成 立”.分析法的证明步骤用符号表示是：A（已知）仁仁只一2仁月-声只（结论）分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆.3 .综合法与分析法的优点综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中 进一步获得新的知识.分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题 的证明时，它可帮助我们构思.应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开， 正如恩格斯所说“没有分析就没有综合” 一样，分析与综合是相比较而存在的， 它们既是对立的，又是统一的.严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析， 因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用.AA KETANGJIANGLIANHUDONG QZ课堂讲练互动循循善诱：触类旁通题型一综合法的应用【例1】设数列4的前刀项和为S”且（3血3+2勿品=勿+3（£N*）,其中切为常数，且加W 3.求证：4是等比数列;3若数列4的公比q= f(而，数列6满足"=a，bn=f(bn_)(nUZ, 22),求证：为等差数列.思路探索通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中, 恰当处理递推关系是本题证明的关键.证明(1)由(3-/27)S+2=切+3得(3zzz)，+1 + 2侬+1 ="+3.两式相减得(3+而a+i = 2侬，(加W 3),，劣是等比数列.(2) 4 = 2 = 1,2m3 “、 324T.111bn - fbn-) Z T J_Q bnbn- 3bn=3bn- 今工*7 =彳.22 bn-i 十 3bn bn 3数列为首项为1,公差为(的等差数列.芨建通利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知 与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对 一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.【变式1】已知,b是正数，且叶仁1,求证：证明 法一 :a, 6是正数且a+6=1,1 a b 1、 一=二一b ab ab1 a b 1、 一=二一b ab ab法二 ,: a, 8是正数，: a+6三2寸>0,1 , 1 /T一+谓2 A />0,a b J ab(d+6) 一+7 24. 淄b)又a+ b= 1,+J24. a b法三 工+；=""+=1+2+=+122 + 2 1巧工=4.当且仅当 a=b a b a b a bJ a b时，取“=”号.题型二分析法的应用【例2】设a, 6为实数，求证：疗k2*(a+6).思路探索题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问 题的格式即可.证明当a+bQ时，勺7不920,当+»()时、用分析法证明如下:要证4才+8N*(a + 5),即证才+Z/2!(，+ZZ+Za/?),即证百+B22ab./ a+b22ab对一切实数恒成立,d+6)成立.综上所述，不等式得证.d+6)成立.综上所述，不等式得证.规律方法a用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑 推理的基本理论；分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知（或已证）的不等式；（3）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、 “即证明"等词语.【变式2】已知a, 6是正实数，求证：左+于力证明要证比+今2，+或，只要证小/十久内三或（,+W）.因为a, 6是正实数，即证 byl'yjab9也就是要证a+ b2ab,该式显然成立，所以比+南,+福.题型三综合法和分析法的综合应用【例3】已知a、b、c是不全相等的正数，且OxLa- b b-c a+ c求证：log；+ logA+1 ogA< 1 og,<3+1 ogxb+ logQ审题指导从已知出发一设后法一从而证出结冏规范解答要证明：<log*d+ log*b+ log.vC,a+b b c a+clogA+ logA+ log.=一X * r a+6 b- c a+ c .、.只需要证明log、丁厂 丁厂 丁厂 <log/aM.（2分） 、乙乙乙）,_ a b b c a+c.八、由已知0<xl, 只需证明 丁 n c abc. （4分）由公式<兄>0, tCybc>0j atCyac>0. （8 分）又丁ab, c是不全相等的正数, J62c2=abc. (10 分) a'tCyabc 成立. J62c2=abc. (10 分) a'tCyabc 成立.6+cee-2 a+8 b+c即丁 丁 a+ b ，log*+ logF"1+ logFLlogM+ log/+ log/ 成立.(12 分)【题后反思】综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解 题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合 法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q根据结 论的结构特点去转化条件，得到中间结论只 若由可推出0,即可得证.【变式3】已知a, £W4"+7(A£Z),且乙sin 0 +cos 0 =2sin a , sin 0 cos 9=sir?£,l tar? a l tan' B 求证：1 + 由。=2 1 + tan2 f证明 因为(sin 0+cos 。)2 2sin Jcos 。= 1,所以将代入，可得 4sin2 a 2sin2 B = 1 另一方面，要证1 tan2 Q1 tan2 £1 + tan2 a 2 1 + tan2 'sin2 a1 cos2 a 即证 sm Q1 +2-cos asin2 a1 cos2 a 即证 sm Q1 +2-cos asin2 £1 -2 QCOS P即证 cos2 o sin2 a =即证 cos2 o sin2 a =(cos2 sin27?), 乙即证 12sin2 g =1-(1 2sin2 £),即证 4sir? Q 2sir?£ = l.由于上式与相同，于是问题得证.误区警示 因逻辑混乱而出错【示例】 设向量 e=(4cos a , sin a)» b (sin £, 4cos £),若 tan o tan£ = 16,求证：a/7b.错解,: all b,且 a= (4cos Q , sin )，b= (sin B, 4cos £)；A (4cos。) (4cos £)=sin cl sin £,nn万 sin Q sin £即 sin ci sin p = 16cos 4 cos p , /.>-= 16,cos a cos pA tan ci tan £ = 16,即结论正确.思维突破A以上证明混淆了已知和结论,把头脑中的分析过程当成了证明过程,如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁.正解(分析法)：要证明 而 a= (4cos o , sin。)，b= (sin £,4cos £)；二即要证明(4cos a) (4cos £)=sin ct sin B,即要证 sin "sin £ =16cos a cos £,艮口要证. sin B 艮要证 tan a tan £ = 16,cos Q cos P而tan a tan £ = 16已知，所以结论正确.(综合法)：。tan £ = 16, 16,cos a cos P即 sin sin £ = 16cos 4 cos £, (4cos。) (4cos £)=sin o sin £,即 a= (4cos a , sin 。)与 6= (sin £, 4cos £)共线,.a/b.追本溯源A分析法的优点是方向明确,思路自然，故利于思考，但表述易错；综合 法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路, 用综合法书写解题过程.
