不动点的性质与应用.docx

不动点的性质与应用一、不动点：对于函数/0)(九e D),我由肥方程/=工的解X称为函数/的砌点，即y = f(x)与y = X图 像交点的横坐标.例1：求函数/(工)=2工-1的不动点.解：有一个不动点为1例2 :求函数g(x) = 2犬2 -1的不动点.解：有两个不动点- -J2二、稳定点：对于函数/a)(x £。)，我们把方程/"=x的解X称为函数/(力的稳定点，即y = /(功与 y = x图像交点的横坐标.很显然，若X为函数)，= f(x)的不动点，则X必为函数y = /W的稳定点. 00证明：因为/(X ) = X ,所以/(/(尤)=f(x ) =X，故X也是函数)，=/(X)的稳定点. 000000例3 :求函数/(工)=21-1的稳定点.解：设/=21 ,令2(2/-1)-1 =x，解得工=1故函数y = 2工-1有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例4 :求函数g(x) = 2x2-1的稳定点.解：令 gg(x) = X ,则2®2 一1)2 一1 = X = 2(4x4 - 4x2 +1) _1 - X = 0 =一8m 7 +1 = 0 ,因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解K =-L X =1122n 8x4 - 8x2 - x +1 必有因式(x -1 )(2x +1) = 2x2-x-1可得(4一1)(21+1)(4工2 + 2工-1) = 0 =另外两解x二-1,布 ,3.44要使一切 2 2 ,都有g (x) < 0 ,必须有g (,r)<。或g (x)1. n11由 g (x) <。= -6x2 + 6x<0<=> x <0 或 x > 13-布3+力由 g (x) >1 O - 6x2+6.丫 >106613-J3 3 + 73故对于区间(6 ' 6)和(1,+8)内的任意实数x,只要 > 2, 7/ e AZ * ,都有 g (x) < 0 . n【真题】(2012年北京东城一模文)对于函数f(x),我们把使得f(x)=x成立的x成为函数f(x)的不动点，把使得W)=x成立的x成为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即A=x|f(x)=x,B=x|f(f(x)=x,设函数f(x)=3x+4 ,求集合A和B ;求证：AcB ； 设函数/G)= ax2 + /zr + c/ 0),且 A二° ,求证：B=0 .考点：集合的包含关系判断及应用,空集的定义、性质及运算、方程无解的证明 解:令 f(x)=3x+4=X,解得x=-2,故有A=-2由于ff(x) = 3(3x+4)+4=9x+16 ,令 9X+16邛得 x=-2,故有 B=-2若A=0 ,则AgB显然成立；若Aw。，设 twA,则 f(t)=t,f(f(t)二f(t)=t,.,.teB,故AuB.A = 0 ./3 =工无解=/3>1或/(/)工1° a>0时，则 f(x) >、在>£ 灯上恒成立=f f(x) > f(x) > x= 8 = 02° a<0时，则 f(x) < 乂在乂£ R上恒成立n f f(x) < f(x) < x=> 8 = 0综上，B=0(上海中学2015学年第一学期高一期终考试)一、填空题/12、若实数x满足f (x ) = x，则称x为函数f(x)的不动点,有下面三个命题： 0000(1 )若f (x)是二次函数，且没有不动点，则函数f"(刈也没有不动点；(2 )若f(X)是二次函数,则函数ff(X)可能有4个不动点；(3 )若f(X)的不动点的个数是2 ,则“ f(X)的不动点的个数不可能是3.它们中所有真命题的序号是(1)、(2)、(3).三、解答题/5、对定义在1,+刈上的函数f(x)和常数a、b ,若f(2x) = af(x) + b恒成立,则称(a,b)为 函数f (x)的一个"凯森数对".(1)若(1,1)是f(x)的f "凯森数对"，且f(l)=3，求f若6)；(2 )已知函数f (x) = log x与f (x) = 2*的定义域都为1,+co),问它们是否存在"凯森数对"？分别给 132出判断并说明理由；(3)若(2,0)是 f(x)的f "凯森数对"，且当l<x«2时，f(x) = «2x-m，求 f (x)在区间(1,+8) 上的不动点个数(不动点的概念参考填空题第12题).