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s o u t h w e s t j I a o t o n g u n I v e r s I t y西南交通高校西南交通高校Southwest Jiaotong University隧道与地下结构牢靠度课程隧道与地下结构牢靠度课程第第 三三 讲讲结构牢靠度计算方法结构牢靠度计算方法龚龚 伦伦 副教授副教授主要内容主要内容1.基本概念基本概念2.一次二阶矩理论的中心点法一次二阶矩理论的中心点法3.一次二阶矩理论的验算点法一次二阶矩理论的验算点法(JC法法)4.映射变换法映射变换法5.好用分析法好用分析法 s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y一、基本概念一、基本概念西南交通高校西南交通高校Southwest Jiaotong University现代的结构牢靠度理论是以概率论现代的结构牢靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来的，要解和数理统计学为基础发展起来的，要解决的中心问题是围围着怎样描述和分析决的中心问题是围围着怎样描述和分析牢靠度，以及探讨影响牢靠度各基本变牢靠度，以及探讨影响牢靠度各基本变量的概率模型。量的概率模型。1 1、解决的问题、解决的问题结构牢靠度计算方法分精确法和近似法结构牢靠度计算方法分精确法和近似法两种。两种。精确法：求解结构的失效概率精确法：求解结构的失效概率 pf 的方的方法，通常称为全概率法；法，通常称为全概率法；近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然是近似的，但仍属概率法。是近似的，但仍属概率法。2 2、计算方法、计算方法结构功能函数大多是非线性函数，且非线结构功能函数大多是非线性函数，且非线性不是很强的条件下，但又不能干脆精确积分性不是很强的条件下，但又不能干脆精确积分计算得到结构的牢靠度，而通过计算结构牢靠计算得到结构的牢靠度，而通过计算结构牢靠指标，近似得到结构牢靠度的计算方法。指标，近似得到结构牢靠度的计算方法。在通常状况下，结构功能函数的一阶矩在通常状况下，结构功能函数的一阶矩(均值均值)和二阶矩和二阶矩(方差方差)较简洁得到，故称之为较简洁得到，故称之为一次二阶矩法。一次二阶矩法。3 3、一次二阶矩法、一次二阶矩法一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清晰时，接受均值和标准差的数学模型，求不清晰时，接受均值和标准差的数学模型，求解结构的牢靠指标、结构牢靠度的方法。解结构的牢靠指标、结构牢靠度的方法。该法将功能函数该法将功能函数 在某点用泰勒级数绽开，使之线性化，然后求在某点用泰勒级数绽开，使之线性化，然后求解结构的牢靠度，因此称为一次二阶矩。解结构的牢靠度，因此称为一次二阶矩。s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y二、一次二阶矩理论的中心点法二、一次二阶矩理论的中心点法西南交通高校西南交通高校Southwest Jiaotong University中心点法是结构牢靠度探讨初期提出的中心点法是结构牢靠度探讨初期提出的一种方法。一种方法。其基本思想：首先，将非线性功能函数其基本思想：首先，将非线性功能函数在随机变量的平均值在随机变量的平均值(中心点中心点)处作泰勒级数绽处作泰勒级数绽开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函数的平均值和标准差。数的平均值和标准差。1 1、一次二阶矩中心点法、一次二阶矩中心点法设设X1,X2,Xn是结构中是结构中n个相互独立的随个相互独立的随机变量，其平均值为机变量，其平均值为 ,标准差为标准差为 ,功能函功能函数数将功能函数将功能函数Z在平均值在平均值P*(X1,X2,Xn)处绽开且保留至一次项，即处绽开且保留至一次项，即 (3-1)2 2、推导过程、推导过程ZL平均值和方差为平均值和方差为：(3-2)结构牢靠指标为结构牢靠指标为 (3-3)牢靠指标牢靠指标的几何意义是什么？证明如下的几何意义是什么？