中学、新桥中学联考高二下学期文数期末考试试卷.docx

中学、新桥中学联考高二下学期文数期末考试试卷姓名:年级:学号:题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题（共12题，共60分）1、曲线y= - x3+3x2在点（1, 2）处的切线方程为（）评卷人得分A. y= - 3x+5B. y=3x - 1C.y=3x+5D. y=2x【考点】【答案】B【解析】解：y=-x3+3x2的导数为y' =-3x2+6x,可得曲线尸-x3+3x2在点（1, 2）处的切线斜率为k=-3+6=3,即有曲线尸-x3+3x2在点（1, 2）处的切线方程为y-2=3 （x - 1）, 即为 y=3x - 1.故选：B.12、已知数列an满足a1=7, an+1=1 - 则a2014的值为（）A. -2B.3C.2D. 4【考点】【答案】B1【解析】Va1=3, an+1=1-%a2=1 - 3= - 2,3a3=1+2=2,a4=1 - 3二，线段PQ的长为2【解析】G)圆C的参数方程消去参数能求出圆的极坐标方程，把x:pcosS, y=psin0代入化简能求P +gX = 343 3点出此圆的极坐标方程.(I I)求出直线I: y+gx=3,射线OM： y=x.联立 丫=网 ，得Q 丁)，臂中 1 £联立(工一1)+y =1,得P (2, 2),由此能求出线段PQ的长.20、某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上(含120 分)为优秀.(I )求从乙班参加测试的90分以上(含90分)的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的 概率；(II )根据以上数据完成上面的2X2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握 认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】【答案】解：(I )乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F.成绩优秀的记为A、B.从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：A,B),A,C,A,D),A,E),A,F),B,C),(B,D,B,E),B,F,C,D),C,E),C,F),D,E),D,F),E,F共 15 个,设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：A,C),(A,D,A,El,A,F,B,C),B,D,B,EJ,B,F共 8 个，(II)40x(4xl8-2xl6/k =L « 6x34x20x20在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系.【解析】(I )由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F.成绩优秀的 记为A、B.然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成 绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；(ID直接由公式求出K的值，结合图表得答案. 21、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标 准煤)的几组对照数据.(参考数值：3 X 2. 5+4X3+5 X4+6X4. 5=66. 5) (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提 A A A供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程)J8x+Q； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生 产能耗为90吨标准煤.试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多 少吨标准煤？【考点】【答案】（1）解：把所给的四对数据写成对应的点的坐标, 在坐标系中描出来，得到散点图如下；小16 -4-3 -2 -1 -xu 12 3 4s 6（2）解：由对照数据，计算得1X=4 X O+4+5+6） =4.5,7二X （2.5+3+4+4 5） =3.5,旌7=32+42+52+62=86,4Zz xiyi=3X2. 5+4X3+5X4+6X4. 5=66. 5,.回归方程的系数为不二86-4x4.52=0.7,&二3. 5-0.7X4. 5=0. 35,所求线性回归方程为9=0. 7x+0. 35（3）解：由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7X100+0. 35=70. 35 （吨），.90-70. 35=19. 65 吨，预测比技改前降低了 19. 65吨标准煤【解析】（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）根据所给 的这组数据求出回归方程的系数，得到线性回归方程；（3）根据线性回归方程，计算4100时的生产能耗, 求出比技改前降低的标准煤.22、已知函数千（x） = （x - k） ex . （ I ）求千（x）的单调区间；（II）求f （x）在区间0, 1上的最小值.