解：(1) 416)=7f(x) =log x存在“凯森数对"(a,b) = (l,log 2) 133f (x) = 2x不存在"凯森数对"2(3)不动点个数为0（杨浦区2016学年度第一学期高一年级期中质量调研）21、（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分2分，第（2 ）小题满分4分，第（3 ）小题满分6分对于函数/（x），称满足） = x的x为函数/（x）的"不动点"，称满足了"（x ） = x00000的X为函数/（工）的"稳定点”. 0（1）求函数.X）=X2的"不动点"；（2 ）求函数/（X）=| x11的“稳定点”；（3）已知函数了=/（工）上（"0,4。1,"2）有磁个“稳定点"，若X£x|1 "W2且"一切， x +b求y的取值范围（用表示）.解：（1）0、1(2) xe0,1(2) 或。>2时，贝ijye 2a ,"2- a "- a2 1 < < 2 时，则”(-co,旦|j 2a ,+oo) -a2 -a(2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛)17、对于函数f(x),若f(x)=x ,则称x为f(x)的"不 动点"，若f(f(x)=x ,则称x为f(x)的“稳定点"。函数的"不动点"和"稳定点”的集合分别记为A和 B , BP A=x|f(x)=x, B=x|f(f(x)=x.(1)求证：AgB ;(若f(x)=ax2-1(ac Rxcf?),且A = Bw(i),求实数a的取值范围.考点：集合的包含关系判断及应用,集合的相等,函数单调性的性质解：(I)若A”，则AcB显然成立；若A",设 twA,则 f(t)=t, f(f(t)=f(t)=t,.,.teB ,故 AuB(口). 43X2-1 = x 有解=> A = 1+4a>0=>a>-1B0 a(ax2-l)-l = x有解=>a3X4-2a2X2-x+a-1 = °, AgB ，a3X4 -2a2X2 - x+a-1 =0 的左边有因式ax2 - x-1(ax2 - x -1 )(a2 X2 + ax - a +1) = 0 ;又A=B .a2X2 + ax-a+1=。无实数根,或实数根是方程ax2-x-1 =0的根;Q若2x2 + ax - a+1 =0 无实数木艮,贝！ = a2- 4% (-a +1) < 0 => 1 + 4a - 4 < 0 =_a <4若a2 X2 + ax - a +1 = 0有实根,且实根是方程ax2 _ x -1 = 0的根7 日C 4c1114c 3v 3作 a2X2 = ax+a = 2ax+1 =0=>x=-_ n_+_-1 = On_ = 1 => a=_2a 4a 2a 4a 4.a的取值范围为_1,刍44【数列中的应用】a = a(1) 0L求线性递推数列的通项：,且)工a = pa + q w+1 n法四：不动点法构造等比数列令x = /* + q => x =为函数y = px + q的不动点，递推公式两边同减不动点，1 一得 a p =pa +q 二 p(a zh-1 I n 1 p若。一，_ = 0 ,则 =，-1-/? 1 一若a- 口 w。，则a - Q - (a-)p”i = = (一 ")pi +。- 1-p” 1 一 p 1- p«1- p 1- p|f<w = a2、形如+型：不动点法构造等比数列或线性递推数列a =JL n+1 ta + sIn将。，均换成i，得x = x + “nx,x是函数/&) = £上的两个不动点 ”+1 «tx+s 12tx + S两边同减两个不动点，得。pa +q px +q (ps-qt)(a -x)-1 二-1" .I 向 1 凡”%+S (3+S)(.+J)D7 二叫+4_- qg-xj +i2 ta +s tx +s (ta + s)(tx +s)n2n2法一：构造等比数列/,得"“，=比2 + S .%一普 a -x tx+s a -x rt+1 21n 2=> a« - Ai)是以 V1为首项，2+'为公比的等比数列 a -x a-xtx + sn 2121法二：构造线性递推数列对或取倒数，得 1 (a +S)上(。-x )+(tX+s) (tx +S)21 (tx +s)ta -x 1 (ps-qt)(d -x)1ps-qta -x+ ps - qt+11n 1n 1或 =(弋+ s)(_/)+(a 2+ s) =3 2+ s" 1 + (工 + s)/a -x(ps - qt)(a -x )ps -qt a -x ps - qt”+12n 2n 2=数列 1 或 1 均为线性递推数列,可用线性递推数列的方法解决 a -x a -x n 1n 2【点评】数列递推公式两边同时减去不动点，起到整型的作用 例 1、数列中，a =2,6/ =51+4,求。