证明如下功能函数泰勒级数绽开至一次项，即功能函数泰勒级数绽开至一次项，即 (3-4)假定正态变换，即：假定正态变换，即：(3-5)3 3、几何意义、几何意义将将(3-5)式代入式代入(3-4)式，得式，得 (3-6)(3-6)式式为一个超平面方程，点为一个超平面方程，点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离为：到平面的距离为：(3-7)中心点法中心点法验算点法验算点法极限方程曲面极限方程曲面牢靠区牢靠区均值点均值点明显，点明显，点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离到平面的距离d，就是所求的牢靠指标值，就是所求的牢靠指标值，两者是相等的。，两者是相等的。P*优点：计算简便。优点：计算简便。缺点：缺点：对于非线性功能函数，均值点一般在牢靠区内，对于非线性功能函数，均值点一般在牢靠区内，而不在极限边界上；而不在极限边界上；选择不同极限状态方程（数学表达式不同，同选择不同极限状态方程（数学表达式不同，同样物理含义），得到的牢靠指标不同。例如：样物理含义），得到的牢靠指标不同。例如：p30例例3-1。适用条件：结果比较粗糙，适用于牢靠度要求适用条件：结果比较粗糙，适用于牢靠度要求不高的状况，如钢筋混凝土结构正常运用极限不高的状况，如钢筋混凝土结构正常运用极限状态的牢靠度分析。状态的牢靠度分析。4 4、优缺点、优缺点例题例题1设设X1,X2,Xn是结构中是结构中n个相互个相互独立的随机变量，其平均值为独立的随机变量，其平均值为xi（i=1,2,n)，标准差为，标准差为xi(i=1,2,n)，功能函数，功能函数Z=g(X1,X2,Xn)。求结构牢靠指标。求结构牢靠指标？解解 将功能函数将功能函数Z在随机变量的平均值处在随机变量的平均值处泰勒级数绽开，且保留一次项，即泰勒级数绽开，且保留一次项，即5 5、举例、举例ZL的平均值和方差为：的平均值和方差为：结构牢靠指标为：结构牢靠指标为：例题例题2 某结构构件正截面强度的功能函数某结构构件正截面强度的功能函数为为Zg(R,S)=R-S，其中抗力，其中抗力R听从对数正态分听从对数正态分布，布，R=100kNm，R=0.12；荷载效应；荷载效应S听从极听从极值值I型分布，型分布，S=50kNm，S=0.15。试用中心点。试用中心点法求结构失效概率法求结构失效概率Pf?解解：结构牢靠指标结构牢靠指标结构失效概率结构失效概率 s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y三、一次二阶矩理论的验算点法三、一次二阶矩理论的验算点法西南交通高校西南交通高校Southwest Jiaotong UniversityJC法是法是Hasofer,Lind,Rackwitz和和Fiessler,Paloheimo和和Hannus等人提出的验算点法。等人提出的验算点法。适用于随机变量为非正态分布的结构牢靠指标适用于随机变量为非正态分布的结构牢靠指标的计算。的计算。通俗易懂，计算精度又能满足工程实际须要。通俗易懂，计算精度又能满足工程实际须要。国际结构平安度联合委员会国际结构平安度联合委员会(JCSS)举荐运用，举荐运用，故称为故称为JC法。法。我国建筑结构设计统一标准我国建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)和和铁路工程结构设计统一标准铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)中都中都规定接受规定接受JC法进行结构牢靠度计算。法进行结构牢靠度计算。1 1、验算点法（、验算点法（JCJC法）法）将将P*（X*1,X*2,X*n)定义为验算点（设计点），定义为验算点（设计点），故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，故称为一次二阶矩的改进方法。故称为一次二阶矩的改进方法。