【考点】【答案】解：(I ) f' (x) = (x-k+1) ex,令 f' (x) =0,得 x=k - 1,f' (x) f (x)随x的变化情况如下：(x)的单调递减区间是(-8, k-1) , f (x)的单调递增区间(k-1, +8)；(II)当k-lW0,即kW1时，函数f (x)在区间0, 1上单调递增，(x)在区间0, 1上的最小值为f (0) =-k；当0Vk-1V1,即1VkV2时，由(I)知，f (x)在区间0, k-1上单调递减，千(x)在区间(k -1, 1上单调递增，Af (x)在区间0, 1上的最小值为f(k-1) = - ek - 1 ；当k-121,即k22时，函数f (x)在区间0, 1上单调递减，Af (x)在区间0, 1上的最小值为f (1) = (1 -k) e；-k k<l + KK2综上所述 f (x) min= 0k>2【解析】(I)求导，令导数等于零，解方程，跟据千'(x) f (x)随x的变化情况即可求出函数的单调区 间；(II)根据(I),对k-1是否在区间0, 1内进行讨论，从而求得f (x)在区间0, 1上的最小值.【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相 关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间信协 内，(1)如果人>0,那么函数在这个区间单调递增；如果八切<0,那么函数在这个 区间单调递减；求函数在&切上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数在内的极值；(2)将函数的各极值 与端点处的函数值/»)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.an的取值具备周期性，周期性3,则 a2014;a671X3+ka1=,故选：B.【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间 的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.3、用反证法证明命题”设a, b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】【答案】A【解析】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，二用反证法证明命题”设a, b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程 x2+ax+b=0没有实根.故选：A.【考点精析】通过灵活运用反证法与放缩法，掌握常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项将 分子或分母放大(缩小)即可以解答此题.4、复数 i (2 - i)=()A. 1+2iB. 1 -2iC. - 1+2 iD. - 1 -2i【考点】【答案】A【解析】解：原式=2i-i2=2i- (-1) =1+2i；故选：A.【考点精析】通过灵活运用复数的乘法与除法，掌握设况+则入”加% J+解 一,即可以解答此题5、若 z=4+3i,则译()A. 1B. - 14 3C. 5+5 D. - i【考点】【答案】D4-3i 4-3i 4 3解析解：z=4+3 i,则百二 |4 + 3i| 二飞一=5-5j.故选：D.【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的乘法与除法的相关知识，掌握设Zj-c + di(ja,b9c,rfeJ?)<2, -(ac-bd)-¥(ad+bc)i.、 d+d? 色 '6、对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1 , y1) , (x2 , y2)，(xn , yn), 则下列不正确的说法是()A.若求得相关系数r=-0.89,则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B.同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8,同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2. 4,则模型1的拟合效果更好C.用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0. 48,模型2的相关指数R22R. 91,则模 型1的拟合效果更好D.该回归分析只对被调查样本的总体适用【考点】【答案】C【解析】解：对于A, rVO则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B,残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于C,相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1,说明相关性越强，相反, 相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故不正确；对于D,回归分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C.7、曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为()A. (2, 8)B. ( -2, -8)C. (1, 1)或(-1, -1)D.(G - 3【考点】【答案】C【解析】解：设P (m, n),则n=m3,y二x3的导数为y' =3x2,可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2,由题意可得3m2=3,解得m二士 1,贝I m=1, n=1 ； m= - 1, n= - 1.即 P (1, 1) , (-1, -1).