«1"+i 2a + 7 n5x + 4"解令 n2工2+7/= 5.E + 4 =>x2 - 2= 0 => x = -2,x = 1'2x+ 712法一：5。+4 ( 2) 9。+18 9(6/ +2)a (2) = «- = ，=“+i 2a +7 2a +72a + 7nn_5 +43。-33( 一1)a 1 -1 = ，？=“ ')+i 2a +7 2a +7 2a +7/，得向 + 23 巴+21“+2 = 2+2 3, 一 = 4, 3 小 a 1ci 1 a 12 1"+1nn4 , 3”-1 +2a +2 = 4-34-ia - 4 - 3«-i =a =nnit 4 - 3"-1 1法二：5a +4 ( 2) 9。+18 9 a +2，一 H)=五不-"五户7二2一了 nn-n 22121119/44=>=+ =>+ 1 - = ( 1 -1)(1)n-1 = -1a+2 9 3 cT2 a2 .2 + 2 3 3123”n+1” I111=+2=14. 3" = 0 = 4.3-8,3-1 + 2 4.3«i + 2+2 3 4 , 3114,3t1n 4,3t14.3-i13¥3例2、数列4中满足 =a,a，求通项a .n1+i nn11 a -1解：令x = ，则a-1)2 = 0 = x = 1na -1 =-1=2-xz 2 -a 2 -ci当。=1时，a =1 n当 w1时，1_2-4=1 -1a -1 a -1 a -1n+1nn1 = 1 + (n -1 )(-1) => a _ a -1 + a + (1- a) _ (1-+ 2 -1a -1 rz-1«(1- a)n+a (1-a) + a综上：a =n(1- a)n + 2a -1(1- a)n + a故函数gG） = 2x2_1-1 J 1 +韭-_1 土并是稳定点，但不是不动点的稳定点是鼻、4、一1一，其中4下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线 =文的交点的横坐标，稳定点是函数=/U）（x e D）图像与曲 线x =/（ ），）（），e D）图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时,则稳定点是函数图像与其反函数图像 交点的横坐标）.由图I和图3 ,我们猜测命题：若函数y=fM（x G D）单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或 者都没有.证明：（1）1、若函数），=/（工）（1£。）有不动点工0 ,即/（%）=%= /（/U ） = /（4）=x 故x也是函数y= /W的稳定点； 00002。若函数y = /（a-）（x G D）有稳定点X。，即/（/Uo） =xQ ,假设%不是函数的不动点,即/（X。） 若f （ X。）X° ,则f （ f （ X。）f （ X。），即x0f （ X。）与f （ X。）x0矛盾，故不存在这种情况;若f(x0) <X°,则f(f(X0) ) <f ( Xo )，即Xo<f(X。)与f(x0) <x°矛盾，故不存在这种情况；综上，f ( X。)=X0 = X。是f ( X )的不动点.(2 ) 1若函数y =/(x)(x G D)无不动点，由(1)知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函 数无稳定点;2若函数y =/(x)(x £。)无稳定点，由(1)知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无 不动点；综上，若函数)，= /*)a e D)单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.例5、对于函数f(x),我们把使得f(x)二x成立的x称为函数f(x)的不动点。把使得f(f(x)=x成立的x称为 函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即 A=x|f(x)=x,B=x|f(f(x)=x,(1)请证明：AcB ; (2) /(%) = ,r2 -a(a e R,xe R),且八二8/ ,求实数a的取值范围.解：(1)证明：若A = 0时，AqB若A。0 时，对任意的x e 4 ,有/(x) = x =>/W =/W =x>x e综上，得AC 3(2 ).Aw0 工2 。