数学推导过程如下：数学推导过程如下：设设X1,X2,Xn(i=1,2,n)为基本变量，且相互独立，为基本变量，且相互独立，则极限状态功能函数方程为：则极限状态功能函数方程为：(3-8)将极限方程用泰勒级数在将极限方程用泰勒级数在P*（X*1,X*2,X*n)点上点上绽开，取一次项，可得极限方程为：绽开，取一次项，可得极限方程为：(3-9)2 2、推导过程、推导过程设设 (3-10)有有 (3-11)将将(3-11)代入代入(3-9)，得，得 (3-12)Z的平均值为：的平均值为：(3-13)验算点在极限边界上，即验算点在极限边界上，即又又 (3-14)将将(3-14)代入代入(3-13)，得，得 (3-15)2.1 2.1 按定义推导按定义推导Z的标准差的标准差Z为：为：(3-16)则牢靠指标则牢靠指标为：为：(3-17)随机变量满足正态分布，即随机变量满足正态分布，即 (3-18)其中：其中：(3-19)由由(3-12)，得得 (3-19)此为超平面方程，均值点此为超平面方程，均值点P(X1,X2,Xn)到超平面的距离到超平面的距离d为：为：(3-20)2.2 2.2 按几何意义推导按几何意义推导各变量的方向余弦为：各变量的方向余弦为：(3-21)明显，两种方法得到的结果是一样的。明显，两种方法得到的结果是一样的。将将(3-8)与与(3-18)联立，求得联立，求得和各变量值，和各变量值，再代入到再代入到(3-8)和和(3-18)，且联立求解，得到新，且联立求解，得到新的一组的一组和各变量值。和各变量值。直到满足下式为止，即直到满足下式为止，即 (3-22)迭代结束，计算完成。迭代结束，计算完成。2.3 2.3 迭代过程迭代过程两个随机变量为正态分布时，其极限方程为两个随机变量为正态分布时，其极限方程为 标准化变换标准化变换极限状态方程变为极限状态方程变为(3-23)(3-24)(3-25)3 3、正态分布时的推导过程、正态分布时的推导过程式中式中将将(3-25)变为标准法线式直线方程变为标准法线式直线方程(3-26)(3-27)是坐标系是坐标系 中原点中原点 到极限状态直到极限状态直线的距离线的距离 (其中其中P*为垂足为垂足)。在验算点法中，在验算点法中，的计算就转化为求的计算就转化为求 的长度。的长度。两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点非正态分布时，可实行以下三种方法：非正态分布时，可实行以下三种方法：当量正态化法（当量正态化法（JC法）法）映射变换法映射变换法好用分析法好用分析法JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随法为当量正态化法，将原来非正态分布随机变量机变量Xi用等效正态分布代替，用等效正态分布代替，要求满足要求满足以下以下2个条件：个条件：原函数值原函数值F(xi*)与当量正态函数值与当量正态函数值F(xi*)相相等等原概率密度值原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度与当量正态分布概率密度值值f(xi*)相等相等4 4、非正态分布时、非正态分布时JCJC法的等效正态分布图法的等效正态分布图原分布原分布FXi(xi*),fXi(xi*)等效正态分布等效正态分布FXi(xi*),fXi(xi*)O条件条件(1)和和(2)的数学表达式为的数学表达式为 (3-20)(3-21)由由(3-20)，得，得 (3-22)由由(3-21)，得，得 (3-23)4.1 4.1 当量正态化法当量正态化法-JC-JC法法由由(3-22)，得，得 (3-24)将将(3-24)代入代入(3-23)，得，得 (3-25)由由(3-24)和和(3-25)，得，得 (3-26)将将(3-26)代入代入(3-18)、(3-19)和和(3-20)进行迭进行迭代计算，就可求解随机变量非正态分布的牢靠代计算，就可求解随机变量非正态分布的牢靠度问题。度问题。明显，明显，JC法通过当量变换，使得非正态分法通过当量变换，使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态分布随机变量的牢靠度问题。分布随机变量的牢靠度问题。李云贵李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：提出映射变换法。