故选：C.8、设函数 f (x) =xex，则()A. x=1为千(x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x= - 1D. x= - 1【考点】【答案】D【解析】解:E. x= - 1F. x= - 1【考点】【答案】D【解析】解:为千(X)的极大值点 为f(X)的极小值点由于f (x)令 f' (x) 令 f' (x) 令 V (x) 所以x=-1=(x+1) =(x+1) =(x+1) 为 f (x)=xex,可得 f' (x) = (x+1) ex,ex=O 可得 x= - 1ex>0可得x>-1,即函数在(-1, +8)上是增函数exVO可得xV-1,即函数在(-8, -1)上是减函数 的极小值点故选D【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数/的极值的方法是：(1) 如果在/附近的左侧右侧/(力<。,那么了)是极大值(2)如果在附近的左侧右侧 /(力>0,那么13是极小值).9、已 f (x) =xsinx,则 V (x)=()A. cosxB. - cosxC. s i nx - xcosxD. s i nx+xcosx【考点】【答案】D【解析】解：根据题意，f (x)=xsinx,则 f' (x) = (x) ' sinx+x (sinx) ' =sinx+xcosx；故选：D.【考点精析】本题主要考查了基本求导法则的相关知识点，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、 积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导才能正确解答此题.3 3 2110、已知函数尹一+在区间一2,上有f (x) >0恒成立，则a的取值范围为()A. (0, 2B. 2, +8)C. (0, 5)D. (2, 5【考点】【答案】C3【解析】解：函数 f (x) =ax3-2x2+1, (xGR, a>0).,.f" (x) =3ax2 - 3x,1由 f' (x) =0,得 x=0,或 x=。，1当今2, 0VaW2时，Vf ( - ) =8 -8, f ()二+, f (0) =1, 在区间上，f (x) min=-,在区间-,上,f (x) >0恒成立, /.f (x) min=- >0,解得 aV5, .0VaW2.当V, a>2时,Vf ( - ) =- , f () =+, f (0) =1, f 0 =1 -2«2,在区间上,f (x) min=",在区间-，上，f (x) >0恒成立，Af (x) min=- >0,解得 aV5,.,.2<a<5.综上所述，a的取值范围是(0, 5),故选：C.【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数，了住)在“可上 的最大值与最小值的步骤：(1)求函数在信协内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的函数值夫8 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题.11、若(1 + i) + (2-3i)=a+bi (a, b£R, i是虚数单位)，贝I a, b的值分别等于()A. 3, 2B. 3, -2C. 3, -3D. - 1, 4【考点】【答案】B【解析】解：(1 + i) + (2-3i) =3-2i=a+bi,*,.a=3, b= - 2.则a, b的值分别等于3, -2.故选：B.【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设双z*c +4z 网贝 lZJZSc-方 +方 c)i； A12、已知X, y的取值如下表所示：_131111如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为="+至，则b= () A. 2B. 2C. -10D. 10【考点】【答案】A13【解析】解：.线性回归方程为)'="+至，又.线性回归方程过样本中心点，2+3+46+4+5-X = -3-=3 y = -3- = 5回归方程过点(3, 5)13.,.5=3b+%1.,.b=- 2故选A.二、填空题(共4题，共20分)113、函数f (x)互x3-4x+4在0, 3上的最大值是 .【考点】【答案】41【解析】解：函数f (x) =5x3-4x+4的导数为产(x) =x2-4,由& (x) =0,可得x=2 (-2舍去)，84由 f (2) =3 - 4= - 3 > f (0) =4, f (3) =1,可得千(x) 0, 3上的最大值为4.所以答案是：4.【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在kb 上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数在偏衲内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的函数值五。 /(力比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.1 35714、观察下列不等式1+齐<2, 1+班31+/彳，照此规律，第五个不等式为 .【考点】1 1 1 1 1 11【答案】1+展+尹+不+于+/V不【解析】解：由已知中：不等式：I 31+22<2,1 51+32<3,1 7 2 T 1+4-<45 I 2n + l归纳可得：第个不等式为：1+作+ 1)2< > + 1 , Un当n=5时，第五个不等式为1+52+62<工，所以答案是：1+V【考点精析】掌握归纳推理是解答本题的根本，需要知道根据一类事物的部分对象具有某种性质，退出 这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理.15、调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：yR.354x+0.321.