= x = 0有解n = 1 + 4。2 0 n a4.3/0 /. ( x2-a ) 2-a=xX4-2ax2-x+a2-a=0.AcB ,即 X4-2ax2-x+a2-a=0 的左边有因式X2-x-a ; /.(X2-x-a)(X2+x-a+l)=0 ;又A=B .-.x2+x-a + l=0无实数根，或实数根是方程X2-x-a=0的根;若 x2+x-a+l=0 无实数根，贝必= 1-4 (-a+1) <0 n。4若X2+x-a+l=0有实根，且实根是方程X2-x-a=0的根；1 3作差，得 2x+l=0=x = -；na = _2 4综上，a的取值范围为-L，例6、已知函数y=f(x),xeD ,若存祗£。，使得/(x ) = x ,则称x为函数/(工)的不动点；若存 0000在工£。，使得/(X ) = X ,则称X为函数/«的稳定点,则下列结论中正确的是(填上所0000有正确结论的序号).一 1、1是函数/=2x2 -1的两个不动点;2若X为函数y = fM的不动点，则X必为函数)，=f(x)的稳定点； oo若X为函数y = /W的稳定点,则X必为函数y = /W的不动点； 00函数/(X)= 2x2-1共有三个稳定点；/G)= Jen 的不动点与稳定点相同。考点：命题的真假判断与应用1解：解2x2-1 =不得：x = x -112 2故一一、1是函数/(X)= 2x2 -1有两个不动点，即正确; 2若X为函数y=f(x)的不动点，则/(x )=X , 000此时"/(X )=/(x )=x , 000则X必为函数户f(x)的稳定点，故正确； 0若X为函数y=f(x)的稳定点，则X不一定为函数y=f(x)的不动点(见结论)，故错误； 00解2g2-1)2-1 =x => 814 - 8g - X+1 = 0 ,得x=-：或*=1或工=一1 一本或1=一1 +下 244即函数/(M = 2.1-2-1共有四个稳定点，故错误；因/(X)= Jex+X在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：例7、设函数fM =g R).若方程f(f(x)=x有解厕a的取值范围为()A.(-8,1B. oj c. (一8,1D.1,+OO)488解：法二：设f(x)=t,t>0,则方程 f(f(x)=x 等价为f(t)=x ,-a =x= x 在 x>o 时有解，, a = -x2 + X 设 g G)= -X2 + X = -X(X -1)则。=g =,故选：A.max4例8 :已知/G)= xy-bx ,若/(J在1 +0)上单调.(1)求力的取值范围；(2)已知/Q)=X3-打，若设xo之(1,彳(期2 J ,且满足/"(、) =:，求证：解：(1 )法一：令 1 V X < q ,则/ 5 _ / X, =X3- bx -X3 + * =(X - x )(X2 +XJ2 + 号一 )< 0 X2 +xx +x2-b>0>b<x2 + xx +X2 恒成立=> b < 1 + 1 + 1 = 3I 1 2211 22(IX -hx = 7 (2)(证法一)设/(x ) = m ,由/"(x )1 "x 得/Q)=x ，于是有< 0°°°00 |_ bm = x (2)10(1) - ( 2 )得：0 3 - ?3)- b(x - tn) = m-x，化简可得 000(x - m)(x 2 +mx 4- m2 +1 - /?) = 0 , x > l,/(x、一？i000,/ ()(“一，_J,.52+/竺+£+1 - /?24 /?N1>0，故.'一团二。，即有/(%)=工0.(证法二)假设/。0)工乙，若f ( X。)>X0 ,则f ( f ( X。)>f ( X。)，即X0>f ( X。)与f ( X。)>x0矛盾，故不存在这种情况； 若f ( X。)<X° ,则f ( f ( X。)<f ( X。)，即X0<f ( X。)与f ( X。)<x0矛盾，故不存在这种情况;综上,f ( x0 ) =XO例9:已知/（J=ar2+法+ C（。/0）,且方程/（1）=火无实根。现有四个命题方程/（/G:=x也 一定没有实数根；若"0，则不等式汽入呢文对一切xeR成立；若。<。，则必存在翔.%使 不等式/V G）1 > X成立；若。+。+ C = 0 ,则不等式/.f Q） < X对一切XG R成立。其中真命题III0 J 0L的个数是（c ）（A）l 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？ 【蛔1、函数。)不动点构成的集合是。)