具体数学过程如下：设结构中的设结构中的n个相互独立的随机变量为个相互独立的随机变量为X1,X2,Xn，其概率分布函数为其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,n)，概率密度函数为，概率密度函数为fi(xi)(i=1,2,n)，极限状态方程为，极限状态方程为 Zx=g(X1,X2,Xn)=0 (3-27)映射变换映射变换 (3-28)则则 (3-29)4.2 4.2 映射变换法映射变换法将将(3-29)代入代入(3-27)，得，得 (3-30)由于由于Yi是一个标准正态随机变量是一个标准正态随机变量，则，则 (3-31)于是于是 (3-32)(3-33)(3-34)其中：其中：(3-35)对于常用的几种概率对于常用的几种概率(1)Xi听从正态分布听从正态分布 (3-36)(2)Xi听从对数正态分布听从对数正态分布 (3-37)(3)Xi听从极值听从极值I型分布型分布 (3-38)式中，式中，Paloheimo和和Hannus(1972)在赫尔辛基工程力学学术探讨在赫尔辛基工程力学学术探讨会提出了分位值法。会提出了分位值法。有的著作中是中国铁科院姚明初有的著作中是中国铁科院姚明初(1993)提出的分位值法。提出的分位值法。本文认为仍旧是本文认为仍旧是Paloheimo和和Hannus(1972)提出的。提出的。所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述。所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述。n个独立随机变量个独立随机变量X1,X2,Xn，结构极限状态方程为，结构极限状态方程为 (3-39)映射变换映射变换 (3-40)则有则有 (3-41)4.3 4.3 分位值法分位值法将将(3-39)在在 点进行泰勒级数绽开且保留一次项，点进行泰勒级数绽开且保留一次项，即：即：(3-42)于是有于是有 (3-43)其中其中 (3-44)是基本变量是基本变量 对应分位概率为对应分位概率为 的分位值。的分位值。(3-45)各变量各变量 的的“分项牢靠指标分项牢靠指标”可用可用(3-45)求解得到。求解得到。于是得到于是得到“设计值设计值”，即，即 (3-46)变量变量Xi的的“设计值设计值”与变量与变量Xi的标准值的标准值Xik之比定义为分项之比定义为分项系数，即系数，即 (3-47)JCJC法法-举例举例例题例题 已知极限状态方程：已知极限状态方程：(1)(2)随机变量随机变量f，W均听从正态分布，均听从正态分布，f=38，f=0.1；W=54，W=0.05，求：两个极限状态方程条件下的，求：两个极限状态方程条件下的及及f和和W的验算点之值的验算点之值f*，W*。解解 1.首先求首先求(1)式条件下的式条件下的及及f和和W的验算点之值的验算点之值f*，W*。由由 (3)得得由由 (4)得得 (4-1)将上式代入将上式代入(1)式，得式，得 (4-2)将将(4-2)代入代入(4-1)，得，得由于由于 为常数，所以不须为常数，所以不须要迭代就求解出要迭代就求解出，f*，W*。对于极限状态方程对于极限状态方程(1)，若接受中心点求解牢靠指标，得，若接受中心点求解牢靠指标，得当极限状态方程为线性方程时，接受验算点法与中心点法当极限状态方程为线性方程时，接受验算点法与中心点法求解得到的结果是一样的。求解得到的结果是一样的。2.按极限状态方程按极限状态方程(2)求解求解及及f和和W的验算点之值的验算点之值f*，W*。由由(3)式，得式，得由由(4-1)，得，得将上式代入将上式代入(2)式，得式，得 (5)明显，明显，(5)式的求解须要接受迭代法求解。式的求解须要接受迭代法求解。2.1 第一次迭代第一次迭代取取将上式代入将上式代入(5)，得，得其次次迭代其次次迭代得得明显，须要再迭代求解。明显，须要再迭代求解。第三次迭代第三次迭代得得满足迭代精度要求，迭代求解结束。满足迭代精度要求，迭代求解结束。将将 代入代入(4-1)，得，得若极限状态方程若极限状态方程(2)应用中心点法求解牢靠指标，有：应用中心点法求解牢靠指标，有：将中心点法与验算点法计算结果进行比较将中心点法与验算点法计算结果进行比较经比较发觉，中心点法在极限状态方程是非线性方程，求经比较发觉，中心点法在极限状态方程是非线性方程，求解得到的结果与验算点法有较大误差。但若极限状态方程为线解得到的结果与验算点法有较大误差。但若极限状态方程为线性方程，则两者求解结果一样。性方程，则两者求解结果一样。