由回归 直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元.【考点】【答案】0.354【解析】解：.对x的回归直线方程y=0.354x+0.321.当家庭年收入增加1万元时，y=0. 234 (x+1) +0. 321, 0. 354 (x+1) +0. 321 - 0. 354x+0. 321 =0. 354.故年饮食支出平均增加0. 354万元.所以答案是：0. 354.16、i是虚数单位，若复数(x2-5x+6) + (x-3) i是纯虚数，则实数x的值为 .【考点】【答案】2【解析】解：.复数(x2 - 5x+6) + (x-3) i是纯虚数，zX25x + 6 = 0%-3Ho ，解得小2.所以答案是：2.【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设zlab!Jz2 -c + 曲(q4wX)则4，之 (ac-方rf)+(ad+bc)i三、解答题(共6题，共30分)三、解答题(共6题，共30分)(I )求g (x)的单调区间和最小值;(ID 讨论 g (x)与9(W)的大小关系;17、设 f (x) =lnx, g (x) =f (x) +f' (x)1(川)求a的取值范围，使得g (a) -g (x) vG对任意x>0成立.【考点】【答案】解：(I )由题设知千(x) =lnx, g (x) =lnx+X,X-l.g' (x)二金,令 gz (x) =0 得 x=1,当x£ (0, 1)时，g，(x) <0,故(0, 1)是g (x)的单调减区间.当x£ (1, +8)时，g，(x) >0,故(1, +8)是g (x)的单调递增区间, 因此，x=1是g (x)的唯一值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g (1) =1.=一欣+丫(II)设I 4工，贝 lh' (x) =- x?,g&)m当 x=1 时，h (1) =0,即I 切，当 xe (o, 1) U (1, +8)时，K (D <0,因此，h (x)在(0, +8)内单调递减，当 0VxV1 时，h (x) >h (1)= 0,即If,当 x>1 时，h (x) <h (1) =0,即I切.(III)由(I)知g (x)的最小值为1,工所以，g (a) - g (x) V。，对任意 x>0,成立 <=>g (a) - 1 <,即Ina<1,从而得OVaVe.【解析】(I)求导，并判断导致的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；(II)通过函 数的导数，利用函数的单调性，判断两个函数的大小关系即可.(III)利用(I )的结论，转化不等式， 求解即可.【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的，函数的单 调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间做衲内，(1)如果那么函数在这个区间单调 递增；(2)如果那么函数在这个区间单调递减.18、已知函数f (x)=ax3+bx在x=2处取得极值为-16(1)求a, b的值；(2)若f (x)的单调区间.【考点】【答案】(1)解：函数千(x)=ax3+bx 的导数为 f' (x) =3ax2+b,由于f (x)在x=2处取得极值为-16故有千(2) =-16,且 f' (2) =0即 12a+b=。且 8a+2b=-16,解得 a=1, b= - 12(2)解：由(1)知 f (x)=x3-12x 的导数为 f' (x) =3x2-12,令 f' (x0=0,得 x1=-2, x2=2,当* (x) >0,即xV-2或x>2时，函数f (x)为增函数；当& (x) <0,即-2VxV2时，函数f (x)为减函数.则f (x)的增区间为(-8, -2) , (2, +8),减区间为(-2, 2)【解析】(1)求得函数千(x)的导数，由题意可得f (2) =-16,且V (2) =0,解a, b的方程组，即 可得到a, b的值；(2)求出千(x)的导数，由导数大于0,可得增区间；导数小于0,可得减区间.【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌 握一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间值衲内，（1）如果那么函数 7共»在这个区间单调递增；（2）如果/'狂）<0,那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是：（1）如果在玉I附近的左侧右侧那么是极大值（2）如果在附近的左侧，右侧 /W>o,那么13是极小值才能正确解答此题.产=1 + cos（p19、在直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为 y = sin（P （。为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线I的极坐方程是2Ps血（,+力=3艮射线om： 6互与圆的交点为0, P,与直线|的交 点为Q,求线段PQ的长.【考点】【答案】x=l+cosV（D解：圆c的参数方程为I v=s刖 （。为参数）.消去参数可得：（x-1） 2+y2=1.把x二pcos。，y=P sin 8代入化简得此圆的极坐标方程为：p =2cos 92psim 8 + 2=3出（2）解：如图所示，直线I的极坐方程是 I 3 J ,n射线 0M： 0=3 .可得普通方程：直线I： y+V»x=3, y+"x=3 4联立1 y=x ,解得产万，y = /3xx= 0联立卜"一球+/=1解得L=°1迫AP （2, 2 ）.|PQ渴十+挈-务=射线 OM： y=x.3坦3 3y= 2，即q (5' 2 ).Ty=B 或12 .2.