柯西不等式的证明及应用 教学设计.docx
柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy）不等式占 +a2b2HF。也）2 <_1F %3： + f H卜 b；） （aQi £ R, Z二 1,2 ） 等号当且仅当卬=生=4=。或4=他时成立（k为常数，=1,2小）现将它的证 明介绍如下：证明 1：构造二次函数 /（x） = （qx+4）2+（%x+4y H+（anx+bn）2（Q； + + Q：）九2 + 2 （Q； + + Q：）九2 + 2 （+ a 力）+）%+（b； + + + b：）ci + a； + + d：2 01 4 /（x）2 0恒成立A 4（6Z/?| + cqb。+ * +- 4 （a； + a； + + a：） （"+ b； + + ） V 0 即+ 见仇 + + ab） （"； + + a：） （b； + Z?； + + b；）当且仅当ax+x = 0。= 1,2 n）即幺=&= =%时等号成立 伪 b2 bn证明（2）数学归纳法（1）当 =1时 左式=（。向J右式二（。也|）2显然左式二右式当 n = 2时， 右式=（；+用）仅：+后）=（6）2+（生仇朝2+返2222 （qZ?J +（22）+2。1。2也2 =（。也+。2么）” =右式 仅当即即幺=4时等号成立一 一 b, b?故 = 1,2时 不等式成立（2）假设=人（左£N,Z22）时，不等式成立即（44+0262+ "屹k）W（a；+a；+ + ）（/7; + Z?; + ）当bf = ka1, k为常数，i = l,2 n或q = % =为=。时等号成立设 A = a； = a；=-=a； B = b； = b；= = b；C = a、b + a2b2 + + akbk则（A + 吭 J （B + 项）=AB + AC + 原%- C + 2Cak+lbk+i + ；+E+i =（C + 4+也+i）:.（a +al+ +a；+H+J（A； +优 + +“+”+J2之（6瓦 + 02b2 + + m + 以+2+1 ）-当 瓦=k% , k为常数，i = l,2 n或q = %=% =。时等号成立即 =2+ 1时不等式成立综合（1） （2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题 迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明相关命题例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点P（Xo，y0）及直线/: Ax + By + C = 0（A2+B2 w0）设点p是直线/上的任意一点，则Ax+Bx+C = 0（1）|P/2| = J（%）2+（九-Xi点Pl2两点间的距离加小21就是点到直线/的距离，求（2）式有最小值，有2+82,（%0_%）2+（先_3）2 >|A（x0-x） + B（y0-）；1 ）|Ar（） + By（）+ C - （Ax： + By + C）|由（1） （2）得：Va2+B2 -| Ap2|>|Ax0+ By. + C|即pHpHI6o + b为 + qVa2 + B2(3)R当且仅当（_X）：（Xo_xJ = N02，/ （3）式取等号 即点到直线的距离公式P1P2 卜P1P2 卜Axo+B% + CaAV+B72)证明不等式a a a CT + b2 + C例2已知正数Q,O,c满足a + b+c = l证明 a3+b3 + c3>3证明：利用柯西不等式(313 13 1 A2a2a2 +b2b2 +c2c573、2a，7=(3 +。3 +03)( +匕+ 0)2( + /? + C = l)又因为a2+b2+c2>ab + bc + ca在此不等式两边同乘以2,再力口上。？十天得：(a + b + c)<3a2 + +/). (/+/+02)2(/+/+03)3(/+/+°2),37 33、矿 + 人一 + 厂故a +b + c >33)解三角形的相关问题例3设p是cABC内的一点，z是p到三边q,Z?,c的距离，R是二ABC外接圆的半径，证明 yx + -Jy + fz W tdCT + Z? +。2Y 41R证明：由柯西不等式得,y/czJ < yjax + by记S为二43C的面积，则ax + by + cz = 2S = abcabc2FG + 6 + «卷 $"；* 忌b+bc + ca<3址+b? + c2故不等式成立。4)求最值例4已知实数也c,d满足a+b+c+d = 3, /+2+3+6/=5试求。的最值解：由柯西不等式得，有(2 + 3c2+6屋)(2 + 3c2+6屋)12 3 6)> (Z? + c + J)2即 2b2+3/+642 2(8 + 0 + 4)2由条件可得，5-6z2（3-z）2解得,印2当且仅当篇=亲=亲时等号成立'代入 Z? = l,c = ',d ='口寸，a = 27r z/I lid A3621人= l，C = W，d=4时min =15)利用柯西不等式解方程例5.在实数集内解方程2229X + V + z =-V4-8x + 6y-24y = 39解：由柯西不等式，得(x2 + / + z2) (-8+62+(-24 4_8x + 6-)2(x2 + / + z2)(-8)2+62+(-24)2 o= -x(64 + 36 + 4xl44)= 392又(-8x + 6y-24»=392 (x2 + y2 + z2) (-8 +62+(-24)2l = (-8x + 6y-24z)2即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x = y = z8 " 6 -24它与8x + 6y 24y = 39联立，可得6918x = V = Z =1326136）用柯西不等式解释样本线性相关系数有样本相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归才（玉-君（X-歹）厂 汩 ,并指出卜归1且H越接近于1,相关程度越大，H越接应）2之（2YX i=lZ=1近于3则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记a.=玉一无，4 = y.-y ,则，r= . "1由柯西不等式有，r <1I n V i=i=当上| = 1时，f （她）2 =宜 i=lZ=1 z=l此时，也;k,攵为常数。点i = l,2,均在直线（xz - xj ai= Z（x 可上，r当|r|fl时,力岫Y Tna；力; i=li=l i=l即大她无彳-0i=li=l i=l而力纳）-；&；=- E （哂-噌）i=li=l i=l<i<j<n2<i< j<nhn，Tk,k为常数。此时，此时，9?=幺=3左为常数（xz -X） 生点（七,y.）均在直线y 了 =攵（工5）附近，所以“越接近于1,相关程度越大当0时，（q/J不具备上述特征，从而，找不到合适的常数%,使得点（,y）都在直线y 9=左（1M）附近。所以，M越接近于3则相关程度越小。
