圆锥曲线复习题含答案.docx
圆锥曲线复习题1.如图，直线/：），=日+8与抛物线»=4），相交于不同的两点A （xi,川）、B （m，”），且 仅1 72| = "为定值），线段A8的中点为。，与直线/平行的抛物线7=4），的切线的切 点为C.（1）用底表示出点C、点。的坐标，并证明CO垂直于x轴；（2）求ABC的面积（只与力有关，与人无关）；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC,再作与AC、BC平行 的切线，切点分别为& F,小张马上写出了ACK、ABC/的面积，由此小张求出了直 线/与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由.【分析】（1）直线hy=kx+b代入抛物线?=4y,求出。的坐标，设切线方程为），=依+7, 代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论：（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；1 八 3（3）分别求出a=SABC= 32> ai=Sce+Sabci- 4*,按上面构造三角形的方法， 无限的进行下去，即可得出结论.解：（1）由直线）y="+h与抛物线f=4y,得 了 - 4日-48=0,/.xi+x2=4, xX2= 4b，点。（2鼠2必+b）（2分）设切线方程为y=kx+m,代入抛物线方程可得x24日-4?=0,得 = 4p2 炉+16/71=0,m=必,切点的横坐标为狼，得C（2也/），由于C、。的横坐标相同，CO垂直于x轴.,2 1 , 2（2） *.*tr= x2 - Xj|2 =l6必+16b, :.b-访»方3Saabc=引CD|x2 xi|= 22,ABC的面积与屋无关，只与人有关.（3）由知 C。垂直于 x 轴，xc - xc|=由（2）可得ACE、aBC尸的面积只与T有关，将Sabc= W中的换会h3 h3可得 Saace=Sabcf= g - 32 = 256»>31 九3八3记ai=SdA8C=7，a2=SACtSnCb-= 7* = 7,按上面构造三角形的方法，无限 J-3Z 1Z8的进行下去，可以将抛物线C与线段44所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面枳的和，即数列如的无穷项和，此数列公比为士404人3封闭图形的面积5=当/严1=可.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的 计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.2.已知抛物线C： .7=2"（>0）上的点P （xo，1）到其焦点尸的距离为2.（I）求抛物线C的方程及点尸的坐标；（2）过抛物线C上一点。作圆M： /+3） 2=4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点Q的A, 8两点.证明：直线A8与圆M相切.【分析】（1）由抛物线的定义可得p的值，再由抛物线的几何性质，得解：%2x2X2（2）设 Q （xi，）, A （X2，）» B （%3，"其中 xiWx2Wx3，根据直线。4 和 QB 444是圆的两条切线，可推出X2和X3是方程（*-4） A16XIX+80 - 4xf =0的两根，再结合 韦达定理和点到直线的距离公式，即可得证.（1）解：由抛物线的定义知，|PF1= 1 + =2,：p=2, 抛物线的方程为.P=4y,焦点尸（0, 1）.（2）证明：由题意知,圆M的圆心M（0, 3）,半径r=2,222其中设 Q （加，-）» A（X2，）» B （工3，二）， 444直线 QA 的方程为 v芋=:4(x - X2)，即(xi+xz) x - 4y - xi.V2=0, , x2-xl 直线QI与圆M相切，J 2=2,整理得(xf 4) xj +16xix2+80 _ 4xf =0,V(Xi+%2)2 + 16同理可得,(xf -4)+16x1x3+8。- 4xf =0,，X2 和 X3 是方程(04) jr+16.VU+80 - 4%i =0 的两根，.*.A-2+X3=.*.A-2+X3=16勺X”3=21tx4T 一-21O X 8又直线AB的方程为（X2+X3）x - 4y - 33=0,圆心M（0, 3）到直线A8的距离仁圆心M（0, 3）到直线A8的距离仁1%2%3+12|J(2+x3)2 + 16故直线与圆M相切.【点评】本题考查宜线与抛物线的位置关系，直线与圆相切，点到直线的距离公式等, 考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.3.设椭圆C：今+ * l（a>b>0）的焦点为为，Fz，P是C上的动点，直线y = X-b经 过椭圆的一个焦点，三角形PQ人的周长为4+ 2通.（1）求椭圆的标准方程；（2）求|西+房1的最小值和最大值.【分析】(I)根据直线、=一目经过椭圆的一个焦点，三角形尸Fi&的周长为4 + 2代.可 得c=J5, 2a+2c=4+2g, lr=(r - c2,即可得出椭圆的标准方程.(2) |函+P| =|2访根据后|访即可得出际i + Pl的最小值和最大值.解：(1) 直线y = %-百经过椭圆的一个焦点，三角形尸尸的周长为4 + 2V5.：.c=痘,2。+2。=4+2百，解得：c= V3,。=2,b1=(r - c2=l,x2椭圆的标准方程为：+/=i.4(2) IP% + P%2| =2P0,'：b< P0 <at|丽+P|的最小值和最大值分别为20=2, 2a=4.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
