柯西不等式与排序不等式及其应用 教学设计.docx

柯西不等式与排序不等式及其应用学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它 们的几何意义，掌握它们之间的关系.2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式 求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应 用.重点：柯西不等式及排序不等式的应用.难点：利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高， 高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序 的数组的构造方法。知识要点梳理知识点一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：(1)向量形式：设是两个向量，则|2.2日£| 1(当旦仅当/是零向量或存在实数匕使£二发/时，等号成立)。(2)代数形式：若a、b、c、d都是实数，则(/+/)(/+/)2(w + bd)2 (当且仅当 ad二be时，等号成立)若a、b、c、d都是正实数，则必万 白了引四+纪|(当且仅当ad二be时，等号成立)右a、b、c> d都是实数，则&:+6引ac | +1比|（当且仅当ad二be时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设,与，必,乃wR，则Jx； +.? 如之&芽 +01.牛2）。2 .三维形式的柯西不等式（代数形式）：若。八%也也也都是实数，则g； +裙+姆）阂+收）>（0曲地+的幻'，当且仅当& = 0.C = L23或存在实数k,使得生=枪 = 123）时,等号成立。3 . 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若知也,都是实数,则（a； +a； + +a：）G + 收 + , +6：） 2 （。自 +0向 + +。也），当且仅当& = 0方= L2.,j）或存在实数k,使得%=他。=12M时，等 号成立。知识点二：排序不等式（又称排序原理）设。14外4.与M444/为两组实数,qg. 彳是瓦也4的任一排列，称。自+地+ 为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称+型】+, +44为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称+4,为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则/ 瓦+ a*A W。向 + OjCj + + W+ a9b9即：反序和乱序和W顺序和.当且仅当。1 =七=-=n或61=&=6.时，反序和等于顺序和。注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同 时减）时所得两两乘积之和最大.反之，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积 之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列.规律方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛， 灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在 不等式证明中借鉴。（2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西 不等式解决有关的问题。（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同 时减）时所得两两乘积之和最大.反之，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积 之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列.