不动点构成的集合的子集；2、若函数/(X)在。上单调递增，则/(x)(x w Q)不动点构成的集合与/"(x)(x £ 0不动点构成的集合相等；3、若/(/(有唯一不动点，则/(工)也有唯一不动点；证明：4、若函数是自反函数，则在。内任何实数均是/(©(/的不动点；证明：5、若函数力/(x)(xe。)不动点构成的集合是非无限集，则/(x)(xe。)不动点构成的集合的元素个数 与/f(x)(x e D)不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数.证明：【课后练习】1、对于函数/Q）,若,则称工为函数），=/（外的不动点；若/（/a ）=X ,则称工为函 000000数y =fM的稳定点.如果/Cv）= X2 + cka e /?）的"稳定点"恰是它的"不动点"，那么。的取值范围是（ ）A、B、UQ C、/J、d、.3 J】卜4 匚1解：X为函数/Q）的不动点，则方程/（= X ,即X2 - X +。= 0有实根X , 00A = 1 - 4c/ > 0 => « < ;4如果稳定点恰是它的不动点，则x是方程/'（/'G ）= x的根,即Q + ） + =工（）（ ）°=> x2 -x+a /2 + 工 +。+1 = 0 ,因为函数/（工）=总+。（。 R）的稳定点恰是它的不动点，所以若方程 X2 + X +。+1 = ° 无实根=> 1- 4（«+1 ）< 0 => a >= 3 ；4若方程x2 + x + a +1 = 0有实根，且实根是方程x2-x + a = 0的根，1 八11 13作差，得 2x+l=0nx = _n =24 241综上：一一,故选D42、方程/Q）= x的根称为函数/W的不动点,若函数/Q=（大）有唯一不动点,且x =1000 ,A+271，则x =20082017 3、对于函数)，= /(M,若工满足) = x厕称x为函数/(»的一阶不动点若x满足/) = x , 0000000则称X为函数/(X)的二阶不动点， 0(1)设f(X)=2x+3,求f(X)的二阶不动点。设/Q = 4 + x + R若f(x)在0,1上存在二阶不动点x ,求实数a的取值范围. o考点：函数与方程的综合运用,函数的值解：(1)若加)=2乂+3则 ff(x)=2(2x+3)+3=4x+9 ,由 ff(x)=X得 4X+9=X,解得 x=-3 ;(2)函数/(x)=&+x + c，,4£R在R上单调递增，则由可知，若f(x)在上存在二阶不动点则f(x)在0,1上也必存在一阶不动点x ；0反之若f(x)在0口上存在一阶不动点X ,即f(x) = x , 000那么ff(x )= f(x) = x，故f(x)在。口上也存在二阶不动点X . 0000所以函数f(x)在0,1上存在二阶不动点x等价于f(x)=x在0,1上有解，0即方程6 + X + a = x在0,1上有解，: a = -ex在0,1上有解总的取值范围是-巳-44、已知函数，(x)=_6x2+6x，设函数g(x)= f(x), g(x) = fg (x), g (x) = fg (刈，, 12132g W = fg (x), nn-1(1)求证:如果存在一个实数x，满足g (x )=x ,那么对一切N、g (x ) = x都成立都成立；0100n 00(2 )若实数x满足g (x ) = x，则称x为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点； 0 no 00(3)设区间4 = (0,+8),对于任意*£4，有0仪)=f(x) = a<0, g(x) =fg(x) = f(0)<0 ,且 121时，g (x)<0.试问是否存在区间”ACIB工)，对于区间内任意实数x ,只要，都有 ng(x)<0. n解析:证明：当n=l时，g俨产x0,显然成立；设 n = k 时，有 g (x) = x(k g A/*)成立， k 00则 g (x ) = fg (x ) = f(x) = g(x) = x，即 n = k +1 时，命题成立. k+10k 00100.对一切Nj g(X ) = X都成立都成立 n 00(2 )由(1)知，稳定不动点x0,只需满足f(x) = x °5由 f(x) = x，得 f(x) =6xs+6x =*=>、=0或X =o o，P ' / o o o o 0 e5稳定不动点为。和N . o(3 )f ( x) < 0 ,得一 6x2 + 6x<° n x<° 或 x>l.:.g (x) <0 <> fg (x)<0 或g (x) > 1 nn-1n-1